關(guān)于分辨力的討論

                                                           關(guān)于分辨力的討論   

                                                       史錦順   

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1 分辨力的意義

分辨力是測(cè)量?jī)x器的性能要素之一。現(xiàn)有的測(cè)量學(xué)理論，對(duì)分辨力關(guān)注甚少，以致在應(yīng)用中常被誤解。

分辨力是測(cè)量能力的閾值。閾值就是門限、門檻，是測(cè)量?jī)x器幾項(xiàng)性能的限度。

       1 量程最小值的限度。

2 分散性的最小限度。隨機(jī)誤差、復(fù)現(xiàn)性的最小限度。

3 不準(zhǔn)確性的最小限度。誤差元與誤差范圍的最小限度。

    測(cè)量?jī)x器的性能指標(biāo)，必須在測(cè)量?jī)x器能分辨得出的條件下，才能談得上。許多文章，把指標(biāo)分析得優(yōu)于、甚至遠(yuǎn)優(yōu)于分辨力，是不對(duì)的。
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實(shí)例1
       G先生用一臺(tái)數(shù)字式頻率計(jì)測(cè)量他研制的5兆赫高穩(wěn)晶振，秒采樣，顯示數(shù)100個(gè)，都是5000000赫，代入公式計(jì)算，西格瑪?shù)扔诹恪栁胰绾斡?jì)算穩(wěn)定度。我告訴他，數(shù)字式頻率計(jì)1秒采樣的分辨力是1赫，辨別不了1赫以下的頻率變化。這個(gè)測(cè)量只能說明，你的晶振的性能，穩(wěn)定性優(yōu)于2E-7。

把100個(gè)測(cè)得值代入公式算，不穩(wěn)定度是零，但這種計(jì)算無(wú)效。正確的作法是更換測(cè)量?jī)x器，用頻標(biāo)比對(duì)器。該比對(duì)器采用微差倍增法(等效頻率乘20000)，使分辨力提高到1E-11。再用計(jì)算計(jì)數(shù)器，擴(kuò)展100倍，分辨力達(dá)到1E-13，這樣才能正確測(cè)出高穩(wěn)晶振的穩(wěn)定度。后來，此人研制的晶振，榮獲第一屆全國(guó)晶振比對(duì)長(zhǎng)穩(wěn)第1名。

以上這個(gè)例子比較極端，不能將相同的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算這一點(diǎn)，比較容易識(shí)別。大量書籍、文獻(xiàn)中，甚至樣板評(píng)定中，數(shù)據(jù)最大變化僅為2，甚至僅為1，也代入貝塞爾公式計(jì)算，這是不妥當(dāng)?shù)摹９P者認(rèn)為，計(jì)算得到的西格瑪一般不能小于分辨力的二分之一，或者最小不能小于分辨力的三分之一。這樣才能符合分辨力是最小識(shí)別范圍的邏輯。精密測(cè)量要求有高的分辨力。數(shù)據(jù)變化量要在分辨力的三倍一上，否則不能動(dòng)用貝塞爾公式。

實(shí)例2
    一根鋼棒，用米尺量，測(cè)得值100.5mm；用游標(biāo)卡尺量100.00mm用千分尺量100.02mm。經(jīng)比長(zhǎng)儀測(cè)量得100.000mm。有人據(jù)此評(píng)論說，考察米尺、游標(biāo)卡尺、千分尺的性能時(shí)，比長(zhǎng)儀的測(cè)得值可視為真值，因此這組測(cè)量,米尺測(cè)量誤差為0.5mm；游標(biāo)卡尺誤差為零，即不準(zhǔn)確度為零；千分尺的誤差為0.02mm。此評(píng)價(jià)忘了分辨力的作用。游標(biāo)卡尺分辨力為0.05mm，算誤差不能小于分辨力，因此游標(biāo)卡尺的誤差給法最低是0.05mm，而不能是零。

有人問：測(cè)得值減真值是誤差嗎，怎么上邊對(duì)游標(biāo)卡尺的計(jì)算不對(duì)？

可以這樣理解，游標(biāo)卡尺的測(cè)得值L(D)應(yīng)寫成：
                      L (D)= 100.00mm±0.05mm

設(shè)真值L(Z)是100.000mm，則誤差為L(D)減L(Z)，就不會(huì)得零了，而是得±0.05 mm。因此，即使測(cè)得值等于真值，測(cè)量誤差的最小值是分辨力，而不應(yīng)是零。

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2 誤差理論對(duì)分辨力的處理

誤差理論講到分辨力時(shí)，通常認(rèn)為：若分辨力是D, 則分辨力的誤差范圍是±D。也可表示為誤差范圍[-D,+D]。

計(jì)數(shù)式頻率計(jì)，分辨力為尾數(shù)的一個(gè)字，引進(jìn)誤差為加減一個(gè)字，并且有專有名稱，叫“正負(fù)1誤差”。例如0.1秒采樣（閘門時(shí)間0.1秒），計(jì)數(shù)器尾數(shù)一個(gè)字代表10赫，因而分辨力引入的測(cè)量誤差范圍是±10赫。

接 1# 史錦順 文

以上誤差理論對(duì)分辨力的認(rèn)識(shí)，載于各種書籍，特別是載于各種計(jì)數(shù)式頻率計(jì)的說明書，就不再給文獻(xiàn)出處了。

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3 不確定度論對(duì)分辨力的處理

不確定度論對(duì)分辨力處理的規(guī)范作法是：設(shè)分辨力是D，其半寬為D/2，均勻分布，除以根號(hào)3，得標(biāo)準(zhǔn)不確定度為0.29D。

不確定度論的這個(gè)對(duì)分辨力認(rèn)識(shí)，載于眾多文獻(xiàn)。[1-3]

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4 關(guān)于分辨力的討論

設(shè)分辨力是D，誤差論認(rèn)為此項(xiàng)誤差的誤差范圍區(qū)間是[-D,D] 誤差區(qū)間的寬度是2D，半寬度是D。

不確定度論認(rèn)為：分辨力是D，不確定度區(qū)間半寬度是D/2

兩種理論對(duì)分辨力的處理，差別甚大，是兩倍關(guān)系。

本文論證：誤差論對(duì)分辨力的認(rèn)識(shí)是正確的；不確定度論對(duì)分辨力的認(rèn)識(shí)是錯(cuò)誤的。

我們做實(shí)驗(yàn)如下。

實(shí)驗(yàn)1
    取一臺(tái)電子案秤。最低位為1克，即分辨力是1克。

我們來做分辨力實(shí)驗(yàn)。 用案秤測(cè)量10克砝碼，顯示為10克。加標(biāo)稱值為100毫克的砝碼（以下加減砝碼，都指100毫克砝碼），加一個(gè)到3個(gè)砝碼，顯示都是10克；加4個(gè)砝碼，顯示為11克，加5個(gè)到13個(gè)砝碼顯示都是11克；加14個(gè)砝碼時(shí)顯示為12克，加15個(gè)到23個(gè)砝碼，顯示都是為13克。分辨力是10個(gè)100毫克的砝碼，即1克。

我們看，加4個(gè)砝碼（物重10.4克）時(shí)，顯示為11克。再加9個(gè)砝碼，顯示仍為11克，就是說，在測(cè)量10.4克時(shí)，加9個(gè)砝碼，仍分辨不出。

加13個(gè)砝碼時(shí)（物重11.3克）時(shí)，顯示為11克，減去9個(gè)砝碼，顯示仍為11克，減去9個(gè)砝碼仍分辨不出。

分辨不出的情況，砝碼增減的最大可能是加減9個(gè)砝碼，因此其范圍是加減0.9克。下表單位是1克。

接 2# 史錦順文

    重物     顯示      重物可能值          砝碼重量變化范圍(偏差可能范圍)

        10.4            11               10.4——11.3                         0——0.9

        10.5            11               10.4——11.3                     -0.1——0.8

        10.6            11               10.4——11.3                     -0.2——0.7

        10.7            11               10.4——11.3                     -0.3 ——0.6

        10.8            11               10.4——11.3                      -0.4——0.5

        10.9            11               10.4——11.3                      -0.5——0.4

        11.0            11               10.4——11.3                      -0.6——0.3

        11.1            11               10.4——11.3                      -0.7——0.2

        11.2            11               10.4——11.3                      -0.8——0.1

        11.3            11               10.4——11.3                      -0.9——0

        11.4            12               11.4——12.3                          0——0.9

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此實(shí)驗(yàn)可以更細(xì)，增減的砝碼小到10毫克或1毫克，于是相應(yīng)的范圍成為加減0.99克或加減0.999克。

因此，變化范圍應(yīng)為[-1克,+1克]。

由上，分辨力是1克的電子秤，分辨范圍是加減1克。

結(jié)論：分辨力是1，則按范圍寫出是正負(fù)1。因此除以2是不對(duì)的。

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我們?cè)購(gòu)氖局嫡`差的角度來討論。

示值是以克為單位的整數(shù)。而被測(cè)物的重量是有各種可能的數(shù)。整數(shù)的轉(zhuǎn)換點(diǎn)不同，則示值誤差不同。

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       轉(zhuǎn)換點(diǎn)內(nèi)區(qū)間         被測(cè)物重      示值                示值最大誤差元

       10.01     10.99              10.01                 11                     0.99

       10.1        11.0               10.1                   11                      0.9

       10.2        11.1               10.2                   11                      0.8

       10.3        11.2               10.3                   11                      0.7

       10.4        11.3               10.4                   11                      0.6

       10.5        11.4               10.5                   11                      0.5
              10.6        11.5               11.5                   11                                -0.5

       10.7        11.6               11.6                   11                                -0.6

       10.8        11.7               11.7                   11                                -0.7

       10.9        11.8               11.8                   11                                -0.8

       10.91      11.9               11.9                   11                                -0.9

       10.99      11.98             11.98                 11                                -0.98

       10.999    11.998           11.998               11                                -0.998

接 3# 史錦順 文

例2      取一臺(tái)數(shù)字式頻率計(jì)。其原理是在標(biāo)準(zhǔn)的閘門時(shí)間內(nèi)數(shù)被測(cè)頻率的脈沖數(shù)。

被測(cè)頻率1.1赫，即周期0.9秒，在1秒的閘門時(shí)間中，可能出現(xiàn)兩個(gè)脈沖，測(cè)得值2赫，誤差為0.9赫。若被測(cè)頻率是0.9赫，即周期為1.1秒，一個(gè)采樣時(shí)段中，可能一個(gè)脈沖都不出現(xiàn)，測(cè)得值0赫，誤差為負(fù)0.9赫。

若被測(cè)頻率是1.01赫，測(cè)得值可能為2赫，誤差最大可能是0.99赫；被測(cè)頻率是0.99赫，測(cè)得值可能為0赫，誤差的極端值是負(fù)0.99赫。因而，當(dāng)采樣時(shí)間為1秒時(shí)，計(jì)數(shù)器一個(gè)字的分辨力的誤差范圍是[-1Hz；+1Hz],誤差范圍的半寬度是1赫。

樣板評(píng)定實(shí)例[3]       0.1秒采樣。即閘門時(shí)間為0.1秒。計(jì)數(shù)器每記得一個(gè)數(shù)，代表10赫。由此，區(qū)間半寬度是10 赫。樣板評(píng)定以10赫除以2，得5赫做為區(qū)間半寬，這是不對(duì)的。

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結(jié)論   測(cè)量?jī)x器的分辨力是D，誤差范圍是[-D,+D]，包含區(qū)間的寬度2D，區(qū)間半寬度是D。數(shù)字式儀表的分辨力D是最低位的一個(gè)字，誤差范圍是[-1,+1]，區(qū)間的半寬是一個(gè)字所代表的量。

對(duì)分辨力的認(rèn)識(shí)，誤差理論是正確的；不確定度論是錯(cuò)誤的。

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參考文獻(xiàn)

[1] GUM

[2]《不確定度原理》 劉智敏著

[3] 國(guó)家計(jì)量技術(shù)統(tǒng)一宣貫教材《測(cè)量不確定度評(píng)定與表示指南》國(guó)家質(zhì)量技術(shù)監(jiān)督局組編

“設(shè)分辨力是D，誤差論認(rèn)為此項(xiàng)誤差的誤差范圍區(qū)間是[-D,D] 誤差區(qū)間的寬度是2D，半寬度是D。”
請(qǐng)問先生：此時(shí)的置信概率是多少？

看了先生的文章，覺得先生糾結(jié)在一個(gè)問題上，
即實(shí)際測(cè)量中，誤差是否可知，誤差范圍是否可知？
如果實(shí)際測(cè)量中，誤差可知，先生的理論沒有錯(cuò)；
如果實(shí)際測(cè)量中，誤差的準(zhǔn)確范圍可知，先生的理論沒有錯(cuò)；

然而遺憾的是，在實(shí)際測(cè)量中，誤差只能給出估計(jì)值，誤差范圍也只能給一個(gè)估計(jì)值，因而當(dāng)分辨力的概念應(yīng)用于誤差理論時(shí)，分辨力只可能作為一個(gè)估計(jì)的誤差或誤差范圍，而不是實(shí)際的誤差或誤差范圍（大多數(shù)情況下）。

這就涉及到用什么標(biāo)準(zhǔn)來衡量的問題，哪個(gè)標(biāo)準(zhǔn)更合適？

誤差理論認(rèn)為實(shí)際中給出的誤差或誤差范圍就是真實(shí)的值，顯然很難切合實(shí)際。

而不確定度理論認(rèn)為實(shí)際中給出的誤差或誤差范圍并不可靠，所以對(duì)此進(jìn)行了概率化，顯然更符合我們的認(rèn)識(shí)規(guī)律。

因此，雖然二者都可用于評(píng)估測(cè)量結(jié)果，但是不確定度理論更科學(xué)，因?yàn)椴淮_定度理論辯證地看待了誤差問題。

看完了，有收獲。有一點(diǎn)還是不解，這里的分辨力具體指什么？是廣義的分辨力，不再是數(shù)顯裝置的分辨力了嗎？為什么游標(biāo)卡尺談分辨力了，不是分度值嗎。

游標(biāo)卡尺的分辨力應(yīng)該是0.02還是0.01呢?

回復(fù) 1# 史錦順


    不明白。(0-25)mm的千分尺最大允許誤差是正負(fù)4微米，而其分度值是0.01mm呀！

分度值和分辨力不是一回事，分度值指相鄰刻線的距離，分辨力是能分辨的能力（一般用于數(shù)顯尺）

人們大多數(shù)不怎么關(guān)注分辨力是因?yàn)橛行┥碳覟榱诵Q自己儀器有多好，就一味的增加小數(shù)位，結(jié)果導(dǎo)致了很多儀器本身的不穩(wěn)定性。比如說一臺(tái)拉力試驗(yàn)機(jī)是10kN的結(jié)果分辨力搞了個(gè)0.1N，乍一看是分辨力高了，但穩(wěn)定性下來了。