貝塞爾公式為什么選擇自由度為N-1

由于貝塞爾公式計算試驗標準差時利用的是殘差Xi-X的平方和計算，對于n個樣本，其殘差之和為0，所以說對于n個數據，只有n-1個獨立殘差，所以自由度為n-1

總有人要求別人講得小學生都懂，我覺得是無理要求。你要真正弄懂，得自己查資料研究了。要讓別人講得小學能都能弄懂，那他起碼得給你把初中、高中、大學的語文、數學等相關學科講一遍，還要講得讓小學生懂，那真是有點難為人了！

在單位上，也有人是這樣，包括一些領導，總要讓別人把一些比如操作規程寫清楚，要讓一個外行看到就立即能照做。我說提這樣的要求的人首先就真是無知。一個外行都一看立馬就能照做，那還要別人多年的知識和經驗積累干什么？人家再怎么寫清楚總也得涉及一些專業的東西吧，那專業方面內涵是外行一看就能理解的？

作為應用來講，如果你實在搞不懂為什么，那就只需要知道怎么做就行了。

有限次觀測點的最佳估計值，數學可以推導出來的

自由度是指計算殘差平方和時具有獨立項的個數。因為n較大時，殘差和為零，因此n個殘差中任何一個殘差可以從另外n-1個殘差中推算出來，獨立的殘差項只有n-1個，也就是自由度為n-1。可理解為：被測量只有一個時，為估計被測量，只需測量一次，但為了提高測量的可信度而多測量了n-1次，多測的次數可以酌情規定，所以稱為自由度。由此可以推論，當待測量為t個，測量次數為n時，則自由度為n-t；如果另有r個約束條件，則自由度為n-t-r。所以自由度通常情況下定義為“總和的項數減去總和中受約束的項數”。

因為有1個約束的項數,殘差和為零!!

因為要求統計估計值是無偏的，從嚴格數學推導中可以證明除（n-1）是無偏的，而除n無法滿足無偏性要求。

從統計學的角度，如果是對總體的估計則選擇n，對樣本的估計選擇n-1.在實際的應用中，你很難得到總體，只能得到樣本，并用樣本去推算總體。

雖然看了一些資料，但是，這個真不懂，有誰能把它講得小學生都聽得懂嗎？

回復 3# lhy118


謝謝劉版，清楚一些了。

一直都是背公式，但是還真沒考慮這么多。。

推導過程小學生是看不懂的，高中沒問題，至少要初中生。

設xi為單次測量值，xav為平均值，x0為真值，

設di=xi-x0，vi=xi-xav，σ^2=[Σ(xi-x0)^2]/n=[Σdi^2]/n，

設dav=xi-xav=(Σdi)/n，則di=vi+dav，兩邊平方得到di^2=vi^2+2vi*dav+dav^2，

求和得到Σdi^2=Σvi^2+ndav^2+2Σvi*dav，

其中因為vi有正有負，n足夠大時2Σvi*dav=0，故有Σdi^2=Σvi^2+ndav^2。

對dav=xi-xav=(Σdi)/n兩邊平方，得到dav^2=(1/n^2)* Σdav^2+2Σdi*dj，

其中當n足夠大時2Σdi*dj=0，則有dav^2=(1/n^2)* Σdav^2，

如此Σdi^2=Σvi^2+ndav^2=Σdi^2=Σvi^2+(Σdav^2)/n，

又σ^2= [Σdi^2]/n，則有nσ^2=Σvi^2+σ^2，故σ^2=Σvi^2/(n-1)= Σ(xi-xav)^2/(n-1)

比較粗糙，沒有上下標，相信你能看懂。

殘差和為零是個約束條件

總有人要求別人講得小學生都懂，我覺得是無理要求。你要真正弄懂，得自己查資料研究了。要讓別人講得小學能 ...
文哥 發表于 2011-8-6 09:27

    其實有時候‘講的小學生都懂’也是很有必要的，因為有的時候你認為一個高中生、大專生、本科生，甚至于碩士生...都應該很容易理解的東西，很有可能人家都會弄錯。你認為理所當然，別人卻茫然無知，這個是存在的。當然有寫東西很難說。。

目前也在學習中，覺得看到那么多公式有些力不從心，不過仍然會繼續努力把它都學懂的，一直沒深究，現在至少比以前好一點了！

回復 8# 文哥

支持您的這種觀點。

由于貝塞爾公式計算試驗標準差時利用的是殘差Xi-X的平方和計算，對于n個樣本，其殘差之和為0，所以說對于n ...
zhouguangxia 發表于 2011-6-23 15:36

為了通俗，以下內容不一定完全正確，只是為了拋磚引玉：
自由度，顧名思義，數據的自由程度，從測量者的角度講，就是選擇數據自由的程度。
當只有一個測量數據的時候，你沒有選擇的余地，所以自由度為0；
當有兩個測量數據的時候，從中你必須選擇其中一個，當選定一個的時候，你只有一個機會選擇另外一個，所以自由度是1；
當有n個測量數據的時候，從中你必須選擇其中一個，當選定一個的時候，你只有n-1個機會選擇，所以自由度是n-1。

同理對于方差而言，自由度可以這樣理解
當只有兩個測量數據的時候，如果你已經知道平均值，則你任意自由選定一個測量數據，另一個測量數據必然被確定，所以自由度是1；
當有n個測量數據的時候，如果你已經知道平均值，則你任意自由選定n-1個測量數據時，另一個測量數據也必然能夠被確定，所以自由度是n-1

關于這個為什么是N-1而不是N的問題，《現代數學手冊－隨機數學卷》（華中科技大學出版社）P54關于樣本方差定義時，就提到在該書2.2.1小節解釋，隨即在2.2.1小節即P62－P63頁間明確提到這是為了得到無偏估計。

若自由度為0的話，還能夠使用貝塞爾公式計算A類不確定度嗎

計量壇 發表于 2015-9-28 21:45
若自由度為0的話，還能夠使用貝塞爾公式計算A類不確定度嗎

　　自由度是自由獲得測得值的個數，因此每個測得值都應該有一個自由度。但n次重復測量的n個測得值的總共n個自由度受到了“殘差和為零”這一個條件的約束，自由度也就少了一個，所以n次重復性測量的自由度為n－1。
　　“若自由度為0的話”就標志著一個測得值都沒有產生，一次測量都沒有進行，還哪里談的到不確定度的A類評定？只有在充分掌握輸入量信息的情況下，直接用掌握的信息評估不確定度，這就是不確定度的B類評定，此時只有傻子才去花錢、花時間、花精力搞什么A類評定。

規矩灣錦苑 發表于 2015-9-28 22:14
　　自由度是自由獲得測得值的個數，因此每個測得值都應該有一個自由度。但n次重復測量的n個測得值的總共 ...

沒辦法，課程老師要求，費時費力也還是得做，重點還不懂什么是什么就要開工了。言歸正傳，照你的說法，一個數據是沒有辦法求得不確定度的A類評定對吧

計量壇 發表于 2015-9-28 22:19
沒辦法，課程老師要求，費時費力也還是得做，重點還不懂什么是什么就要開工了。言歸正傳，照你的說法，一 ...

　　一個數據有沒有辦法求得A類評定方法評估的不確定度，只需要讀一下JJF1059.1-2012的4.3.2條就一清二白了。該條款明確指出，“對被測量進行獨立重復觀測”，“得到一系列測得值”是A類評定的前提條件，“一個數據”算不上“一系列”測得值，無法進行統計分析。
　　作為一個練習或家庭作業，老師要求進行一個Ａ類不確定度評定，無可厚非，學員應該積極完成。但日常工作中，不問青紅皂白一律進行了Ａ類評定再進行Ｂ類評定，就違背了JJF1059.1關于不確定度分量評定既不重復也不遺漏的原則，就是錯誤的評定方法了。

規矩灣錦苑 發表于 2015-9-28 23:12
　　一個數據有沒有辦法求得A類評定方法評估的不確定度，只需要讀一下JJF1059.1-2012的4.3.2條就一清二白 ...

謝謝，因為現在學習上課程知識沒有了以前的規律性，所以有點不適應，你這么一解釋，感覺一下子豁然開朗了

文哥 發表于 2011-7-10 08:02
因為要求統計估計值是無偏的，從嚴格數學推導中可以證明除（n-1）是無偏的，而除n無法滿足無偏性要求。 ...

方差估計是無偏的，用貝塞爾公式估計標準偏差是有偏的。但方差估計的單位是被測量的平方，使用不方便，故采用貝塞爾公式。