關(guān)于自由度的思索——九評(píng)不確定度論

          關(guān)于自由度的思索——九評(píng)不確定度論

                                                         史錦順

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推行不確定度論的《JJF1059.1測(cè)量不確定度評(píng)定與表示》，關(guān)于自由度的條款為（有下劃線的是原文）：

4.26 自由度

在方差的計(jì)算中，和的項(xiàng)數(shù)減去對(duì)和的限制數(shù)。

注 ：

1 在重復(fù)性條件下，對(duì)被測(cè)量作n次獨(dú)立測(cè)量時(shí)所得的樣本方差為

（n1^2+n2^2+……+nn^2）/(n-1)，其中n1 =X1-X平，n2 =X2-X平……
nn =Xn-X平。 因此，和的項(xiàng)數(shù)即為殘差的個(gè)數(shù)n，而當(dāng)n較大時(shí) 殘差之和等于零 （本網(wǎng)頁(yè)格式限制，表意如此）是一個(gè)約束條件，即限制數(shù)為1。由此可得自由度n=n-1。

【史評(píng)】

“當(dāng)n較大時(shí)”這話是不對(duì)的。殘差之和等于零是普適的，不需要n較大這個(gè)條件。證明很簡(jiǎn)單，對(duì)vi 求和，有兩項(xiàng)：被減數(shù)和減數(shù)。被減數(shù)求和得數(shù)據(jù)總和；減數(shù)是平均值，等于數(shù)據(jù)總合除以n,求和就是乘n(求和時(shí)共利用平均值n次)仍得數(shù)據(jù)總和。被減數(shù)與減數(shù)都是數(shù)據(jù)總和，二者相等，差值為零。

我的這段話，是我在本網(wǎng)上給《JJF1059.1》（預(yù)發(fā)稿）提意見(jiàn)時(shí)說(shuō)的，竟有兩個(gè)網(wǎng)友說(shuō)我說(shuō)的不對(duì)。趁此系列評(píng)論的機(jī)會(huì)，再詳細(xì)表述一下。

殘差一詞來(lái)自經(jīng)典測(cè)量學(xué)，什么叫殘差？

誤差理論的書(shū)上寫(xiě)得很明白，本條款也寫(xiě)得明白：測(cè)量得到的值減去平均值即（Xi-X平）就是殘差。殘差之和為零，證明很簡(jiǎn)單，上邊已說(shuō)過(guò)，不再重復(fù)。現(xiàn)舉例說(shuō)說(shuō)。

n=2：n1 = X1-(X1+X2)/2 ； n2 = X2-(X1+X2)/2

殘差之和=n1+n2 =X1+X2-(X1+X2)=0

n=3：n1 = X1-(X1+X2+X3)/3； n2 = X2-(X1+X2+X3)/3； n3 = X3-(X1+X2+X3)/3

殘差之和=n1+n2+n3=X1+X2+X3-(X1+X2+X3)=0

同理，n等于任何值，殘差之和都為零。這里特別寫(xiě)出n=2、n=3成立，可見(jiàn)殘差之和為零不要求n較大這個(gè)條件。

現(xiàn)考慮較深入的兩個(gè)問(wèn)題。n是數(shù)據(jù)量，即獨(dú)立測(cè)量的個(gè)數(shù)。談自由度，應(yīng)是有多少個(gè)獨(dú)立測(cè)量，就有多少個(gè)數(shù)據(jù)，就有多少自由度。自由度是對(duì)獨(dú)立測(cè)量說(shuō)的，是對(duì)數(shù)據(jù)說(shuō)的，自由度是多少，本質(zhì)說(shuō)的是數(shù)據(jù)有多少個(gè)取值的可能。標(biāo)準(zhǔn)方差中是用偏差Xi-EX，是n個(gè)自由度，怎么到貝塞爾公式中用平均值代替數(shù)學(xué)期望，數(shù)據(jù)量還是n個(gè)，而自由度竟變成n-1了？如果取值的自由度是n-1,則應(yīng)是有n-1個(gè)數(shù)據(jù)就決定一切了，第n個(gè)數(shù)據(jù)不起作用，是個(gè)沒(méi)有自由度的必然量。這是不符合事實(shí)的，n個(gè)數(shù)據(jù)，哪個(gè)也不能少。例如取2個(gè)數(shù)據(jù)，是2個(gè)自由度，如果已知二數(shù)據(jù)之和為b，則知道X1，必知X2是b-X1,因而是1個(gè)自由度。但取殘差平方和時(shí)是一個(gè)也不能少的。具體計(jì)算一下。

[X1-(X1+X2)/2]^2 + [X2-(X1+X2)/2]^2 =(X1-X2)^2 /4

式中X1、X2都在，哪個(gè)也不能缺，仍是2個(gè)自由度。

因此，說(shuō)殘差之和等于零是一個(gè)約束條件，即限制數(shù)為1。由此可得自由度n  = n - 1。 這句話是不對(duì)的。n個(gè)數(shù)據(jù)的自由度是n,而不是n-1。公式中用到數(shù)據(jù)之和，設(shè)為Z，這是多出一個(gè)值，自由度該加1，而多出的Z等于數(shù)據(jù)之和是約束條件，要減去1，自由度加1又減1，還是n。

    不確定度論大講自由度，其實(shí)自由度并不是不確定度論的產(chǎn)物，是早就有的。自由度該取幾的爭(zhēng)論，也就算不上是分歧點(diǎn)，不論也罷。

2011年2月，JJF1059.1《測(cè)量不確定度評(píng)定與表示》規(guī)范制修訂起草小組，提出“本規(guī)范弱化了對(duì)給出自由度的要求”，這是正確的。

自由度的概念，無(wú)實(shí)際用途，難解難算，樣板評(píng)定中有人用，除數(shù)據(jù)量的自由度取n-1外，都是些隨意的估計(jì)。筆者的意見(jiàn)是：既然弱化，就弱化到零吧。