寫1%還是寫1.0 %的問題,涉及對有效數字的理解。指標、等級都是名義值,寫1%就行了。當寫測量結果的誤差范圍時,要寫1.0 % 。下面引用本人所寫《新概念測量學》上卷(奇跡文庫-物理學-測量儀器與測量欄)第4章第6節,以供參考。 有效數字的新概念 有效數字與精度密切相關。沒有精度的概念,就談不上有效數字。 精度決定有效數字。許多講測量理論的書,擺錯了有效數字與精度的位置。有效數字取決于精度,但不能說有效數字決定精度。《數學小辭典》上說:“對于實數X,如果它的近似數是X*,當X*的絕對誤差最多不超過左邊第一個非零數字算起第K位上的半個單位,這時我們說近似數X*有K個有效數字,并把左邊第一個非零數字算起到第K位止的這K個數字都叫做近似數X*的有效數字”。 這個定義只表明保留的數字是按4舍5入法處理的。有效數字理論的主要應用場合是測量的實踐,其基本任務是正確表達測量結果。上述定義能完成這個任務嗎?測量結果的計算中可能遇到取常數近似值的問題,例如π、 的近似取值問題。取近似值有誤差,但要注意,這里的“誤差”一詞可不是測量意義下的誤差,而是取近似數這一項的誤差,是整個測量結果誤差的極小的一部分。 定義有效數字有兩條思路:第一種,描述有效數字誤差有多大;第二種,為保證精度,應如何取有效數字。教科書上的思路是第一種,出了許多問題。例如一本計量學專著上有大段話,說明如何從有效數字斷定精度,這是不對的。讓我們沿著第二種思路,重來。 有效數字概念的理論基礎是微小誤差準則。這個準則說:凡是對總誤差值的構成作用小于總誤差1/20(或1/10)的誤差,稱微小誤差,微小誤差可略。1/20這個標準比較高,可用于標準和重要的工程中;一般測量,此值可取為1/10。 一個數據,位數取得過多,多寫了無用的尾數,麻煩,不該;位數取少了,影響精度,更不可。合適地取數據的位數,就是有效數字理論的任務。測量有誤差,微小誤差可略。誤差使數據分為肯定位、隨機位與多余位。肯定位在前,隨機位在后,多余位是尾部。肯定位、隨機位上的數字,對測量結果有意義,統稱有效數字,多余位上的數字對表達測量結果無意義,是無效數字。保留有效數字,舍棄或進位多余位上的數字,這稱有效數字處理。去掉多余位上的數字,本文簡稱為截位。舍棄或進位多余數字產生的誤差稱截位誤差(舍進誤差)。截位誤差必須是微小誤差。由微小誤差準則,微小誤差可略,因而這種截位是合理的。截位的方法是:被截位上的數小于5,舍棄;大于5,進位,即上位加1;被截位恰為5時,上位是奇數時進位,上位是偶數時舍棄。截位誤差小于或等于最低保留位上單位的二分之一,它應是微小誤差(比較標準是數據自身的誤差)。有些數,例如π、根號2這些數自身無誤差可言,取近似值時,要根據計算結果精度對其要求處理:截位誤差對計算結果的影響量,應是微小誤差。 誤差量本身該取幾位有效數字,是個重要問題,是決定數據有效數字位數的關鍵。誤差量也是量,也要做有效數字處理。誤差量的截位誤差應是微小誤差,比較標準是誤差自身。舉幾個極端情況,計算一下便知:誤差取兩位即可。 例如,誤差計算結果是1.050,從左數第3位起截去,截位誤差為0.05,即為誤差自身的1/20。這是誤差取兩位時的最大截位誤差,即極限情況。由此可見,誤差取兩位足夠,取三位就顯得多了。那么誤差取一位行嗎?如果誤差量第一位數字是5或大于5,則取一位的最大誤差是1/10,這時取一位可以;但第一位數字是4或小于4,若取一位,則截位誤差不能保證小于1/10,故必須取兩位。 這樣,一般情況下,誤差取兩位。非精密測量,若誤差量第一位是5以上,則誤差可取一位,數據顯得簡潔;但第一位是4或4以下,則必須取兩位。例如誤差第一位是2,取一位,截位誤差可能達到誤差的1/4;若第一位數字是1,則截位誤差可能達到誤差的1/2。此二例違反微小誤差準則,不行。 誤差的有效數字位取定后,便可處理數據本身的有效數字。誤差的最低位與數據本身同一位對齊,數據此位及左邊各高位數字保留,右邊低位做舍棄或進位處理。易見,數據舍位誤差必是微小誤差。 簡言之,有效數字是被保留的對表達測量結果有意義位上的數字。
有效數字的新定義如下。
定義
有效數字
從數據的第一個非零數字位計起,若第K位上單位的一半始成微小誤差,這K位上的數字稱有效數字,且稱此數據有K位有效數字。第K+1位及以下位,舍去;舍位誤差不大于第K位單位的一半。
實際應用中,誤差取兩位有效數字;測得值數據最低位保留到與誤差的最低位對齊。更低位按舍位規則處理。
定義值、名義值、標稱值、要求值,這些非測得值,有幾位寫幾位,不講究有效數字,實際是看作無限精確值。 |