《史氏測量計量學說》征求意見稿（5）

                         《史氏測量計量學說》征求意見稿（5）

                                                                                                                          史錦順        

第4章 誤差量的特點與誤差合成   

1 誤差量的特點
        誤差，表明測得值與實際值（被測量的真值）的差距。誤差是個泛指的概念，包括誤差元與誤差范圍兩個概念。
       誤差元等于測得值減真值。誤差元是誤差概念的基本單元，表明誤差的物理意義與計算方法，是誤差理論的基礎。但對一項測量計量的表達對象，誤差元是可正可負、在一定界限內有大有小的量，不便直接表達與應用。
       誤差量的特點是它的上限性。取誤差元的絕對值，就去掉了誤差元的正負號；取誤差元的絕對值的一定概率（99%）意義上的最大可能值，就把誤差元的多個可能值，用一個值來代表，這個值就是誤差范圍。
       誤差范圍體現了誤差量的特點，簡單、夠用；它被應用于研制、計量、測量三大場合。研制是用計量標準與物理機制建立儀器的誤差范圍；計量靠計量標準檢驗、公證儀器的誤差范圍；測量是利用誤差范圍。人們用經過計量合格的測量儀器進行測量，在得到測得值的同時，知道了該測得值的誤差范圍不超過測量儀器誤差范圍的指標值，只要測量儀器的誤差范圍指標滿足要求，人們就得到了夠格的測量結果，達到了測量的目的。
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       將誤差元變成誤差范圍，稱為誤差合成。誤差合成還包括將局部的誤差范圍，合成為總誤差范圍。
       誤差合成的任務就是兩條：去掉諸誤差元的正負號；找到諸誤差元（以及分部的誤差范圍）共同作用產生的總誤差元的絕對值的最大可能值。
       一般量的特點是“雙限性”，就是不能過大，也不能過小。而誤差量不同，對誤差量的要求是不能過大，而越小越好，這是誤差量的“上限性”。因為誤差元有正有負，所謂誤差大、誤差小，是只論絕對值，而不管正負號。
       考慮、選取誤差合成的方案，特別要注意誤差量的上限性。。隨機誤差范圍的自身計算、各隨機誤差范圍的合成，一般都滿足大量、不相關的條件，要用“方和根”合成。取3σ為其上限。各系統誤差的合成，系統誤差與隨機誤差范圍的合成，本書基于誤差量“上限性”的特點，主張取“絕對和”法

2 誤差范圍的人、繩、狗模型   
       真值、測得值、誤差元與誤差范圍的關系，可以比喻為人、繩、狗的關系。
       真值比做人，測得值比做狗，誤差就是人與狗的距離。人狗的距離，有時是定值，有時在變化，但距離的最大值被繩長所限制。繩長比做誤差范圍，是個單一值；人與狗的距離比做誤差元，從零可變到繩的長度。
       固定人的位置，狗活動在以人為圓心、以繩長為半徑的圈內。這像研制與計量中的測得值區間。測得值區間以真值為中心、以誤差范圍為半寬。
       某時觀測到狗的位置，則人必在以狗為圓心，以繩長為半徑的圈內。這像測量中的真值區間。被測量的量值區間（真值區間）以測得值為中心、以誤差范圍為半寬。
       繩長限制了人與狗的距離。知道人的位置，可以找到狗；同樣，知道狗的位置，也可以找到人。
       同一誤差范圍，貫通于測量的研制、計量、測量三大場合。是“測得值區間”與“被測量量值區間”的標志量，是測得值與真值之間變換的基礎。研制中，確立真值到測得值的變換；測量中，給出測得值到真值的變換。誤差范圍決定兩個變換的質量，也就是決定測量的水平。
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       測量儀器的誤差范圍，在生產時被造就，而在計量時，被公證。能確認誤差范圍之值，是因為計量中有標準。
       研制與計量中，依靠真值確認誤差范圍；測量中由已知的誤差范圍與測得值而得知被測量的量值。測量結果是測得值加減誤差范圍，被測量的真值包含在測量結果中。
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誤差合成不是想當然的，當前的合成方法是基于概率論推導出來的，本來就有很嚴謹的數學基礎。建議結合案例講理論，別講空頭理論。

                       《史氏測量計量學說》征求意見稿（5.1）

                                                                                                                         史錦順

第4章 誤差量的特點與誤差合成（續1）      

3 誤差范圍的重要性
         1 誤差范圍是測量儀器的測得值函數的簡化表達（見下章）。
       2 誤差范圍是測量儀器性能的表征；誤差范圍指標值是測量儀器水平的標志。
       3 計量是對測量儀器誤差范圍的檢驗與公證。計量的作業是求得被檢儀器的實際誤差范圍值；儀器計量合格，就是指儀器的誤差范圍的實際值不大于儀器的誤差范圍指標值。
       4 誤差范圍是測量中真值函數的簡化表達（見下章）。
       5 測得值與誤差范圍共同構成測量結果。標志測量水平的是誤差范圍。在滿足儀器使用條件、正確操作的條件下，測量者用測量儀器的誤差范圍指標值，當作測得值的誤差范圍，是合理的、冗余的代換。因此，人們選用誤差范圍指標夠格的測量儀器進行測量，在得到測得值的同時，也知道了測得值的誤差范圍。被測量的真值包含在測量結果中。于是人們就達到了測量的目的。
       測量儀器的誤差范圍指標（準確度），是儀器生產的目標，是計量合格性判別的標準，是使用者選用儀器與表示測量結果的依據。測量儀器的研制、生產、使用，用一個誤差范圍指標（準確度）貫穿起來，是人類社會的組織效果，是人類文明的一種體現。

4 誤差合成方法的比較
        誤差合成，主要用于兩種場合。研制測量儀器時，依據儀器的測量方程，把構成總誤差的各個測量因素，合成為總誤差范圍。直接測量時，依據直接測量的測量方程，把隨機誤差、各項系統誤差合成為總誤差范圍。間接測量時，依據間接測量的函數關系公式，把各個直接測量的誤差范圍，合稱為總誤差范圍。計量，著眼于檢驗被檢儀器的誤差范圍，不需要進行誤差合成；在直接測量中，運用測量儀器的誤差范圍指標值，通常不必進行誤差合成。
       誤差合成有三種方法。
       （1）混合法
       歷史上，標準的研制、測量儀器的研制，誤差合成大都用混合法。就是對隨機誤差與項目較多的小的系統誤差，用方和根法；而對少數幾項大的系統性誤差，用絕對和法。這是一種直觀的判斷，沒有這方面的嚴格分析。歷史證明，混合法基本可用。
       （2）方和根法
       取各項平方和的根。
       各量和的平方，等于各量平方的和再加上交叉乘積項之和。交叉乘積項之和可以忽略的條件是各量獨立而不相關。當誤差量滿足隨機、大量、不相關這三個條件時，方可進行用“方和根”法。隨機誤差一般可認為是不相關的。隨機誤差間，可以取“方和根”。由于測量儀器不僅有隨機誤差，還有系統誤差，而且系統誤差通常占主導地位，如何判別相關性，就是個難題。
       主張采用方和根法，是當代的主流；但實際是一種行不通的空想。
       他們講道理時說，當分項間不獨立時，要計及相關系數，要計算協方差。而計算相關系數、計算協方差，極其麻煩。怎辦？通常都是設“獨立”、“不相關”；這是掩耳盜鈴的作法。不確定度理論推廣以來，對通常的相關或部分相關的情況，都按“不相關”處理，這是錯誤的。
       所謂用“相關系數公式判別相關性”實際是行不通的。相關系數公式僅僅對隨機誤差才成立，包含有系統誤差的場合，相關系數公式不成立。現有的相關系數公式對系統誤差的靈敏度為零。一般儀器是以系統誤差為主的，而相關系數又與系統誤差無關，這樣，所謂相關性判別，實際是沒法計算的。大量規范、文件、書籍所說的“假定不相關”，都是不符合實際的。是掩耳盜鈴。方和根法所要求的條件不成立，方法本身就沒有理論基礎，就行不通；硬這樣做，后果是出錯。
       （3）絕對和法
       各項分項誤差，絕對值相加（隨機誤差按3σ計入）。
       絕對和法的優點：
       1 符合誤差量上限性的特點，不要求條件、保險。
       2 符合最基本的數學原理（數學手冊方法）。
       3 實際性能到性能指標有余量，信譽高。
       4 好算，設計者歡迎。
       5 有余量，合格性的臨界狀態少，計量易判別。
       6 可靠，測量者歡迎。
       7 鑒定會容易通過。
       8 促進提高儀器性能。
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                          《史氏測量計量學說》征求意見稿（5.4）

                                                                                                                                  史錦順        

第4章 誤差量的特點與誤差合成（續4）

（5）冪的誤差公式
       定理五：Y等于A的n次方，則Y的誤差范圍等于A的誤差范圍的n倍。
       證明
       5.1物理公式
              Y=A^n  
       5.2計值公式
              Ym = Am^n
       5.3測量方程
       聯立物理公式與計值公式，解得
              Ym / Y= Am^n/A^n
       5.4 誤差范圍關系
       由測量方程
             (Y +ΔYm)/ Y= (Am/A)^n= [1+δr(A)]^n
             1+δr(Y) = 1+nδr(A)
             δr(Y) = nδr(A)
             │δr(Y) │max=│nδr(A) │max = n│δr(A) │max
       誤差元的絕對值的最大可能值是誤差范圍，故有：
             δR(A)= nδR(A)  
       定理五得證。

（6）根的誤差公式
       定理六：Y等于B的n次方根，則Y的誤差范圍等于B的誤差范圍的1/n倍。
       證明
       6.1 物理公式
              Y =B^(1/n)
       6.2 計值公式
       對物理量加標號，m表測得值
              Ym = Bm^(1/n)
       6.3 測量方程
       聯立物理公式與計值公式，解得
              Ym / Ym= Bm^(1/n) / B^(1/n)  
       6.4 誤差范圍關系
       r表誤差元，R表誤差范圍。
             (A+ΔYm)/ Y = (Bm/B)^ (1/n)= [1+δr(B)]^ (1/n)
             1+δr(Y) = 1+(1/n)δr(B)
             δr(Y) = (1/n)δr(B)
             │δr(Y) │max=│(1/n)δr(B) │max = (1/n)│δr(B) │max
       故有：
             δR(Y)=(1/n)δR(B)
       定理六得證。
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                         《史氏測量計量學說》征求意見稿（5.3）

                                                                                                                                史錦順        

第4章 誤差量的特點與誤差合成（續3）
（3）積的誤差公式
      定理三：二量積的相對誤差范圍，等于二量的相對誤差范圍之和。
       證明
       3.1物理公式
              Y = A B
       3.2計值公式
              Ym = Am Bm
       3.3測量方程
       聯立物理公式與計值公式，解得
              Ym / Y= Am Bm/(A B)
       3.4 誤差范圍關系
       由測量方程
             (Y+ΔYm)/ Y = [(A+ΔAm)/A] [(B+ΔBm)/B]
             1+δr(Y) =[(1+δr(A))][1+δr(B)]
            δr(Y) =δr(A) +δr(B)
             │δr(Y)│max =│δr(A)│max+│δr(B)│max
      誤差元的絕對值的最大可能值是誤差范圍，故有：
              δR(Y)=δR(A)+δR(B)  
       定理三得證。
            （注：δ表示相對值）
（4） 商的誤差公式
       定理四：二量相除，商的相對誤差范圍，等于二量的相對誤差范圍之和。
       證明
       4.1 物理公式
              Y = C / B
       4.2 計值公式
             Ym = Cm / Bm
       4.3 測量方程
       聯立物理公式與計值公式，解得
              Ym / Y = [Cm /Bm] B/C  
       4.4 誤差范圍關系
       由測量方程
             (Y+ΔYm)/ Y = [(C+ΔCm)/C] / [(B+ΔBm)/B]
             1+δr(Y) =[(1+δr(C))] / [1+δr(B)] =[(1+δr(C)) [1-δr(B)]
             δr(Y) =δr(C) -δr(B)
             │δr(Y) │max=│δr(C) -δr(B) │max =│δr(C) │max +│δr(B) │max
       誤差元的絕對值的最大可能值是誤差范圍，故有：
             δR(Y)=δR(C)+δR(B)   
       定理四得證。
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過路人 發表于 2015-8-26 17:49
誤差合成不是想當然的，當前的合成方法是基于概率論推導出來的，本來就有很嚴謹的數學基礎。建議結合案例講 ...

說得好！頂一下

關于【“誤差”合成方法】——

       理論上“合理”的應該是：用“相關系數”考慮“相關性”的合成公式；

       實際應用上“較合理”的是史先生稱謂的“混合法”，它實際上是按兩種極致取“相關系數”（——對號稱為“隨機誤差”的分量，按“白噪聲”對待，其自相關系數及與其它任何誤差分量之間的互相關系數一律取為“0”；對號稱為“系統誤差”的分量，其自相關系數及與其它“系統誤差”分量之間的互相關系數一律取為“1”）。對各誤差分量的“性質”認定，當然需要適當的實踐經驗。
      
       一律“方和根”（相當于將相關系數一律取為“0”），或一律“絕對和”（相當于將相關系數一律取為“1”），都是有失偏頗的。

      具體操作中對“相關系數”的取值還是應該由責任人根據經驗來定，不宜強迫他，只要讓他對“結果”負責就ok了。只有對那些毫無經驗的入門者，可以建議他采用較為“穩妥”的一律“絕對和”方法。