《史氏測(cè)量計(jì)量學(xué)說(shuō)》征求意見(jiàn)稿（5）

                         《史氏測(cè)量計(jì)量學(xué)說(shuō)》征求意見(jiàn)稿（5）

                                                                                                                          史錦順        

第4章 誤差量的特點(diǎn)與誤差合成   

1 誤差量的特點(diǎn)
        誤差，表明測(cè)得值與實(shí)際值（被測(cè)量的真值）的差距。誤差是個(gè)泛指的概念，包括誤差元與誤差范圍兩個(gè)概念。
       誤差元等于測(cè)得值減真值。誤差元是誤差概念的基本單元，表明誤差的物理意義與計(jì)算方法，是誤差理論的基礎(chǔ)。但對(duì)一項(xiàng)測(cè)量計(jì)量的表達(dá)對(duì)象，誤差元是可正可負(fù)、在一定界限內(nèi)有大有小的量，不便直接表達(dá)與應(yīng)用。
       誤差量的特點(diǎn)是它的上限性。取誤差元的絕對(duì)值，就去掉了誤差元的正負(fù)號(hào)；取誤差元的絕對(duì)值的一定概率（99%）意義上的最大可能值，就把誤差元的多個(gè)可能值，用一個(gè)值來(lái)代表，這個(gè)值就是誤差范圍。
       誤差范圍體現(xiàn)了誤差量的特點(diǎn)，簡(jiǎn)單、夠用；它被應(yīng)用于研制、計(jì)量、測(cè)量三大場(chǎng)合。研制是用計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)與物理機(jī)制建立儀器的誤差范圍；計(jì)量靠計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)檢驗(yàn)、公證儀器的誤差范圍；測(cè)量是利用誤差范圍。人們用經(jīng)過(guò)計(jì)量合格的測(cè)量?jī)x器進(jìn)行測(cè)量，在得到測(cè)得值的同時(shí)，知道了該測(cè)得值的誤差范圍不超過(guò)測(cè)量?jī)x器誤差范圍的指標(biāo)值，只要測(cè)量?jī)x器的誤差范圍指標(biāo)滿足要求，人們就得到了夠格的測(cè)量結(jié)果，達(dá)到了測(cè)量的目的。
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       將誤差元變成誤差范圍，稱(chēng)為誤差合成。誤差合成還包括將局部的誤差范圍，合成為總誤差范圍。
       誤差合成的任務(wù)就是兩條：去掉諸誤差元的正負(fù)號(hào)；找到諸誤差元（以及分部的誤差范圍）共同作用產(chǎn)生的總誤差元的絕對(duì)值的最大可能值。
       一般量的特點(diǎn)是“雙限性”，就是不能過(guò)大，也不能過(guò)小。而誤差量不同，對(duì)誤差量的要求是不能過(guò)大，而越小越好，這是誤差量的“上限性”。因?yàn)檎`差元有正有負(fù)，所謂誤差大、誤差小，是只論絕對(duì)值，而不管正負(fù)號(hào)。
       考慮、選取誤差合成的方案，特別要注意誤差量的上限性。。隨機(jī)誤差范圍的自身計(jì)算、各隨機(jī)誤差范圍的合成，一般都滿足大量、不相關(guān)的條件，要用“方和根”合成。取3σ為其上限。各系統(tǒng)誤差的合成，系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差范圍的合成，本書(shū)基于誤差量“上限性”的特點(diǎn)，主張取“絕對(duì)和”法

2 誤差范圍的人、繩、狗模型   
       真值、測(cè)得值、誤差元與誤差范圍的關(guān)系，可以比喻為人、繩、狗的關(guān)系。
       真值比做人，測(cè)得值比做狗，誤差就是人與狗的距離。人狗的距離，有時(shí)是定值，有時(shí)在變化，但距離的最大值被繩長(zhǎng)所限制。繩長(zhǎng)比做誤差范圍，是個(gè)單一值；人與狗的距離比做誤差元，從零可變到繩的長(zhǎng)度。
       固定人的位置，狗活動(dòng)在以人為圓心、以繩長(zhǎng)為半徑的圈內(nèi)。這像研制與計(jì)量中的測(cè)得值區(qū)間。測(cè)得值區(qū)間以真值為中心、以誤差范圍為半寬。
       某時(shí)觀測(cè)到狗的位置，則人必在以狗為圓心，以繩長(zhǎng)為半徑的圈內(nèi)。這像測(cè)量中的真值區(qū)間。被測(cè)量的量值區(qū)間（真值區(qū)間）以測(cè)得值為中心、以誤差范圍為半寬。
       繩長(zhǎng)限制了人與狗的距離。知道人的位置，可以找到狗；同樣，知道狗的位置，也可以找到人。
       同一誤差范圍，貫通于測(cè)量的研制、計(jì)量、測(cè)量三大場(chǎng)合。是“測(cè)得值區(qū)間”與“被測(cè)量量值區(qū)間”的標(biāo)志量，是測(cè)得值與真值之間變換的基礎(chǔ)。研制中，確立真值到測(cè)得值的變換；測(cè)量中，給出測(cè)得值到真值的變換。誤差范圍決定兩個(gè)變換的質(zhì)量，也就是決定測(cè)量的水平。
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       測(cè)量?jī)x器的誤差范圍，在生產(chǎn)時(shí)被造就，而在計(jì)量時(shí)，被公證。能確認(rèn)誤差范圍之值，是因?yàn)橛?jì)量中有標(biāo)準(zhǔn)。
       研制與計(jì)量中，依靠真值確認(rèn)誤差范圍；測(cè)量中由已知的誤差范圍與測(cè)得值而得知被測(cè)量的量值。測(cè)量結(jié)果是測(cè)得值加減誤差范圍，被測(cè)量的真值包含在測(cè)量結(jié)果中。
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誤差合成不是想當(dāng)然的，當(dāng)前的合成方法是基于概率論推導(dǎo)出來(lái)的，本來(lái)就有很?chē)?yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)。建議結(jié)合案例講理論，別講空頭理論。

                       《史氏測(cè)量計(jì)量學(xué)說(shuō)》征求意見(jiàn)稿（5.1）

                                                                                                                         史錦順

第4章 誤差量的特點(diǎn)與誤差合成（續(xù)1）      

3 誤差范圍的重要性
         1 誤差范圍是測(cè)量?jī)x器的測(cè)得值函數(shù)的簡(jiǎn)化表達(dá)（見(jiàn)下章）。
       2 誤差范圍是測(cè)量?jī)x器性能的表征；誤差范圍指標(biāo)值是測(cè)量?jī)x器水平的標(biāo)志。
       3 計(jì)量是對(duì)測(cè)量?jī)x器誤差范圍的檢驗(yàn)與公證。計(jì)量的作業(yè)是求得被檢儀器的實(shí)際誤差范圍值；儀器計(jì)量合格，就是指儀器的誤差范圍的實(shí)際值不大于儀器的誤差范圍指標(biāo)值。
       4 誤差范圍是測(cè)量中真值函數(shù)的簡(jiǎn)化表達(dá)（見(jiàn)下章）。
       5 測(cè)得值與誤差范圍共同構(gòu)成測(cè)量結(jié)果。標(biāo)志測(cè)量水平的是誤差范圍。在滿足儀器使用條件、正確操作的條件下，測(cè)量者用測(cè)量?jī)x器的誤差范圍指標(biāo)值，當(dāng)作測(cè)得值的誤差范圍，是合理的、冗余的代換。因此，人們選用誤差范圍指標(biāo)夠格的測(cè)量?jī)x器進(jìn)行測(cè)量，在得到測(cè)得值的同時(shí)，也知道了測(cè)得值的誤差范圍。被測(cè)量的真值包含在測(cè)量結(jié)果中。于是人們就達(dá)到了測(cè)量的目的。
       測(cè)量?jī)x器的誤差范圍指標(biāo)（準(zhǔn)確度），是儀器生產(chǎn)的目標(biāo)，是計(jì)量合格性判別的標(biāo)準(zhǔn)，是使用者選用儀器與表示測(cè)量結(jié)果的依據(jù)。測(cè)量?jī)x器的研制、生產(chǎn)、使用，用一個(gè)誤差范圍指標(biāo)（準(zhǔn)確度）貫穿起來(lái)，是人類(lèi)社會(huì)的組織效果，是人類(lèi)文明的一種體現(xiàn)。

4 誤差合成方法的比較
        誤差合成，主要用于兩種場(chǎng)合。研制測(cè)量?jī)x器時(shí)，依據(jù)儀器的測(cè)量方程，把構(gòu)成總誤差的各個(gè)測(cè)量因素，合成為總誤差范圍。直接測(cè)量時(shí)，依據(jù)直接測(cè)量的測(cè)量方程，把隨機(jī)誤差、各項(xiàng)系統(tǒng)誤差合成為總誤差范圍。間接測(cè)量時(shí)，依據(jù)間接測(cè)量的函數(shù)關(guān)系公式，把各個(gè)直接測(cè)量的誤差范圍，合稱(chēng)為總誤差范圍。計(jì)量，著眼于檢驗(yàn)被檢儀器的誤差范圍，不需要進(jìn)行誤差合成；在直接測(cè)量中，運(yùn)用測(cè)量?jī)x器的誤差范圍指標(biāo)值，通常不必進(jìn)行誤差合成。
       誤差合成有三種方法。
       （1）混合法
       歷史上，標(biāo)準(zhǔn)的研制、測(cè)量?jī)x器的研制，誤差合成大都用混合法。就是對(duì)隨機(jī)誤差與項(xiàng)目較多的小的系統(tǒng)誤差，用方和根法；而對(duì)少數(shù)幾項(xiàng)大的系統(tǒng)性誤差，用絕對(duì)和法。這是一種直觀的判斷，沒(méi)有這方面的嚴(yán)格分析。歷史證明，混合法基本可用。
       （2）方和根法
       取各項(xiàng)平方和的根。
       各量和的平方，等于各量平方的和再加上交叉乘積項(xiàng)之和。交叉乘積項(xiàng)之和可以忽略的條件是各量獨(dú)立而不相關(guān)。當(dāng)誤差量滿足隨機(jī)、大量、不相關(guān)這三個(gè)條件時(shí)，方可進(jìn)行用“方和根”法。隨機(jī)誤差一般可認(rèn)為是不相關(guān)的。隨機(jī)誤差間，可以取“方和根”。由于測(cè)量?jī)x器不僅有隨機(jī)誤差，還有系統(tǒng)誤差，而且系統(tǒng)誤差通常占主導(dǎo)地位，如何判別相關(guān)性，就是個(gè)難題。
       主張采用方和根法，是當(dāng)代的主流；但實(shí)際是一種行不通的空想。
       他們講道理時(shí)說(shuō)，當(dāng)分項(xiàng)間不獨(dú)立時(shí)，要計(jì)及相關(guān)系數(shù)，要計(jì)算協(xié)方差。而計(jì)算相關(guān)系數(shù)、計(jì)算協(xié)方差，極其麻煩。怎辦？通常都是設(shè)“獨(dú)立”、“不相關(guān)”；這是掩耳盜鈴的作法。不確定度理論推廣以來(lái)，對(duì)通常的相關(guān)或部分相關(guān)的情況，都按“不相關(guān)”處理，這是錯(cuò)誤的。
       所謂用“相關(guān)系數(shù)公式判別相關(guān)性”實(shí)際是行不通的。相關(guān)系數(shù)公式僅僅對(duì)隨機(jī)誤差才成立，包含有系統(tǒng)誤差的場(chǎng)合，相關(guān)系數(shù)公式不成立?，F(xiàn)有的相關(guān)系數(shù)公式對(duì)系統(tǒng)誤差的靈敏度為零。一般儀器是以系統(tǒng)誤差為主的，而相關(guān)系數(shù)又與系統(tǒng)誤差無(wú)關(guān)，這樣，所謂相關(guān)性判別，實(shí)際是沒(méi)法計(jì)算的。大量規(guī)范、文件、書(shū)籍所說(shuō)的“假定不相關(guān)”，都是不符合實(shí)際的。是掩耳盜鈴。方和根法所要求的條件不成立，方法本身就沒(méi)有理論基礎(chǔ)，就行不通；硬這樣做，后果是出錯(cuò)。
       （3）絕對(duì)和法
       各項(xiàng)分項(xiàng)誤差，絕對(duì)值相加（隨機(jī)誤差按3σ計(jì)入）。
       絕對(duì)和法的優(yōu)點(diǎn)：
       1 符合誤差量上限性的特點(diǎn)，不要求條件、保險(xiǎn)。
       2 符合最基本的數(shù)學(xué)原理（數(shù)學(xué)手冊(cè)方法）。
       3 實(shí)際性能到性能指標(biāo)有余量，信譽(yù)高。
       4 好算，設(shè)計(jì)者歡迎。
       5 有余量，合格性的臨界狀態(tài)少，計(jì)量易判別。
       6 可靠，測(cè)量者歡迎。
       7 鑒定會(huì)容易通過(guò)。
       8 促進(jìn)提高儀器性能。
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                          《史氏測(cè)量計(jì)量學(xué)說(shuō)》征求意見(jiàn)稿（5.4）

                                                                                                                                  史錦順        

第4章 誤差量的特點(diǎn)與誤差合成（續(xù)4）

（5）冪的誤差公式
       定理五：Y等于A的n次方，則Y的誤差范圍等于A的誤差范圍的n倍。
       證明
       5.1物理公式
              Y=A^n  
       5.2計(jì)值公式
              Ym = Am^n
       5.3測(cè)量方程
       聯(lián)立物理公式與計(jì)值公式，解得
              Ym / Y= Am^n/A^n
       5.4 誤差范圍關(guān)系
       由測(cè)量方程
             (Y +ΔYm)/ Y= (Am/A)^n= [1+δr(A)]^n
             1+δr(Y) = 1+nδr(A)
             δr(Y) = nδr(A)
             │δr(Y) │max=│nδr(A) │max = n│δr(A) │max
       誤差元的絕對(duì)值的最大可能值是誤差范圍，故有：
             δR(A)= nδR(A)  
       定理五得證。

（6）根的誤差公式
       定理六：Y等于B的n次方根，則Y的誤差范圍等于B的誤差范圍的1/n倍。
       證明
       6.1 物理公式
              Y =B^(1/n)
       6.2 計(jì)值公式
       對(duì)物理量加標(biāo)號(hào)，m表測(cè)得值
              Ym = Bm^(1/n)
       6.3 測(cè)量方程
       聯(lián)立物理公式與計(jì)值公式，解得
              Ym / Ym= Bm^(1/n) / B^(1/n)  
       6.4 誤差范圍關(guān)系
       r表誤差元，R表誤差范圍。
             (A+ΔYm)/ Y = (Bm/B)^ (1/n)= [1+δr(B)]^ (1/n)
             1+δr(Y) = 1+(1/n)δr(B)
             δr(Y) = (1/n)δr(B)
             │δr(Y) │max=│(1/n)δr(B) │max = (1/n)│δr(B) │max
       故有：
             δR(Y)=(1/n)δR(B)
       定理六得證。
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                         《史氏測(cè)量計(jì)量學(xué)說(shuō)》征求意見(jiàn)稿（5.3）

                                                                                                                                史錦順        

第4章 誤差量的特點(diǎn)與誤差合成（續(xù)3）
（3）積的誤差公式
      定理三：二量積的相對(duì)誤差范圍，等于二量的相對(duì)誤差范圍之和。
       證明
       3.1物理公式
              Y = A B
       3.2計(jì)值公式
              Ym = Am Bm
       3.3測(cè)量方程
       聯(lián)立物理公式與計(jì)值公式，解得
              Ym / Y= Am Bm/(A B)
       3.4 誤差范圍關(guān)系
       由測(cè)量方程
             (Y+ΔYm)/ Y = [(A+ΔAm)/A] [(B+ΔBm)/B]
             1+δr(Y) =[(1+δr(A))][1+δr(B)]
            δr(Y) =δr(A) +δr(B)
             │δr(Y)│max =│δr(A)│max+│δr(B)│max
      誤差元的絕對(duì)值的最大可能值是誤差范圍，故有：
              δR(Y)=δR(A)+δR(B)  
       定理三得證。
            （注：δ表示相對(duì)值）
（4） 商的誤差公式
       定理四：二量相除，商的相對(duì)誤差范圍，等于二量的相對(duì)誤差范圍之和。
       證明
       4.1 物理公式
              Y = C / B
       4.2 計(jì)值公式
             Ym = Cm / Bm
       4.3 測(cè)量方程
       聯(lián)立物理公式與計(jì)值公式，解得
              Ym / Y = [Cm /Bm] B/C  
       4.4 誤差范圍關(guān)系
       由測(cè)量方程
             (Y+ΔYm)/ Y = [(C+ΔCm)/C] / [(B+ΔBm)/B]
             1+δr(Y) =[(1+δr(C))] / [1+δr(B)] =[(1+δr(C)) [1-δr(B)]
             δr(Y) =δr(C) -δr(B)
             │δr(Y) │max=│δr(C) -δr(B) │max =│δr(C) │max +│δr(B) │max
       誤差元的絕對(duì)值的最大可能值是誤差范圍，故有：
             δR(Y)=δR(C)+δR(B)   
       定理四得證。
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過(guò)路人 發(fā)表于 2015-8-26 17:49
誤差合成不是想當(dāng)然的，當(dāng)前的合成方法是基于概率論推導(dǎo)出來(lái)的，本來(lái)就有很?chē)?yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)。建議結(jié)合案例講 ...

說(shuō)得好！頂一下

關(guān)于【“誤差”合成方法】——

       理論上“合理”的應(yīng)該是：用“相關(guān)系數(shù)”考慮“相關(guān)性”的合成公式；

       實(shí)際應(yīng)用上“較合理”的是史先生稱(chēng)謂的“混合法”，它實(shí)際上是按兩種極致取“相關(guān)系數(shù)”（——對(duì)號(hào)稱(chēng)為“隨機(jī)誤差”的分量，按“白噪聲”對(duì)待，其自相關(guān)系數(shù)及與其它任何誤差分量之間的互相關(guān)系數(shù)一律取為“0”；對(duì)號(hào)稱(chēng)為“系統(tǒng)誤差”的分量，其自相關(guān)系數(shù)及與其它“系統(tǒng)誤差”分量之間的互相關(guān)系數(shù)一律取為“1”）。對(duì)各誤差分量的“性質(zhì)”認(rèn)定，當(dāng)然需要適當(dāng)?shù)膶?shí)踐經(jīng)驗(yàn)。
      
       一律“方和根”（相當(dāng)于將相關(guān)系數(shù)一律取為“0”），或一律“絕對(duì)和”（相當(dāng)于將相關(guān)系數(shù)一律取為“1”），都是有失偏頗的。

      具體操作中對(duì)“相關(guān)系數(shù)”的取值還是應(yīng)該由責(zé)任人根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來(lái)定，不宜強(qiáng)迫他，只要讓他對(duì)“結(jié)果”負(fù)責(zé)就ok了。只有對(duì)那些毫無(wú)經(jīng)驗(yàn)的入門(mén)者，可以建議他采用較為“穩(wěn)妥”的一律“絕對(duì)和”方法。