克勞迪亞斯·托勒密大約于公元90年出生在希臘。托勒密同斯特雷波一道為地理學(xué)和繪制學(xué)的研究奠定了基礎(chǔ)。托勒密在天文學(xué)、光學(xué)和音樂(lè)方面也頗有造詣。真正創(chuàng)立了天文學(xué),并且計(jì)算出諸多天體運(yùn)行軌跡的是兩千年前古羅馬時(shí)代的托勒密。雖然今天我們可能會(huì)嘲笑托勒密犯的簡(jiǎn)單的錯(cuò)誤,但是真正了解托勒密貢獻(xiàn)的人都會(huì)對(duì)他肅然起敬。托勒密發(fā)明了球坐標(biāo),定義了包括赤道和零度經(jīng)線在內(nèi)的經(jīng)緯線,他提出了黃道,還發(fā)明了弧度制。
當(dāng)然,他最大也是最有爭(zhēng)議的發(fā)明是地心說(shuō)。雖然我們知道地球是圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的,但是在當(dāng)時(shí),從人們的觀測(cè)出發(fā),很容易得到地球是宇宙中心的結(jié)論。從地球上看,行星的運(yùn)動(dòng)軌跡是不規(guī)則的,托勒密的偉大之處是用四十個(gè)小圓套大圓的方法,精確地計(jì)算出了所有行星運(yùn)動(dòng)的軌跡。(托勒密繼承了畢達(dá)格拉斯的一些思想,他也認(rèn)為圓是最完美的幾何圖形。)托勒密模型的精度之高,讓以后所有的科學(xué)家驚嘆不已。即使今天,我們?cè)谟?jì)算機(jī)的幫助下,也很難解出四十個(gè)套在一起的圓的方程。每每想到這里,我們都由衷地佩服托勒密。一千五百年來(lái),人們根據(jù)他的計(jì)算決定農(nóng)時(shí)。但是,經(jīng)過(guò)了一千五百年,托勒密對(duì)太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的累積誤差,還是差出了一星期。
二、弧度制思想的提出——?dú)W拉
18世紀(jì)以前,人們一直是用線段的長(zhǎng)來(lái)定義三角函數(shù)的.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Leonhardo Eulero,1707年~1783年)在他于1748年出版的一部劃時(shí)代的著作《無(wú)窮小分析概論》中,提出三角函數(shù)是對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)線與圓半徑的比值,并令圓的半徑為1,使得對(duì)三角函數(shù)的研究大為簡(jiǎn)化.這是歐拉在數(shù)學(xué)史上的重要功績(jī)之一。
其次,歐拉在上述著作的第八章中提出了弧度制的思想.他認(rèn)為,如果把半徑作為1個(gè)單位長(zhǎng)度,那么半圓的長(zhǎng)就是π,所對(duì)圓心角的正弦是0,即sin π=0.同理,圓的的長(zhǎng)是2π,所對(duì)圓心角的正弦是1,可記作sin2π=1.這一思想將線段與弧的度量單位統(tǒng)一起來(lái),大大簡(jiǎn)化了某些三角函數(shù)公式及計(jì)算。
三、弧度制的正式提出——湯姆生
1873年6月5日,數(shù)學(xué)教師湯姆生(James Thomson)在北愛(ài)爾蘭首府貝爾法斯特(Belfast)女王學(xué)院的數(shù)學(xué)考試題目中,創(chuàng)造性地首先使用了“弧度”一詞.當(dāng)時(shí),他將“半徑”(radius)的前四個(gè)字母與“角”(angle)的前兩個(gè)字母合在一起,構(gòu)成radian,并被人們廣泛接受和引用.我國(guó)學(xué)者曾把radian譯成“弳’(由“弧”與“徑”兩字的一部分拼成).中華人民共和國(guó)成立以來(lái),中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)中都把radian譯作“弧度”,
1881年,學(xué)者哈爾斯特(G.B.Halsted)等用希臘字母ρ表示弧度的單位, 1907年,學(xué)者包爾(G.N.Bauer)用r表示;1909年,學(xué)者霍爾(A.G.Hall)等又用R來(lái)表示,現(xiàn)在人們習(xí)慣把弧度的單位省略。
弧度制的定義:
等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角,用弧度作單位來(lái)度量角的制度叫做弧度制。
以已知角a的頂點(diǎn)為圓心,以任意值R為半徑作圓弧,則a角所對(duì)的弧長(zhǎng)L與R之比是一個(gè)定值﹝與R無(wú)關(guān)﹞,我們稱(chēng)L=R時(shí)的正角為1弧度的角。以1弧度角為量角大小的單位,稱(chēng)此度量制為弧度制,以示與角的另一種度量制──角度制區(qū)別。
弧度制的基本思想:
弧度制的基本思想是使圓半徑與圓周長(zhǎng)有同一度量單位,然后用對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)與圓半徑之比來(lái)度量角度,這一思想的雛型起源于印度。印度著名數(shù)學(xué)家阿利耶毗陀﹝476?-550?﹞定圓周長(zhǎng)為21600分,相應(yīng)地定圓半徑為3438分﹝即取圓周率π3.142﹞,但阿利耶毗陀沒(méi)有明確提出弧度制這個(gè)概念。嚴(yán)格的弧度概念是由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉﹝1707-1783﹞于1748年引入。歐拉與阿利耶毗陀不同,先定半徑為1個(gè)單位,那么半圓的弧長(zhǎng)為π,此時(shí)的正弦值為0,就記為sinπ= 0,同理,1/4圓周的弧長(zhǎng)為π/2,此時(shí)的正弦為1,記為sin(π/2)=1。從而確立了用π、π/2分別表示半圓及1/4圓弧所對(duì)的中心角。其它的角也可依此類(lèi)推。
弧度制的精髓:
弧度制的精髓就在于統(tǒng)一了度量弧與半徑的單位,從而大大簡(jiǎn)化了有關(guān)公式及運(yùn)算,尤其在高等數(shù)學(xué)中,其優(yōu)點(diǎn)就格外明顯。