標(biāo)準偏差概念，您確定很理解它嗎？

武漢大學(xué) 葉曉明

論文《The new concepts of measurement error theory》（Measurement, Volume 83, April 2016,Pages 96–105）的早期中文版曾投往國內(nèi)某權(quán)威測量學(xué)報，其中有一段關(guān)于精度（精密度，precision）概念并非發(fā)散度的論述，強調(diào)單一測量結(jié)果并不存在離散問題。但是，這個版本卻被審稿人直接以現(xiàn)有文獻為依據(jù)給否定了，審稿人認為我連測繪學(xué)的精度概念都沒有理解清楚。

也許您也會說，精度可不就是測量結(jié)果的發(fā)散度嗎？現(xiàn)有測量教科書、測量標(biāo)準（包括國際標(biāo)準）等不都是把標(biāo)準偏差解釋成分散度或分散性嗎？那么，我這里只能很遺憾地告訴您，您也沒有真正理解標(biāo)準偏差的概念內(nèi)涵。而且，不僅您，當(dāng)前測量界真正正確地理解這個概念的人并不多。教科書、測量標(biāo)準（包括國際標(biāo)準）等都把標(biāo)準偏差解釋成了測量結(jié)果的分散度或分散性，恰恰就說明了這個事實。

標(biāo)準偏差是概率論中的概念，其定義就是σ2=E(X-EX)2。在現(xiàn)代測量中，有時用它表達精度（精密度），有時用它表達不確定度。但無論是精度還是不確定度，人們的思維總跟“離散度”、“發(fā)散性”糾結(jié)在一起，這些字眼在精度和不確定度的概念定義中都能看到。雖然有些學(xué)者已經(jīng)注意到一個唯一的測量結(jié)果沒有發(fā)散性問題，卻又想當(dāng)然地把它理解成未來重復(fù)測量結(jié)果的發(fā)散度，這仍然是個錯誤的理解。

標(biāo)準偏差的概念解釋是現(xiàn)有測量理論的一大敗筆，作者在《現(xiàn)有測量學(xué)理論的幾大敗筆》（http://www.sciencenet.cn/dz/showdz.aspx?id=937）中也曾以珠峰高程結(jié)果8844.43米、標(biāo)準偏差±0.21米為例指出過這個問題：

1、一個唯一的8844.43是沒有發(fā)散之說的。

2、也不能解釋成未來同樣測量條件下重復(fù)測量結(jié)果序列的發(fā)散度。因為如果同樣測量條件下重復(fù)測量，重復(fù)測量中各種測量條件（包括儀器內(nèi)外各種環(huán)境條件、操作者的主觀條件等）都保持絕對不變（這實際不能實現(xiàn)），那必然是，每個測量的誤差形成過程一模一樣，測量結(jié)果將永遠是8844.43同一結(jié)果，測量結(jié)果序列也就不可能發(fā)散，離散度當(dāng)然就是0。但每個結(jié)果的標(biāo)準偏差卻都仍然還是±0.21，因為每個測量過程都是一模一樣。

3、也不能解釋成未來不同測量條件下重復(fù)測量結(jié)果序列的發(fā)散度。因為如果每次按不同條件進行重復(fù)測量，測量結(jié)果雖然會表現(xiàn)離散，但那跟當(dāng)前的標(biāo)準偏差沒有聯(lián)系。如果測量條件變化太隨意，結(jié)果序列必然過分離散；如果測量條件變化太少，離散度又將非常小；究竟多少變化條件剛好使離散度正好是±0.21米？只有天知道。

用珠峰高程做實驗不現(xiàn)實，但用一個電子秤做個稱重實驗總還容易實現(xiàn)。用電子秤的MPE（最大允許誤差）做依據(jù)分析出其稱量的某個重物重量的標(biāo)準偏差，然后分別用同樣條件、不同條件重復(fù)測量試試看？看看重復(fù)測量的分散度跟前邊的標(biāo)準偏差能吻合否？

那么，標(biāo)準偏差概念的正確解釋究竟應(yīng)該是怎樣的呢？

首先，我們得看看概率論是做什么的。很顯然，概率論研究的是一個未知事件的概率。一個已知事件是不存在概率問題的，一批已知事件也同樣不存在概率問題，事件都已經(jīng)是確鑿已知的那還有什么概率可談呢？

其次，一個未知事件一定只能只有一個結(jié)果，如果這個事件的演變過程的來龍去脈規(guī)律都被人類完全掌握，那么這個結(jié)果就完全可以推定出來，就當(dāng)然也不需要概率論了。而事實是，人類對各種自然規(guī)律的掌握只能做到有限，仍然有許多微觀細節(jié)的過程不能完全掌控，這些沒有掌控的過程是模糊不確定的，或者已經(jīng)掌控的過程中仍然存在沒有完全掌控的模糊成分，甚至人們有時還有意地對已經(jīng)掌握的規(guī)律過程也按模糊過程來處理。這些模糊的過程條件對結(jié)果的概率區(qū)間的影響畢竟都是有限的，這就是人類研究概率論的原因。就是說，事件結(jié)果未知不確定的根源是過程的模糊不確定，模糊不確定的過程條件當(dāng)然就不能扯什么“同樣條件”字眼了。誰能保證硬幣的從拋出到著地的所有條件過程每次都是一模一樣？

那么，概率論是如何對一個未知事件的概率進行研究的呢？答案是，實驗統(tǒng)計和原理分析相結(jié)合。根據(jù)硬幣二面等概率原理推定拋擲試驗中各面朝上概率是50%，這就是原理分析；而根據(jù)大量拋擲實驗進行統(tǒng)計得出各面朝上概率是50%，這就是實驗統(tǒng)計。而諸如方差傳播率等也是原理分析方面的重要規(guī)律。

標(biāo)準偏差的概念定義σ2=E(X-EX)2表達的實際就是一個實驗統(tǒng)計原理而已，通過對一批已知測量結(jié)果的離散性進行統(tǒng)計分析，評價其中任意一個測量結(jié)果單獨發(fā)生時所存在的概率區(qū)間，這才是分散性和概率的對應(yīng)關(guān)系。獲得一個測量結(jié)果序列{Xi}（實驗樣本），通過σ2=E(X-EX)2計算出標(biāo)準偏差σ，這樣，對于任意一個獨立發(fā)生的測量結(jié)果Xi來說，它就一定存在于一個以EX為數(shù)學(xué)期望以σ為標(biāo)準偏差的概率區(qū)間內(nèi)。就是說，當(dāng)任意一個獨立的測量結(jié)果Xi被給定了以后，獨立測量結(jié)果與數(shù)學(xué)期望之差Xi-EX是個恒差，這個恒差存在于一個以0為數(shù)學(xué)期望以σ為標(biāo)準偏差的概率區(qū)間內(nèi)。也就是說，標(biāo)準偏差σ是誤差Xi-EX所存在的概率區(qū)間的評價值，它表達誤差Xi-EX在概率區(qū)間內(nèi)各點都有存在的可能，只是概率各不相同。但請?zhí)貏e注意，這并不是說誤差在概率區(qū)間內(nèi)隨時間隨機不停地變化——絕對不可以這樣偷換概念！

因為測量結(jié)果序列{Xi}的獲取過程是存在模糊條件的，每一個Xi的形成條件都實際上存在差異，未來的測量條件與當(dāng)前測量條件無法建立確鑿的比擬關(guān)系，我們自然不必要把當(dāng)前的標(biāo)準偏差和未來的測量結(jié)果糾纏在一起說事。我們只需說，在當(dāng)前已有的n個Xi樣本中，任何一個獨立樣本與數(shù)學(xué)期望之差Xi-EX的標(biāo)準偏差都是σ。這就足夠了。未來的測量自然有未來的測量結(jié)果，自然也會有它相應(yīng)的標(biāo)準偏差評價，是另外一回事情。

而進一步的事實是，當(dāng)人們在測量實踐中獲取了n個離散的測量結(jié)果Xi的時候，這時必須按照一定的準則給出最佳唯一測量結(jié)果（測繪學(xué)叫平差）。譬如:按最小二乘原理可得出最佳唯一測量結(jié)果為其均值Y=(X1+X2+…+Xn)/n，這時唯一測量結(jié)果Y與數(shù)學(xué)期望之差Y-EX的標(biāo)準偏差就是σ/√n了。

最終唯一測量結(jié)果與數(shù)學(xué)期望之差是個未知的恒差，這個恒差的大小程度用標(biāo)準偏差來描述，標(biāo)準偏差是一個含有概率意義的誤差存在范圍的概念，這才是標(biāo)準偏差的概念實質(zhì)。人們過去的誤區(qū)就是只注意到分散性統(tǒng)計，甚至跟什么白噪聲等聯(lián)系起來，而忽視了分散性統(tǒng)計的真實目的——評價一個測量結(jié)果的一個未知誤差的概率區(qū)間。把標(biāo)準偏差、精度、不確定度等定義為分散性評價自然就不妥了。

現(xiàn)在，測量結(jié)果與數(shù)學(xué)期望之差——所謂的隨機誤差是個未知的恒差，這個恒差的大小程度可以用標(biāo)準偏差來評價。那么，一個更進一步的問題是，數(shù)學(xué)期望與真值之差——所謂的系統(tǒng)誤差也是個未知的恒差，是否也可以用標(biāo)準偏差來評價呢？答案當(dāng)然是肯定的，這只需站在造成這個恒差的上游測量的角度看問題即可，而所有上游測量那里的測量統(tǒng)計分析的過程和當(dāng)前測量過程在本質(zhì)上實際是完全相同的。

當(dāng)您理解到這里的時候，請接受我的歡迎，您已經(jīng)走上了我的新概念誤差理論的主體思路：誤差都是恒差(站在給定測量結(jié)果的角度)、都遵循隨機分布且都有標(biāo)準偏差評價其概率區(qū)間，誤差不存在系統(tǒng)和隨機的類別之分；誤差合成——代數(shù)法則，標(biāo)準偏差合成——概率法則；精度、正確度和準確度就該作廢了，不確定度就有了很明確的概念內(nèi)涵了。


2016 6 12于武漢大學(xué)

很專業(yè)學(xué)習(xí)了

非常感謝，您對標(biāo)準偏差從數(shù)學(xué)模型中解釋，每次測試得出誤差都是恒差，我非常的贊同。
所有測試過的值都有恒定的誤差，而為了反應(yīng)未來測試時，測試值誤差可能產(chǎn)生范圍，我們進行多次測試，希望以實驗統(tǒng)計和原理分析相結(jié)合，模擬出未來可能產(chǎn)生的結(jié)果。標(biāo)準偏差在數(shù)學(xué)中反應(yīng)的是分散性，反映組內(nèi)個體間的離散程度，但我們用這個分散性反應(yīng)未來的測試結(jié)果，那么必然是概率的事情。
正如樓主所說，我們做這么多次測量，給出標(biāo)準偏差，給出不確定度等一系列的數(shù)據(jù)，不是為了反應(yīng)之前測試的值的，那都是恒定的，在條件不同后，測試都結(jié)果都是會變的。。我們是為了反應(yīng)未來的情況，在給定未來的測試條件范圍后，經(jīng)實驗統(tǒng)計和原理分析，我們可以推斷未來的測試結(jié)果在一定概率下存在于我們的不確定度范圍內(nèi)。使得計量測試得以傳遞，這才是目的。

根據(jù)JJF1001-1998《通用計量名詞及定義》，精度一詞不再使用。不知道在測繪方面這個術(shù)語方面是怎么規(guī)定的，麻煩樓主能講解一下。

285166790 發(fā)表于 2016-6-17 17:23
根據(jù)JJF1001-1998《通用計量名詞及定義》，精度一詞不再使用。不知道在測繪方面這個術(shù)語方面是怎么規(guī)定的， ...

精度---精密度也。主貼中有明確說明呀。

因為系統(tǒng)誤差都被改正了（沒有正確度問題），精度（精密度）就等于準確度了，就這么個邏輯。

吳下阿蒙 發(fā)表于 2016-6-17 16:38
非常感謝，您對標(biāo)準偏差從數(shù)學(xué)模型中解釋，每次測試得出誤差都是恒差，我非常的贊同。
所有測試過的值都有 ...

未來如何，得對未來的情形進行具體分析，以后的事情由以后去說。以后不排除與當(dāng)前存在類比關(guān)系，但請注意標(biāo)準差說的是當(dāng)前而不是以后，請多注意下面這段文字：

因為測量結(jié)果序列{Xi}的獲取過程是存在模糊條件的，每一個Xi的形成條件都實際上存在差異，未來的測量條件與當(dāng)前測量條件無法建立確鑿的比擬關(guān)系，我們自然不必要把當(dāng)前的標(biāo)準偏差和未來的測量結(jié)果糾纏在一起說事。我們只需說，在當(dāng)前已有的n個Xi樣本中，任何一個獨立樣本與數(shù)學(xué)期望之差Xi-EX的標(biāo)準偏差都是σ。這就足夠了。未來的測量自然有未來的測量結(jié)果，自然也會有它相應(yīng)的標(biāo)準偏差評價，是另外一回事情。

yeses 發(fā)表于 2016-6-20 09:00
未來如何，得對未來的情形進行具體分析，以后的事情由以后去說。以后不排除與當(dāng)前存在類比關(guān)系，但請注意 ...

是這樣的啊，但現(xiàn)在給出的測量數(shù)據(jù)的目的是給未來測試使用的 啊。。不然計量的目的何在？
我知道這些數(shù)據(jù)是當(dāng)前的分析，但我們的目的，和實際的運用，都是用這些現(xiàn)在的數(shù)據(jù)去反應(yīng)未來可能發(fā)生的測量結(jié)果，這就是概率的事情了啊。

吳下阿蒙 發(fā)表于 2016-6-20 11:05
是這樣的啊，但現(xiàn)在給出的測量數(shù)據(jù)的目的是給未來測試使用的 啊。。不然計量的目的何在？
我知道這些數(shù)據(jù) ...

給未來使用沒錯，但不代表未來的測量結(jié)果就一定如何如何，沒有這種預(yù)測功能，至多只能說：未來如果能做到同樣的測量條件（實際不可能做到，“同樣”只是個理想），那么肯定還是一樣的結(jié)果和一樣標(biāo)準差；未來測量條件和當(dāng)前肯定不一樣，結(jié)果就肯定說不清楚了，試想想，誰能保證未來重復(fù)測量珠峰高程多個結(jié)果的離散度正好就是0.21？一個人身高的測量結(jié)果的不確定度是1cm，誰能說未來重復(fù)測量這個人的身高其多個結(jié)果的離散度就是1cm？

測量的目的首先是要對當(dāng)前的誤差做出評價，當(dāng)前都說不清，未來就更說不清了。