計量論壇

標題: 在測量計量中怎樣正確運用微分法——《史法》之應用. [打印本頁]

作者: 史錦順 時間: 2021-11-20 10:55
標題: 在測量計量中怎樣正確運用微分法——《史法》之應用.
本帖最后由史錦順于 2021-11-27 07:53 編輯

              在測量計量中怎樣正確運用微分法
                        ——《史法測量計量學》之應用
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                                                                                                      史錦順
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引言
微分法是誤差理論的基本方法。不過微分法在測量計量中應該怎樣用，卻頗費思量。
我于1963年夏北大畢業分配到國家計量院。測量計量的基本理論與基礎工作是誤差分析。看了些國內外文獻資料后，產生一個疑問：為什么微分值就是誤差（元）？此事在腦中存疑三十多年。想通了，做學術報告、發表文章，已經快退休了。好在“退”而未“休”，專心于研究、推廣，近二十五年了。贊成者幾人？我確信：能懂者不少，但不敢相信者很多——中國的一個普通研究者也能創立一種基礎性很強的新學說嗎？我認為，學術研究，理論基礎是重要的，但更重要的是邏輯思維。就當前世界測量界的基礎應用理論被不確定度體系造成的混亂來說，中國學者要挺起脊梁，建立有中國特色的新學說。

誤差是測量值同實際值之差。微分是自變量的改變量與函數改變量之間的關系。二者怎么聯系起來？
被測量的量是客觀存在的量，簡稱被測量。人們對被測量的認知就是測量值。
人們如何認知被測量的量值？那就要知道這個量同其他物理量的關系，就是知道與該被測量相關的物理公式。以實現被測量同已知量的比較。這就要引用或建立物理公式。

第一部分  在測量中怎樣正確運用微分法

一測量的誤差分析

1 建立物理公式
第一步，建立物理公式，是測量的基礎。物理公式是實際值之間的關系式。實際值就是客觀的值，在經典測量學中又被稱為“真值”。
物理公式中的值，都是實際值，都是真值。物理公式是客觀物理規律的定量表達。物理公式中的量值是確定的、可知的。
近代物理學的哲學基礎是唯物論，物理量之間的關系是客觀的。物理公式就是物理量之間的數學表達式。物理量的量值必然是可知的。
將待測量表為相關量的函數，得測量計量學的物理公式。

不確定度體系問世（1993）的理由是“真值不可知”，“誤差不可求”，要“評定不確定度”。其哲學基礎是不可知論。否定物理公式中的量值是可知的，不建立嚴格的公式，而作“模型”，不進行嚴格的計算，卻胡亂“估計”。否定物理公式中量值的客觀性、可知性，這是對近代物理學的全盤否定。這當然是錯誤的：被否定的只能是不確定度體系本身。

2 建立計值公式
測量是將待測量與已知量進行比較。測量儀器必須有機內標準，能實現待測量與機內標準的比較。其比值加測量單位，就是儀器示值，就是測量值。
物理公式中的量是客觀實際值。在物理公式的量值上，加上腳標，就構成計值公式。計值公式中必有一個是認定值，就是機內標準的標稱值，用腳標n來表示。標準的標稱值就是標準的定義值。它是物理量的定義確定的，一般是由上一級標準傳遞而來的。計值公式中的其他值是測量得到的。

3 建立測量方程
把計值公式同物理公式聯立，得測量方程。
計值公式與物理公式之比，是函數相對差的表達；計值公式與物理公式之差，是函數絕對差的表達，二者等效。依應用方便而選用。

4 建立測量值函數
   由選用的測量方程，直接解出測量值函數。

5 求測量值函數的微分；變成差分，得到誤差元
決定測量值函數的量，包含物理公式、計值公式的全部的量。重要的一步，是分辨常量與變量。由于計值公式是物理公式加腳標而來，因此，各量成對；其中一量是常量，另一量是變量。

在測量中，任務是用測量儀器認知被測量的量值。計值公式的機內標準的標稱值是常量，與其對應的物理公式的量是變量。此外其他的量，物理公式中的量是客觀存在，是常量；而計值公式中的量是經過測量而知的各自的測量值，是變量。

在計量中，是在有測量標準的條件下，測定被檢儀器的誤差范圍。要測定隨機誤差范圍3σ（精密度）；測定系統誤差β；合成而為計量測得的誤差范圍R[sub]計[/sub]，若R[sub]計[/sub]小于儀器誤差范圍指標值，則被檢儀器合格；否則不合格。計量中，微分法的應用，容易出錯，本文第二部分專述。

二幾項測量誤差分析的實例

例1  米尺測量長度
   米尺有長度刻度。米尺上的刻度是米尺長度的標稱值，與米尺的實際長度有區別。
   設米尺的實際長度是D，標稱長度（刻度值）是D[sub]n[/sub]；被測物的實際長度是L， L是被測量的實際值，測量值是L[sub]測[/sub]。
   長度測量的方法是對齊米尺與被測量。零點對齊，讀被測量終端對應的米尺刻度，就是被測量的測量值L[sub]測[/sub]。

（一）《史法測量計量學》的分析
符號：
L——被測量長度的實際值
L[sub]測[/sub]——被測量長度的測量值
D——米尺長度的實際值
D[sub]n[/sub]——米尺長度的標稱值

   物理公式
            L = D                                     （1.1）
   計值公式
            L[sub]測 [/sub]= D[sub]n  [/sub]                               （1.2）
   測量方程
            L[sub]測[/sub] /L = D[sub]n[/sub]/D                            （1.3）
   測量值函數
            L[sub]測[/sub] = (D[sub]n[/sub]/D)L                            （1.4）

A 微分法
   注意，微分是對變量微分，要區分常量與變量。
   測量值函數中，D[sub]n[/sub]是標稱值，相當于定義值，是常量。尺長的實際值是變量。被測量的實際值，在討論測量問題時是常量，而測量值L[sub]測[/sub] 是變量。
            dL[sub]測[/sub]={ ?[(D[sub]n[/sub]/D)L]/ ?D} dD
               = D[sub]n[/sub]L(-1/D[sup]2[/sup]) dD
            ΔL[sub]測[/sub] = - (LD[sub]n[/sub]/D)( ΔD/D)
            ΔL[sub]測 [/sub]/(LD[sub]n[/sub]/D) = - ΔD/D
            ΔL[sub]測[/sub] /L [sub]測[/sub]= - ΔD/D
            δL[sub]測[/sub] = -δD                                        （1.5）

B 小量法
            L[sub]測[/sub] = (D[sub]n[/sub]/D)L
            L+ ΔL[sub]測[/sub] = [D[sub]n[/sub]/(D[sub]n[/sub]+ΔD)]L
            (L+ ΔL[sub]測[/sub])/L = D[sub]n[/sub]/(D[sub]n[/sub]+ΔD)
            1+δL[sub]測[/sub]=1/(1+ΔD/D[sub]n[/sub])
            1+δL[sub]測[/sub]=1-δD
            δL[sub]測 [/sub]= -δD
   微分法與小量法分析誤差，結果相同。
   （1.5）式表明，米尺測量的相對誤差，與尺長的相對誤差成反比。例如，溫度升高，米尺熱膨脹，米尺的實際長度增大，于是測量值減小。
   通常，米尺熱膨脹引入的誤差可略。裁縫用的布質米尺，可能被拉長，那測量值就可能明顯縮小。這是不當操作。
   米尺的主要誤差來自制造時刻度的誤差。有系統誤差項，是比例值，另有分辨力。
            ΔL[sub]刻度[/sub]=kL+分辨力                            （1.6）
   用米尺測量長度，米尺的刻度就是標準值，稱為標稱值。在誤差分析中，它是常量。在米尺的應用中，對齊的刻度值又是測量值。
   《史法》的分析與經典測量計量學是分析是一致的；只是規范些。

   《JJG4-1999鋼卷尺》給出的誤差計算公式為
            Ⅰ級：Δ=±(0.1+0.1L)mm
            Ⅱ級：Δ=±(0.3+0.2L)mm
   其中，L是以米為單位的長度。當長度不足米的整數倍時，取接近的最大“米”數。

（二）經典誤差理論分析的缺點
   經典的誤差分析，對物理公式直接微分。由于沒有區分變量與常量，誤差元差個正負號。由于應用的是誤差范圍，是對誤差元取絕對值（最大可能值），符號不影響應用。因此，評價可用，但有缺點。

（三）不確定度體系無法用
   由于不確定度沒有基本來源，說是“區間”，是集合的概念，卻沒有構成集合的元素。乃是無源之水，無本之木。
   對米尺的分析，不確定度沒有那個功能。而對游標卡尺的分析，不確定度體系則全錯了。沒有通用的、合理的方法，出錯是必然的。
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（待續）

作者: 史錦順 時間: 2021-11-21 07:43
本帖最后由史錦順于 2021-11-21 08:19 編輯

（接1[sup]#[/sup]）

例2 游標卡尺測量長度
【游標卡尺設置】
   1)分辨力0.05mm
   副尺的刻度是將主尺的19mm,刻為20。副尺長刻度值20，代表1mm。則副尺每個刻度值代表0.05mm.
   2)分辨力0.02mm
   副尺的刻度是將主尺的49mm,刻為50。副尺長刻度值50，代表1mm。則副尺每個刻度值代表0.02mm.
   3)分辨力0.1mm
   副尺的刻度是將主尺的9mm,刻為10。副尺長刻度值10，代表1mm。則副尺每個刻度值代表0.1mm.

【游標卡尺讀數方法】
   以最常用的分辨力0.05mm的卡尺為例。
   根據副尺零線以左的主尺上的最近刻度讀出整毫米數；2）根據副尺零線以右與主尺上的刻度對準的副尺刻線數乘上0.05mm，讀出小數；3）將上面整數和小數兩部分加起來，即為長度測量值。

【道理理解】
   以分辨力0.05mm的游標卡尺為例。歸零時，主尺0刻度對準副尺0刻度。主尺19mm對準副尺刻度20。這是整數對齊。副尺除0與20外，各刻線都不與主尺刻線對齊。副尺的刻度i與其右側的主刻線的距離是0.05imm。被測量的物長，使副尺右移。右移0.05mm,則副尺刻度1與主尺刻線對齊；右移0.05imm后，則副尺刻度i與主尺刻度線對齊。因此，副尺的第i刻線與本在其右的主尺刻線對齊，說明物長使副尺向右移動0.05imm，這個值就是物長的值。
同理，物長的整數點可作為副尺的起算點。副尺0刻度對準主尺整刻度DO，副尺刻度20對準主尺刻度DO+19mm。這是整數對齊。副尺除0與20外，各刻線都不與主尺刻線對齊。副尺的刻度i與其右側的主刻線的距離是0.05imm。被測量的物長從整數Do增加，使副尺右移。右移0.05mm,則副尺刻度1與主尺刻線對齊；右移0.05imm后，則副尺刻度i與主尺刻度線對齊。因此，實測中出現的副尺的第i刻線與本在其右的主尺刻線對齊，說明物長使副尺從D[sub]o[/sub]點向右移動0.05imm。這個示值D[sub]o[/sub]+0.05imm就是物長的測量值。

（一）《史法測量計量學》的分析
   設游標卡尺的主尺實際長度是D，標稱長度（刻度值）是D[sub]n[/sub]；副尺的刻度是d[sub]n[/sub]。被測物的實際長度是L， L是被測量的實際值，測量值是L[sub]測[/sub]。

   物理公式（客觀實際值）
            L = D+ (0.05mmi)                                        （2.1）
   計值公式
            L[sub]測[/sub] = D[sub]n[/sub] + (0.05mmi)[sub]n [/sub]                               （2.2）
   測量方程
            L[sub]測[/sub] - L = [D[sub]n[/sub]+(0.05mmi)[sub]n[/sub]] - [D+(0.05mmi)]    （2.3）
   測量值函數
            L[sub]測[/sub] = [D[sub]n[/sub]+(0.05mmi)[sub]n[/sub]] - [D+(0.05mmi)] + L    （2.4）

   對測量值的常量變量分析。不加腳標的量都是物理公式中的量，是實際值、客觀值，經典測量學叫真值（真字不必加。稱實際值最好）。帶有腳標n的值是定義值（由上級標準刻度機傳遞過來），而不帶腳標的被測量是變量。
   用差分法求誤差元。
            r = L[sub]測[/sub]-L
               = D[sub]n[/sub]-D +(0.05mm i)[sub]標稱[/sub]-(0.05mm i)[sub]實長[/sub]       （2.5）
   （2.5）式所示游標卡尺的誤差元，由制造卡尺時刻度機的準確度水平決定。
【由誤差元求誤差范圍】
   《史法》與經典測量理論分析結果相同，只是過程規范些。

（二）經典誤差理論結果
   卡尺誤差，取決于主尺刻度誤差與副尺的刻度誤差。卡尺國家標準（GB/T21389-2008）給出的卡尺誤差范圍（本例如圖中紅線）如表1

   量程150mm、分辨力0.05mm的游標卡尺的誤差范圍（最大允許誤差）的計算公式為
            R = 40μm+0.06Lμm                            （2.6）
   其中L是量程分段的上限值。本例卡尺，L為150，代入公式計算R為49μm，這是量程內的最大點。放大規整，取為0.05mm，適用于量程各點。
   公式（2.6）的值，是加工時的刻度準確度決定的。第一項表明分辨力誤差，第二項是系統線性偏移，與被測量長度成正比。

（三）不確定度體系對卡尺性能的評定
中國合格性評定國家認可委員會編譯《校準領域測量不確定度評估指南》（CNAS-GL09:2008）p42；倪育才：《實用不確定度評定》p150）實例游標卡尺的校準（根據歐洲認可合作組織提供的實例改寫）
CNAS-GL09:2008）p42（倪書《實用不確定度評定》p150）摘抄
（以下帶下劃線的部分是原文。）

一、測量原理
用一級鋼量塊作為工作標準校準游標卡尺。主尺的測量范圍為150mm,主尺的分度間隔為1mm，游標的分度間隔為1/20mm,故讀數分辨力是0.05mm.
用標稱長度在（0.5--150）內不同長度的量塊作為參考標準來校準卡尺的不同測量點，例如0mm,50mm,和150mm.但所選量塊長度應使它們分別對應于不同的游標刻度，例如0.0mm,0.3mm,0.6mm和0.9mm。
本實例對用于外徑測量的游標卡尺校準進行測量不確定度評定。校準點位150mm。-
二、數學模型
卡尺的示值誤差Ex可表示為：
         Ex=Lix-Ls+δLix+δLM+溫度項
式中：
Lix——卡尺的示值
Ls——量塊的長度
δLis——卡尺有限分辨力對測量結果的影響
δLM——機械效應，如測量力、阿貝誤差、量爪測量面的平面度和平行度誤差等對測量結果的影響
-
三、輸入量標準不確定度的評定和不確定度分量
（1）測量Lix
進行了若干次重復測量，未發現測量結果有任何發散，故讀數并不引入任何有意義的不確定度分量。對于150mm量塊的測量結果為150.10mm.于是其示值誤差Ex以及讀數引入的標準不確定度為
      Ex=150.10mm-150mm=0.10mm
      u(Lix)=0
對應的不確定度分量-
      u1(Ex)=0
（2）工作標準Ls
作為工作的量塊長度及其擴展不確定度由校準證書給出。由于在計算中使用量塊的標稱長度而不是實際長度，并且量塊的校準證書符合一級量塊的要求，故其中心長度的偏差應在±0.8μm范圍內，并假定其滿足矩形分布。于是其標準不確定度為：
      u(Ls)=0.8μm / (√3)=0.462μm
靈敏度系數為1，故對應的不確定度分量為
         u2(Ex)=0.642μm
（3）溫度差（分析略）
      u3(Ex)=1.99μm
（4）卡尺分辨力δLix
卡尺刻度間隔為50μm,故可以假設分辨力對測量結果的影響應滿足誤差限為±25μm的矩形分布，靈敏度系數為1，于是對應的不確定度分量為
         u4(Ex)=25μm / (√3) = 14.4μm
（5）機械效應δLM
機械效應包括：測力的影響、阿貝誤差       以及動尺與尺身的相互作用等，此外還有量爪測量面的平面度、平行度以及測量面相對于尺身的垂直度等。估計這些影響合計最大為±50μm并假定滿足矩形分布。由于靈敏系數為1，于是對應的不確定度分量為
         u5(Ex)=50μm / (√3) = 28.9μm
-
合成標準不確定度
         uc(Ex)=√(0.462^2+1.99^2+14.4^2+28.9^2)=32.4μm
-
   擴展不確定度
   由于最后的合成分布不是正態分布，而是上、下底之比為β=0.33的梯形分布，而梯形分布的包含因子k95=1.83,于是
      U95(Ex)=1.83 × 32.4μm = 0.06mm
-
   CNAS(原文)：結果報告
   在150mm測量點，卡尺的示值誤差是 Ex=(0.10±0.06)mm

【史錦順對此評定的評論】
這個評定樣板，是歐洲合格性合作組織給出的，又經中國國家合格性認可委員會的推薦為“指南”，因此，權威性很高。倪育才的書也全文引用。吹得很高，實際是個全盤錯誤、根本錯誤。方法本身就不對；實際的評定更錯。
1 胡亂估計
測量、計量是實驗技術。測量靠儀器，計量靠標準。一切憑實測數據說話。計量是保證測量準確的社會行為，計量權威的基礎，是實驗事實、是測量結果。計量是社會公證：第一符合實際，第二符合法律，第三對用戶負責，不把不合格的儀器誤判成合格，第四對生產廠家負責，不把合格儀器誤判為不合格。
中國合格性評定國家認可委員會所引用的歐洲合格性合作組織的樣板評定，即倪書所引的不確定度評定的上述過程，主要部分δLM，純屬胡亂估計，是瞎編。
2 離奇的結果
本評定的最后結果是被檢游標卡尺的示值誤差為(0.10±0.06)mm，就是說，此游標卡尺的示值誤差的可能值是0.04mm到0.16mm。也就是說，此卡尺示值誤差的最大可能值為0.16mm。而我國的國家標準規定，此類卡尺的允許誤差是±0.05mm。
卡尺國標與卡尺檢定規程，都規定量程150毫米、分辨力0.05毫米的卡尺，最大允許誤差是0.05毫米。而此例的評定結果卻是示值誤差最大可能為0.16毫米。竟相差3倍多。是產品真的不好，還是評定方法不對？我看是：1 瞎編數據；2 不確定度評定方法錯誤。根本就不能進行此種評定；照此評定法，就不會有任何一把卡尺合格。計量本身的不確定度已是0.06mm,而其誤差最大允許值是0.05mm，二者之差已是負值，已沒有合格的通道。
3 要害問題是拋開實測
此不確定度評定中，影響最大的項是第5項即機械效應項。
為什么估計量是±50μm？為什么不估計為10μm？又為什么不估計為100μm？大了小了，都是沒有根據的廢話。計量工作，居然編造數據，不僅無理，而且荒唐。如此荒唐的編造，竟成為中國國家合格性認可委員會的標準文件的樣板，真讓人沒法說話……。

沒有基于物理公式的計算，拋開實測而搞評估，是不確定度評定弊病的根源，是根本性的錯誤。不確定度評定是評估，是脫離實際、否定個性的作法。既不能根據物理公式進行計算，又不實際測量，卻憑空搞估計，是思想路線的錯誤，是計量歷史的一次大倒退。
這個評定錯誤不是中國人的錯，評定者是歐洲合格性組織。這是不確定度論本身的錯。國家合格性認可委員會不該把它當成好東西向讀者推薦，更不該當作“指南”。
“游標卡尺的不確定度評定”這個例子說明：不確定度體系是偽科學，必須廢棄！

（待續）

作者: 史錦順 時間: 2021-11-21 17:53
本帖最后由史錦順于 2021-11-21 18:14 編輯

例3  桿秤測量重量
1 桿秤的物理公式
   桿秤是稱重儀器。重量是質量的俗稱。
   桿秤、臺秤都利用杠桿原理。用杠桿稱重量，平衡靠重力，粗看起來，測得值似乎是重力。其實不然。在稱重的平衡條件中，重力加速度g被消掉，因此，稱重就是質量測量。
1.1 桿秤原理示意圖
   圖1  桿秤原理示意圖

   圖1為桿秤原理示意圖。物體的質量為m[sub]重[/sub]，砣的質量為m[sub]砣[/sub]，重物臂長L[sub]重[/sub]，平衡時砣臂長（示值臂長）為L[sub]示[/sub]。平衡時力矩相等，有
            F[sub]重[/sub]L[sub]重[/sub] = F[sub]砣[/sub]L[sub]示[/sub]
            m[sub]重 [/sub]g L[sub]重[/sub] = m[sub]砣[/sub] g L[sub]示[/sub]
            m[sub]重[/sub] = (L[sub]示[/sub]/L[sub]重[/sub])m[sub]砣[/sub]                                  （3.1）
   m[sub]砣[/sub]、L[sub]重[/sub]為已定常數，故可由L[sub]示[/sub]確定物體的質量m[sub]重[/sub]。注意，秤砣是質量標準，常用秤砣是5等砝碼（老制）。實際桿秤與理想桿秤的差別，僅L[sub]示[/sub]的起算點不同。
   桿秤稱出的是質量m[sub]重[/sub]，我們通常稱它為重量，可見重量就是質量。

1.2 桿秤的零點平衡
   圖1理想桿秤忽略了支點左右秤桿的質量和秤盤的質量。
   設秤盤（秤鉤）的質量為m[sub]盤[/sub]，處在A點。以支點C為界，右桿質量為m[sub]右[/sub]，質心在B點；左桿質量為m[sub]左[/sub]，質心在D點。空載定零點：設秤砣置O點時秤平衡，O點稱零點。
   圖2  桿秤零點平衡

   桿秤零點平衡條件為：
            F[sub]盤[/sub]AC + F[sub]右[/sub]BC +F[sub]砣[/sub]OC = F[sub]左[/sub]CD                   （3.2）

1.3 桿秤的稱重平衡
   圖3  桿秤稱重平衡

   秤盤上加重物后，設砣移至X點時秤平衡。
   稱重平衡條件為：
            F[sub]重[/sub]AC + F[sub]盤[/sub]AC + F[sub]右[/sub]BC = F[sub]左[/sub]CD + F[sub]砣[/sub]CX       （3.3）
   （3）式左邊減（2）式左邊等于（3）式右邊減（2）式右邊，有：
            F[sub]重[/sub]AC – F[sub]砣[/sub]OC = F[sub]砣[/sub]CX
            F[sub]重[/sub]AC = F[sub]砣[/sub]CX + F[sub]砣[/sub]OC
            F[sub]重[/sub]AC = F[sub]砣[/sub]OX
            m[sub]重[/sub]gAC = m[sub]砣[/sub]gOX
   OX記為L[sub]示[/sub]
            m[sub]重 [/sub]= (m[sub]砣[/sub]/L[sub]重[/sub])L[sub]示 [/sub]                                     （3.4）
   比較（3.4）式與（3.1）式可知，實際桿秤與理想桿秤的平衡條件僅砣臂的起算點不同。
   物體重量由從零點計起的砣臂長度示出。以上便是實際桿秤的測量原理。公式（3.4）是桿秤的物理公式。

2 桿秤的設計與制作要點
   我讀初中時，在遼寧連山。在市場旁，見過賣桿秤的個體手工業者現場制作桿秤。那時所見及現在的理解，大致說一下桿秤的設計與制作。
（1）明確桿秤的量程，選擇秤砣（外購，有標稱值與誤差范圍指標值）。
（2）制作硬木秤桿，選取支點位置，使坨臂與重臂的比例約為稱重上限（量程）與砣重之比。
（3）確定桿秤零點（O點）。
（4）用桿秤稱一砝碼，確定定標點X[sub]O[/sub]。那點表示所用砝碼的重量。這樣，特定長度OX[sub]O[/sub]的刻度值就表示所稱砝碼的重量。長度的刻度，就成了被測量重量的示值。定標一點，就確定了（4）式的比例系數。公式（4）表明物重與坨臂長有線性關系，因此，可以倍增OX[sub]O[/sub]與均分OX[sub]O[/sub].在各點上，打小孔，插入銅絲，銼平，便有了表示重量示值的“秤星”。

3 計值公式
   對（4）式進行簡化，W —物重；m —砣重，l —重臂，L —砣臂
            W = (m/l)L                                              （3.5）
   對物理公式（3.5）加腳標，得計值公式
            W[sub]測[/sub] = (m[sub]n[/sub] /l[sub]定[/sub])L[sub]示[/sub]                                  （3.6）
   m[sub]n[/sub]是秤砣的標稱質量； l[sub]定[/sub]是確定零點、定標時的重臂長度，L[sub]示[/sub]是坨臂長度的顯示值。

4 測量方程
   測量方程的相對值形式
            W[sub]測[/sub] / W = (m[sub]n[/sub] /m)( l[sub]定[/sub]/ l)(L[sub]示[/sub]/L)                （3.7）

5 測量值函數
   測量值函數為
            W[sub]測[/sub] = (m[sub]n [/sub]/m)( l[sub]定[/sub]/ l)(L[sub]示[/sub]/L)W                   （ 3.8）
   誤差（元）函數為
            r = W[sub]測[/sub]- W = (m[sub]n[/sub] /l[sub]定[/sub])L[sub]示[/sub]  = (m/l)L
            =(m[sub]n[/sub] /l[sub]定[/sub])L[sub]示[/sub] -(m/l)L                               （3.9）
   誤差范圍為
            R = │W[sub]測[/sub]- W│[sub]max[/sub]
            = │(m[sub]n[/sub] /l[sub]定[/sub])L[sub]示[/sub] -(m/l)L│[sub]max[/sub]                      （3.10）

-
6 誤差分析
6.1 常量與變量識別
W[sub]測[/sub]——被測物體的重量測量值——變量
W ——被測物體的重量實際值——常量
m ——秤砣的質量（重量）實際值——變量
m[sub]n[/sub] ——秤砣的質量（重量）標稱值——常量
l —— 測量時重臂長度——變量
l定 —— 定標時重臂長度——常量

6.2 微分法
   測量值函數為
            W[sub]測[/sub] = (m[sub]n[/sub] /m)( l[sub]定[/sub]/ l)(L[sub]示[/sub]/L)W
   測量值函數的全微分
         dW[sub]測[/sub] = (?W[sub]測[/sub]/?m)dm+(?W[sub]測[/sub] /?l)d l +(?W[sub]測[/sub] /?L[sub]示[/sub])dL[sub]示[/sub]
                  = W m[sub]n[/sub] ( l[sub]定[/sub]/ l)(L[sub]示[/sub]/L)W（-1/m[sup]2[/sup]）dm
                     + W(m[sub]n [/sub]/m)(L[sub]示[/sub]/L)W l[sub]定[/sub](-1/l[sup]2[/sup])d l
                     + W(m[sub]n [/sub]/m)( l[sub]定[/sub]/ l)(1/L)dL[sub]示[/sub]
         dW[sub]測[/sub] = -W[sub]測[/sub](1/m)dm - W[sub]測[/sub](1/l)dl+ W[sub]測[/sub](1/L[sub]示[/sub])dL[sub]示[/sub]
   寫成相對值的形式：
         dW[sub]測[/sub]/W[sub]測[/sub]= - (1/m)dm - (1/l)dl+ (1/L[sub]示[/sub])dL[sub]示[/sub]
         δW[sub]測[/sub] = δL[sub]示[/sub] – δm  - δl                               （3.11）

6.3 小量法
   用（3.6）式
            W[sub]測[/sub] / W = (m[sub]n[/sub] /m)( l[sub]定[/sub]/ l)(L[sub]示[/sub]/L)
            (W +ΔW[sub]測[/sub]) / W = [m[sub]n [/sub]/(m[sub]n[/sub]+Δm)][ l[sub]定[/sub]/(l[sub]定[/sub]+Δl)][(L+ ΔL[sub]示[/sub])/L]
            (1+δW[sub]測[/sub])= [1 /(1+δm)] [ 1/(1+δl)] [1+ δL[sub]示[/sub]]
            (1+δW[sub]測[/sub])= [1-δm]] [ 1-δl]] [1+ δL[sub]示[/sub]]
            (1+δW測)= (1-δm-δl+δL示)
            δW[sub]測[/sub]  = δL[sub]示[/sub] – δm  - δl                            （3.12）
   （3.12）式與（3.11）式相同。可見，小量法與微分法等效。

6.4 誤差因素分析
   砣臂長約1米，砣重500克，重量量程10千克。以下分析，針對量程最大刻度點（FS）。此點的絕對誤差是引用誤差，適用于量程各點，代表全量程的準確程度。

A）桿秤刻度的相對偏差與測得值的相對偏差成正比
A[sub]1[/sub]) 零點定位偏差上限0.5mm。桿長1米，引入誤差范圍5×10[sup]-3[/sup]。相當于重量刻度5克。
A[sub]2[/sub]) 示值點誤差上限0.5mm。引入誤差范圍5×10[sup]-3[/sup]。相當重量刻度5克。
A[sub]3[/sub]) 溫度影響10[sup]-5[/sup]量級，可略

B) 測量值的相對偏差量與砝碼的相對量偏差成反比
   如果秤砣的質量比標稱值小，則重量測得值比實際值偏大。如果商家把秤砣挖掉1/20，稱秤顯示的10公斤大米，實際上只有約9.5公斤。如果秤砣上沾有1/20砣重的泥巴，砣大，則示值偏小，示值為10公斤的大米，實際重量就約為10.5公斤了。
   秤砣相當最低檔的砝碼。M3等級的500克砝碼，誤差范圍為0.25克，相對誤差范圍是0.5×10-3

C）坨臂變化，即定標時與應用時的差別，主要是溫度影響，約10[sup]-5[/sup]量級，可略。

D) 分辨力0. 2mm,相當于重量刻度2克。

7 桿秤誤差范圍指標：準確度
   綜合上述分析與計算，按“絕對和”合成，滿度點的誤差范圍為17克。
   給定此秤的誤差范圍指標值為20克。就是準確度為20克。

   市場管理，對商品零售時稱重的要求
表1
糧食、蔬菜、水果或不高于6元/kg的食品

      m≤1kg             20g
      1kg<m≤2kg       40g
      2kg<m≤4kg       80g
      4kg<m≤25kg    100g

表2
肉、蛋、禽、海（水）產品、糕點、糖果、調味品或高于6元/kg，但不高于30元/kg 的食品

      m≤2.5kg                5g
      2.5kg<m≤10kg       10g
      10kg<m≤15kg       15g

   由表1可知，以上桿秤，各點的絕對誤差范圍是20克，滿足所列各項交易的稱重準確度要求。此秤可以用于表1所列各項交易。
   由表2可知，以上桿秤，各點的絕對誤差范圍是20克，不滿足表2所列各項交易的稱重準確度要求。就是說，此秤不能用于表2所列各項交易。

   思考題1  設計一桿秤，滿足表2的要求

（待續）

作者: 史錦順 時間: 2021-11-22 09:16
本帖最后由史錦順于 2021-11-24 07:41 編輯

例4 計數式頻率計的誤差分析

【史錦順提示】以下是對計數式頻率計的分析。請注意，這套誤差分析總結出測量儀器誤差的共同規律——偏倚正態分布。這在測量計量領域是十分重要的。這可以深化人們對測量儀器誤差分布規律的認識，簡化多種工作。
-
1 晶振頻率分布圖——偏倚正態分布

2 數字式頻率計的誤差分布——偏倚正態分布
2.1 數字式頻率計的誤差與機內晶振頻率偏差的關系
2.2 數字式頻率計的誤差分布——偏倚正態分布
2.3 數字頻率計的測量結果
。
3 偏倚正態分布是通常測量儀器的普遍規律

————————————————————————————

關于計數式頻率計的誤差分析，請見本欄目《測量儀器誤差的共同規律
——偏倚正態分布》一文
http://www.bkd208.com/forum.php?mod=viewthread&tid=223208&extra=page%3D2
-
（以下圖刪掉）
（待續）

頻率計測量結果 (2).jpg (94.57 KB, 下載次數: 354)

作者: 史錦順 時間: 2021-11-23 08:09
本帖最后由史錦順于 2021-11-29 07:46 編輯

例5 測速誤差分析
引言

一多普勒測速公式的推導

二求多卜勒測速誤差的準備程序
1 多卜勒測速的物理公式
2 多卜勒測速的計值公式
3 測量方程
4 測量值函數

三基于測量值函數的誤差分析
1 求誤差元
2 求誤差范圍

自變偏差統計的定義與公式
定義1 自變偏差元
定義2 自変偏差范圍

【表征精密度的標準偏差】

【阿侖方差的揚棄】

——————————————————————————————————————————————

這部分內容詳見本欄目“速度測量的誤差分析—《史法測量計量學》應用1 ”一文
http://www.bkd208.com/forum.php?mod=viewthread&tid=224372&extra=page%3D1

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
（待續）

作者: kongshuqin 時間: 2021-11-23 09:25
這才是真正有用的東西，感謝分享！

作者: 史錦順 時間: 2021-12-1 08:27
本帖最后由史錦順于 2021-12-1 08:31 編輯

（上接5[sup]#[/sup]）

第二部分在計量中怎樣正確運用微分法
測量計量是普通而又古老的學科。
測量要求測量儀器準確。測量儀器的準確由計量來監督保證。
測量是認識、確定量值。計量是認識、確定測量儀器的誤差。

1 計量的誤差分析
A 差分法
必須認清：求什么，用什么，靠什么，得什么。要明確：分析計量的誤差，是分析計量活動的影響，自變量必須是計量的因素，而被測量的測量值函數在計量中是常量。
測量是用測量儀器測量被測量，以求得被測量的值。而檢定是用被檢儀器來測量已知量值的標準，以求得測量儀器的誤差，看是否合格。檢定是測量的逆操作。測量儀器的誤差，是檢定的認識對象。檢定的目的是求得儀器的誤差，而得到的是儀器示值與標準標稱值之差；對計量本身的誤差分析，就是求這二者的差別。
記測量值為M，計量標準的標稱值為B，標準的實際值為S；儀器的誤差元（以實際值為參考）為r[sub]儀[/sub]，檢定得到的儀器測量值與標準的標稱值之差值為r[sub]視[/sub]，標準的偏差元為r[sub]標[/sub]。
1）被檢測量儀器的誤差元（定義值）為：
         r[sub]儀[/sub] = M – S                                                             （1.1）
2）檢定得到儀器的視在誤差元（以計量標準的標稱值為參考）：
         r[sub]視[/sub] = M – B                                                             （1.2）
3）標準的偏差元為
         r[sub]標[/sub] = S - B
4）（1.2）與（1.1）之差是計量誤差元：
         r[sub]計[/sub] = r[sub]視 [/sub]– r[sub]儀[/sub] =（M-B）-（M-S）
               = S–B
               = r[sub]標[/sub]                                                                      （1.3）
誤差范圍是誤差元的絕對值的最大可能值。誤差范圍關系為：
         |r[sub]計[/sub]|[sub]max[/sub] = |r[sub]標[/sub]|[sub]max[/sub]
即有
         R[sub]計[/sub] = R[sub]標[/sub]                                                                （1.4）
小r表示誤差元，大R表示誤差范圍。（1.4）式是計量誤差的基本關系式，計量誤差由標準的誤差決定。計量誤差與被檢儀器的誤差因素無關。

B 微分法
注意：測量的認識對象是被測量；而計量的認識對象是被檢儀器的誤差。微分必須對應因果關系：自變量的變化引起函數的變化，這個變化必須是“著眼點”的因果關系。

1）計量中的物理公式
            r[sub]儀[/sub] = M – S                                                       （1.5）

2）計量中的計值公式
            r[sub]視 [/sub]= M – B                                                       （1.6）

3）計量中的測量方程
            r[sub]視[/sub] –r[sub]儀[/sub] = S - B                                                                （1.7）

4）計量中的測量值函數
            r[sub]視[/sub] = S – B + r[sub]儀[/sub]                                                 （1.8）

5）計量中的微分
請注意，B是計量標準的標稱值，是常量。S是計量標準的實際值，是變量。r[sub]儀[/sub]是儀器誤差的定義值，是常量。（r[sub]視[/sub]是r[sub]儀[/sub]的測量值。r[sub]視[/sub]是測量值，是變量；與其對應的r[sub]儀[/sub]是常量）。
            dr[sub]視 [/sub]= dS
            Δr[sub]視[/sub] = ΔS                                                             （1.9）

比較一下即知，（1.9）式就是（1.3）式：
            r[sub]視[/sub]–r[sub]儀[/sub] = S–B

6）計量的誤差范圍
            R[sub]計[/sub] = |Δr[sub]視[/sub]|[sub]max[/sub]
                  = |ΔS|[sub]max[/sub]
                  = |S - B|[sub]max[/sub]
                  = R[sub]標[/sub]                                                             （1.10）

7）計量的合格性判別公式為
            |Δ|[sub]max[/sub] ≤ R[sub]儀指標[/sub] - R[sub]標[/sub]                                           （1.11）

2 不確定的度體系在對計量的分析中，微分錯誤
不確定度體系的基本模型不當，混淆對象與手段的關系，得出的計量誤差公式錯誤，導致計量的合格性判別公式錯誤。這關系到計量界每時每刻的具體業務工作；應盡快更正。“合格性判別公式”的正誤，是計量界必須弄清楚的。

2.1 不確定度體系的計量的誤差公式錯誤
不確定度體系的基本模型不當，微分看錯變量，導致計量誤差公式錯誤。
計量中，不確定度評定的測量模型是
         EM= M―B                                                                         （2.1）
M是測量值，B是標準的標稱值。EM是誤差元。對（2.1）式微分，或做泰勒展開，用大寫字母表示偏微商與自變量的乘積，有
         EM[sub]o[/sub]+ ΔEM= M[sub]o [/sub]+ ΔM[sub]分辨[/sub]+ ΔM[sub]重復[/sub]+ΔM[sub]溫度[/sub]+ΔM[sub]其他[/sub]―(B[sub]o[/sub]+ΔB[sub]標[/sub])
         ΔEM =ΔM[sub]分辨[/sub]+ ΔM[sub]重復[/sub]+ΔM[sub]溫度[/sub]+ ΔM[sub]其他[/sub]―ΔB[sub]標[/sub]                      （2.2）
（2.2）中各項表成標準不確定度形式，認為各項不相關，取“方和根”
         u[sub]C[/sub] =√ (u[sub]分辨[/sub][sup]2[/sup]+ u[sub]重復[/sub][sup]2[/sup]+u[sub]溫度[/sub][sup]2[/sup]+ u[sub]其他[/sub][sup]2 [/sup]+ u[sub]標準[/sub][sup]2[/sup] )
擴展不確定度U[sub]95[/sub]為：
         U[sub]95 [/sub]= 2u[sub]C[/sub] = 2 √ (u[sub]分辨[/sub][sup]2[/sup]+ u[sub]重復[/sub][sup]2[/sup]+u[sub]溫度[/sub][sup]2[/sup]+ u[sub]其他[/sub][sup]2 [/sup]+ u[sub]標準[/sub][sup]2 [/sup])    （2.3）
（2.3）式是當前不確定度評定最基本的公式。u[sub]分辨[/sub]表示被檢儀器分辨力的作用（包括了偏微商因子，下同），u[sub]重復[/sub]表示“用測量儀器測量計量標準”時讀數的重復性，u[sub]溫度[/sub]是環境溫度的影響，u[sub]其他[/sub]是其他因素的影響；u[sub]標[/sub]是標準的誤差范圍化成的不確定度。
依據（2.3）式進行不確定度評定，是當前計量不確定度評定的常規。中國的評定如此，歐洲的評定也是如此。又稱GUM的泰勒展開法。
公式（2.3）是錯誤的。分析如下。

1）混淆對象與手段
計量場合，對象是測量儀器。對象的變化，是它自身的性能，必然體現在測量值中，應該當作對象的問題處理，不能把它混入手段的性能中。

2）混淆對象的自變量與手段的自變量
對測量值M微分，錯誤；根源是混淆了兩類不同的自變量。
被測儀器的誤差因素，包括ΔM分辨，ΔM重復，ΔM溫度，ΔM其他都是對象的自變量，必然體現在測量儀器的示值M與標準的標稱值B的差值之中。再微分是重計、多計。

3）混淆對象的層次
（2.2）式等式左端的Δ是差值再求差，是測量值的二級差；等式右端的前四個Δ都是對測量值的求差，是一級差，與等式左端的求差是不搭配的。（如果是一級差之差，那就相當于二級差，是可以的；但這里是一級差的各項疊加。）

4）錯誤地拆分測得值函數
在測量計量理論中，測量儀器的測量值函數，是非常重要的。測量值函數的最主要的應用場合是測量儀器的研究與制造。研制測量儀器，必須依據并給出測量值函數；制造測量儀器，必須對測量值函數作泰勒展開，知道各項誤差因素，以便在生產中控制，以達到總指標的要求，生產出合格的產品來。除極個別測量儀器給出分項指標外，一般測量儀器都以總指標作為性能的標志。
測量儀器一經成為產品后，其標志性能就是其誤差范圍指標值。計量中，計量人員檢驗、公證測量儀器誤差范圍指標；測量中，測量人員相信誤差范圍指標，根據指標選用測量儀器，根據測量儀器指標，分析與給出測量值的誤差范圍。
在測量儀器的計量與測量應用中，沒必要、一般也不可能拆分測得值函數。
應用電壓表測量，要選用性能指標合乎要求的儀器，要知道使用方法，要滿足其應用條件；而無論測量與計量，著眼點都是其整體指標，沒必要對其測量值函數作泰勒展開。
測量儀器的誤差因素的作用，體現于其總指標中，總體計量不該拆分測量值函數。如果測量儀器的指標是分項給出的（數量極少，如波導測量線），計量可按分項指標，做分項計量。分項指標的“分項”與大小，是生產廠按國家技術規范標志的，指標的規定與給出，不是計量人員的職權。計量的職責是用實測判別各分項誤差性能是否符合指標。而凡標有總指標的測量儀器，必須用計量標準進行整體計量。
不確定度論普遍地拆分測量值函數，結果是形成多種錯誤。
這里要重點說明一點，測量儀器（包括計量標準），都是給人用的，其指標都是正常工作條件下的性能指標。“正常工作條件”，有國家標準或行業標準，也有國際規范。例如工作溫度，上世紀通用儀器是20℃±20℃（如今，空調、暖氣普及，也有規定為20℃±10℃的），例如，著名的銫原子頻標5061A，其標準管的準確度指標是1×10-11，而其工作溫度條件是0℃到40℃。就是說，在0℃到40℃的環境溫度下，都保證指標。現在的不確定度評定，在室內應用，要加溫度效應量，那是畫蛇添足，是錯誤的。

2.2 不確定度體系合格性判別公式錯誤
經典測量學給出：計量的誤差范圍等于所用計量標準的誤差范圍。
         R[sub]計[/sub] = R[sub]標[/sub]                                                                （1.4）
在不確定度體系中，所謂計量的不確定度U[sub]95[/sub]，就是指計量的誤差范圍。由于混淆對象和手段，錯把被檢儀器的部分性能納入U[sub]95[/sub]中。于是由此而確定的待定區半寬以及合格性判別公式，就都錯了。
將（2.3）式與（1.4）式相比較，得知不確定度評定重計（多計）了有關被檢儀器的四項誤差。這括號中的前四項，屬于被檢儀器的性能，已體現在儀器的示值中。這四項是對象的問題，算在手段上，是錯誤的。
合格性判別公式的正確式為
         |Δ|[sub]max[/sub] ≤ R[sub]儀指標[/sub] - R[sub]標[/sub]                                                 （1.11）
在不確定度體系中，合格性判別公式（例如JJF1094-2002）為
         |Δ|[sub]max [/sub] ≤ R[sub]儀指標[/sub] – U[sub]95[/sub]                                                 （2.4）
U[sub]95[/sub]的內容，包含被檢儀器的部分性能。這部分內容是對象的性能，已體現在|Δ|[sub]max[/sub]中。U[sub]95[/sub]取代R標是錯誤的。U[sub]95[/sub]部分乃至全部堵塞合格性通道，是不確定度體系的一項嚴重錯誤。
歐洲合格性組織對游標卡尺的不確定度評定（我國CNAS引為標準之實例），結果竟是：誤差范圍指標0.05mm的卡尺，用一等量塊校準，校準之不確定度是0.06mm，如是，合格性通道被堵死，則全世界的此類卡尺都不合格。多么荒唐！

【測量儀器誤差分布的一般規律】

筆者最近發現：單個應用、單個計量的精密測量儀器（包括通用測量儀器），儀器的誤差分布都是偏倚正態分布。
此點很重要，值得深入研究。筆者年老體衰，僅此寄希望于后來者。

（全文完。歡迎批評）-

作者: yuanxu2021 時間: 2024-12-2 07:39
多謝樓主分享。

作者: liujiazhu666 時間: 2024-12-12 20:32
多謝樓主分享，正在學習

作者: yuanxu2021 時間: 2024-12-13 08:14
感謝樓主分享！

作者: liujiazhu666 時間: 2024-12-16 21:02
感謝樓主分享

作者: ll90422477 時間: 2024-12-26 09:29
抱走感謝樓主分享抱走感謝樓主分享抱走感謝樓主分享

作者: wangrl93 時間: 2024-12-26 11:15
樓主用心了，感謝分享

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