討論：誤差與偏差的異同

njlyx 發(fā)表于 2019-5-18 13:29
你這是將兩個(gè)實(shí)際不同的"量"混為一談了： "C同學(xué)的成績"與"C同學(xué)所在班級(jí)任一個(gè)同學(xué)的成績"是兩個(gè)不同的" ...

"C同學(xué)的成績"與"C同學(xué)所在班級(jí)任一個(gè)同學(xué)的成績"是兩個(gè)不同的"量"，很對(duì)，一個(gè)測(cè)量結(jié)果的誤差和其他任意一個(gè)重復(fù)測(cè)量結(jié)果的誤差也是二個(gè)不同的量，照這個(gè)邏輯，一個(gè)測(cè)量結(jié)果的誤差就屬于常量了。

關(guān)于常量是確定量還是恒定量，請(qǐng)翻閱概率論吧。

yeses 發(fā)表于 2019-5-19 12:09
"C同學(xué)的成績"與"C同學(xué)所在班級(jí)任一個(gè)同學(xué)的成績"是兩個(gè)不同的"量"，很對(duì)，一個(gè)測(cè)量結(jié)果的誤差和其他任 ...

沒弄明白此處的"推論"。

存異吧。

　　"C同學(xué)的成績"是一個(gè)確定對(duì)象的成績，應(yīng)視為常量。"C同學(xué)所在班級(jí)任一個(gè)同學(xué)的成績"對(duì)于每一個(gè)他（她）自己而言，也是一個(gè)確定對(duì)象，因此也是常量。前者可稱為“保持不變的”系統(tǒng)誤差，后者可稱為“以可預(yù)見方式變化的”系統(tǒng)誤差，關(guān)鍵點(diǎn)都是直指單個(gè)被測(cè)對(duì)象。
　　但，如果“任一個(gè)同學(xué)”并不特指哪一個(gè)，而是泛指這個(gè)班級(jí)的每一個(gè)同學(xué)，作為這個(gè)班整體，每個(gè)對(duì)象就不是確定的，而是指具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律的這個(gè)整體，這就是“統(tǒng)計(jì)量”了。此時(shí)就正如葉老師所說的，"C同學(xué)的成績"與"C同學(xué)所在班級(jí)任一個(gè)同學(xué)的成績"是兩個(gè)不同的"量"，很對(duì)，一個(gè)測(cè)量結(jié)果的誤差和其他任意一個(gè)重復(fù)測(cè)量結(jié)果的誤差也是二個(gè)不同的量。
　　一個(gè)特定被測(cè)對(duì)象的量是特定的，測(cè)量結(jié)果也是特定的，誤差就一定是一個(gè)特定的值，也就一定屬于系統(tǒng)誤差的性質(zhì)。所以系統(tǒng)誤差的定義前提條件是“在重復(fù)測(cè)量中保持不變或以可預(yù)見方式變化”。正因?yàn)楸３植蛔兒涂深A(yù)見，測(cè)量次數(shù)也就無關(guān)緊要，即便測(cè)量一次也還是那個(gè)“保持不變”的誤差值，也還是“可以預(yù)見”的誤差值。
　　一群對(duì)象的整體作為被測(cè)量，測(cè)量結(jié)果存在于帶有分散性的區(qū)間內(nèi)，所以，只有統(tǒng)計(jì)量才會(huì)有隨機(jī)誤差。因此，隨機(jī)誤差的定義前提條件是“在重復(fù)測(cè)量中按不可預(yù)見方式變化”，即誤差必為經(jīng)多次測(cè)量且是以不可預(yù)見方式變化著的。而單個(gè)被測(cè)量的單次測(cè)量只有系統(tǒng)誤差而沒有隨機(jī)誤差。

               論貝塞爾公式成立的條件
                                 ——答njlyx先生
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                                                                                                                                                                                                    史錦順
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        5月12日（5層樓）njlyx 質(zhì)疑∑didj≈0是否成立。我寫了個(gè)回帖，當(dāng)時(shí)沒有發(fā)。因?yàn)橛X得此事重大，要十分慎重。
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       njlyx在5#說
      【由于正態(tài)曲線（鐘形線）的對(duì)稱性，∑didj≈0 】？……其中的"求和"范圍(項(xiàng)數(shù))有多大？如果是"無窮大"，成立；如果"足夠大"（由此"足夠大"項(xiàng)數(shù)樣本值"統(tǒng)計(jì)"出的"概率密度"已非常接近那個(gè)"鐘形曲線"---如果不做"額外"要求，此"足夠大"項(xiàng)數(shù)不說數(shù)千、也可能要大幾百！），大概成立； 如果項(xiàng)數(shù)只不過平常多見的數(shù)十項(xiàng)，若不要求"額外"的條件，是不能成立的！……這個(gè)"額外"條件就是:這些樣本值之間相互"獨(dú)立"---"互不相關(guān)"。……這些在"概率統(tǒng)計(jì)"理論中有明確論斷。】
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       先生過慮了。證明貝塞爾公式，以及我的證明：“平均值與期望值距離的公式”，都要求有“∑d_id_j的量值”這個(gè)條件。倘如先生所言，通常的測(cè)量幾十次貝塞爾公式不能成立，誤差理論與統(tǒng)計(jì)理論，就都沒有實(shí)際意義了。
       事實(shí)絕非如此。二百多年來，測(cè)量計(jì)量學(xué)與稍晚一些的數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論，對(duì)貝塞爾公式的應(yīng)用是成功的，貝塞爾公式的正確性是沒有疑問的。先生的問號(hào)，說明先生對(duì)貝塞爾公式正確性的懷疑。
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       精密測(cè)量（多次測(cè)量）的測(cè)量次數(shù)，不少于20次就可以了。一般應(yīng)在30次左右（頻率穩(wěn)定度要求測(cè)量100次）。至于有些人搞的測(cè)量6次是太少了。那是一些人為推行其某種統(tǒng)計(jì)法提倡的，而其根據(jù)又是貝塞爾公式。所謂“極差法”，由于取值過少，獲得值差別很大，除個(gè)別破壞性試驗(yàn)（代價(jià)太高）外，不該應(yīng)用。
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        njlyx又指出：“如果項(xiàng)數(shù)只不過平常多見的數(shù)十項(xiàng)，若不要求"額外"的條件，是不能成立的！……這個(gè)"額外"條件就是:這些樣本值之間相互"獨(dú)立"---"互不相關(guān)"。……這些在"概率統(tǒng)計(jì)"理論中有明確論斷。”
       當(dāng)時(shí)我想計(jì)算幾個(gè)實(shí)例看看。竟然與我從前所想的截然相反。因?yàn)橐郧笆强磿涀〉墓剑F(xiàn)在實(shí)例竟然相反，十分驚奇；顧及我多次寫文章，都是“近似為零”，一筆帶過而并未細(xì)想，如今經(jīng)njlyx先生點(diǎn)出，情況甚至比他講的更嚴(yán)重：數(shù)據(jù)越多，與零的偏離越大，……如何向人交代？老史一時(shí)驚出一身冷汗，茫茫然十多天。
       倘僅是個(gè)人錯(cuò)誤，影響有限，承認(rèn)錯(cuò)誤也就是了。但貝塞爾公式可是測(cè)量計(jì)量學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，不可或缺、不可動(dòng)搖。……
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       經(jīng)過一番反復(fù)思考，立基于“誤差的絕對(duì)性與上限性”法則，終于弄清：僅僅需要修改一下已知的條件的說明，而所有的結(jié)論不變。因此，貝塞爾公式正確無疑；老史最新的理論成果（平均值與期望值的距離D公式）也是成立的。D公式的提出，意義在于：統(tǒng)計(jì)測(cè)量僅僅需要一組測(cè)量（組數(shù)M=1，而測(cè)量次數(shù)N≥20，這恰恰與人們的實(shí)際操作一致，而與GUM的條文不同）。
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1 誤差量的特點(diǎn)
        誤差量的特點(diǎn)是其“絕對(duì)性”與“上限性”。
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2 誤差量舍棄的條件
        人們證明數(shù)學(xué)公式或物理公式，包括解方程，等號(hào)兩邊要相等，這是誰也不能違反的規(guī)律。數(shù)學(xué)公式與物理公式常常是理想公式，實(shí)踐中要加一些近似條件，變成實(shí)用公式又稱工程公式，才能應(yīng)用。例如，標(biāo)準(zhǔn)方差的核心項(xiàng)是測(cè)量值減期望值，期望值必須測(cè)量無窮次，這沒法操作。二百年前，貝塞爾先生，把“無窮次”，變成有限次“N”,這就實(shí)用化了。
        理論公式變成實(shí)際公式，必須滿足如下條件1）夠用；2）忽略量是微小量，可以忽略；3）忽略量雖然大，但滿足變換的物理意義的特殊要求，也可以；于是條件2）變成了條件3）。本文重點(diǎn)闡述。
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       人們對(duì)條件1）與條件2）是很熟悉的。這條規(guī)律就是忽略的量必須是近于零的小量（與保存量相比）。
       誤差量公式的證明，與此不同。不是公式兩邊的數(shù)值相等，而是左端（總量一側(cè)），必須大于（或等于，下同）右側(cè)各分量的合成結(jié)果

       例1  A、B二量差的誤差范圍，等于A、B二量誤差范圍之和。

       定理一：二量和的誤差范圍，等于二量的誤差范圍之和。
       證明
       （1.1）物理公式
              Y=A+B  
       （1.2）計(jì)值公式
       對(duì)物理公式加標(biāo)號(hào)，m表測(cè)得值（下同）
              Y_m=A_m+B_m
       （1.3）測(cè)量方程
       聯(lián)立物理公式與計(jì)值公式
              Y_m-Y=A_m-A+B_m-B
    （1.4）誤差范圍關(guān)系
    用r表誤差元，R表誤差范圍（下同）
    由測(cè)量方程
           r_Y=r_A+r_B
          │r_Y│_max=│r_A+ r_B│_max
                 =│r_A│_max+│r_B│_max
    誤差元的絕對(duì)值的最大可能值是誤差范圍，故有：
           R_Y=R_A+R_B  
    定理一得證。

（2）差的誤差公式
       定理二：二量差的誤差范圍，等于二量的誤差范圍之和（不是差）。
       證明
       （2.1）物理公式
              Y=C-B
       （2.2）計(jì)值公式
              Y_m = C_m-B_m.
       （2.3）測(cè)量方程
       聯(lián)立物理公式與計(jì)值公式
              Y_m-Y = C_m-C – (B_m-B)
       （2.4） 誤差范圍關(guān)系
       由測(cè)量方程
              r_Y=r_C-r_B                                                （1）
             │r_Y│_max=│r_C- r_B│_max                 =│r_C│_max+│r_B│_max
       誤差元的絕對(duì)值的最大可能值是誤差范圍，故有：
             R_Y=R_C+R_B
       定理二得證。

       對(duì)定理二的說明。由于r_C、r_B都是測(cè)量儀器的誤差，測(cè)量者只知道其規(guī)格為│r_C│、│r_B│。
       由（1）式可能有
       │r_Y│1 =│r_C│-│r_B│      （r_C＞r_B）                    （2）
       │r_Y│2 =│r_B│-│r_C│      （r_B＞r_C）                    （3）
       │r_Y│3 =│r_B│+│r_C│                                    （4）
       由于誤差范圍是“最大可能值”，即誤差量的上限性，取（2）（3）都可能是總結(jié)果偏小，都不允許。（4）則滿足上限性條件，是正確取值。
       由（2）（3）（4）可知
只要原式比取值式小，則取值式（4）都符合誤差范圍定義，都是成立的。 就是說，原式減取值式之差是“負(fù)值”，則取值式就是合理的、成立的。附加條件是該負(fù)值的絕對(duì)值不大于取值式（因取值是各個(gè)取樣值的平方和，通常不存在正種現(xiàn)象）。
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       由上分析可知，貝塞爾公式的證明中，不是要求∑di  d_j≈0，而是要求證明

                   ∑d_i d_j ＜ 0

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       貝塞爾公式的證明
       要證明
             (∑di)²  = ∑di² + ∑didj
之右端第二項(xiàng)可以忽略，只需要證明∑didj ＜ 0     
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       由于正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，有
             ∑di = Δ
            （∑di）²  = Δ²                        
             ∑di² + ∑didj = Δ²                               （5）
             ∑didj =Δ² -∑di²                                  （6）
         由于Δ²是二階小量，而∑di₂是取樣值，是大量，因此（6）式一定是個(gè)大負(fù)值。由此，∑didj必為負(fù)值。由于誤差量的上限性，所加負(fù)值可略，因此可取：
            (∑di)²  = ∑di²
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史錦順 發(fā)表于 2019-7-1 16:41
論貝塞爾公式成立的條件
                                 ——答njlyx先生
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       對(duì)25^#的一點(diǎn)說明

                  ∑d_i² + ∑d_id_j = Δ²                               （5）
       對(duì)（5）式，以∑d_i² 代替等式左端，就是以可容忍的顯著量，代替可略小量Δ²，這樣做，符合誤差范圍“上限性”法則，因而是可以的。也是充分的。（不是充要條件。因?yàn)榇砹靠扇?1/K)∑d_i²）

       如果取(1/K)∑d_i²為代表量

          ∑ν_i² = ∑d_i² -(1/NK) ∑d_i²

          ∑ν_i² = [(N-1/K)/N] ∑d_i²
          [1/N] ∑d_i² = [1/(N-1/K)] ∑ν_i²

        取（N-1）與取（N-1/K）都是允許的。由于N不小于20 ，古人已選取K=1,足夠。

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史錦順 發(fā)表于 2019-7-3 08:42
對(duì)25的一點(diǎn)說明

                  ∑d + ∑dd= Δ                               （5）

      對(duì)關(guān)系式（1）
                  (∑d_i)² = ∑d_i²                       （1）
的理解，可以從隨機(jī)誤差（基礎(chǔ)測(cè)量稱誤差，而統(tǒng)計(jì)測(cè)量稱偏差，下同）合成的角度來想一想，就不會(huì)感到突然了。原來，（1）式竟是人們最熟悉的隨機(jī)誤差合成公式。

        d_i是隨機(jī)誤差元，共有N個(gè)。N個(gè)隨機(jī)誤差元之和（∑d_i）的誤差范圍R是多大呢？就是各個(gè)隨機(jī)誤差元的“方和根”：
                   R=√(∑d_i²)                            （2）
即
                   R² = ∑d_i²
       誤差范圍是誤差元絕對(duì)值的最大可能值。
                   R = │(∑d_i)│_max
       求絕對(duì)值的方法之一是平方后再開根（初等數(shù)學(xué)規(guī)定根式為正值）
                   R =√(∑d_i)²                              （3）
       比較（2）（3），即知
                  (∑d_i)² = ∑d_i²                           （1）
       可見，（1）式乃隨機(jī)誤差理論的常見公式。用在公式證明中，不該為怪。
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史錦順 發(fā)表于 2019-7-6 21:45
對(duì)關(guān)系式（1）
                  (∑d) = ∑d                     （1）
的理解，可以從隨機(jī)誤 ...

     如果d1~dN是"標(biāo)量"，譬如，它們是一個(gè)"實(shí)數(shù)"誤差序列{d1,d2,…，dN}的各個(gè)具體"誤差"(您稱為"誤差元")，應(yīng)該不存在形如(1)式的"等式"及"不等式"，無論這誤差序列{d1,d2,…，dN}是否是所謂"隨機(jī)誤差"。………有關(guān)Bessel"實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差(校正)估計(jì)公式"推導(dǎo)中"認(rèn)為""交叉乘積和近似為零"的"說法"，如您驗(yàn)證的那樣：是不成立的【我原"以為"的那個(gè)"說法"，同樣是"想當(dāng)然"了，事實(shí)并非如此！特在此認(rèn)錯(cuò)】。 您取"和平方值"等于"平方和"某個(gè)"分(/倍)數(shù)"的"認(rèn)識(shí)"好像說的通？
      如果序列{d1,d2,…，dN}的d1~dN是有"若干分量"的"矢量"，則有形似(1)式的"不等式"("矢量和的模平方"≤"矢量模平方的和"，僅當(dāng)各分"矢量"相互"正交"時(shí)取"="號(hào))…好像就稱為"Bessel不等式"(待考)？………一個(gè)n"元素"的實(shí)數(shù)"序列"可以"對(duì)應(yīng)"一個(gè)n維"矢量"……

補(bǔ)充內(nèi)容 (2019-7-7 20:26):
說明：  此貼表述內(nèi)容不確切，申明作廢！  并特此道歉！

njlyx 發(fā)表于 2019-7-7 18:03
如果d1~dN是"標(biāo)量"，譬如，它們是一個(gè)"實(shí)數(shù)"誤差序列{d1,d2,…，dN}的各個(gè)具體"誤差"(您稱為"誤差元 ...

更正：【"矢量和的模平方"≤"矢量模平方的和"，僅當(dāng)各分"矢量"相互"正交"時(shí)取"="號(hào))】的說法不確切。