討論：誤差與偏差的異同

njlyx 發(fā)表于 2019-5-18 13:29
你這是將兩個實際不同的"量"混為一談了： "C同學(xué)的成績"與"C同學(xué)所在班級任一個同學(xué)的成績"是兩個不同的" ...

"C同學(xué)的成績"與"C同學(xué)所在班級任一個同學(xué)的成績"是兩個不同的"量"，很對，一個測量結(jié)果的誤差和其他任意一個重復(fù)測量結(jié)果的誤差也是二個不同的量，照這個邏輯，一個測量結(jié)果的誤差就屬于常量了。

關(guān)于常量是確定量還是恒定量，請翻閱概率論吧。

yeses 發(fā)表于 2019-5-19 12:09
"C同學(xué)的成績"與"C同學(xué)所在班級任一個同學(xué)的成績"是兩個不同的"量"，很對，一個測量結(jié)果的誤差和其他任 ...

沒弄明白此處的"推論"。

存異吧。

　　"C同學(xué)的成績"是一個確定對象的成績，應(yīng)視為常量。"C同學(xué)所在班級任一個同學(xué)的成績"對于每一個他（她）自己而言，也是一個確定對象，因此也是常量。前者可稱為“保持不變的”系統(tǒng)誤差，后者可稱為“以可預(yù)見方式變化的”系統(tǒng)誤差，關(guān)鍵點都是直指單個被測對象。
　　但，如果“任一個同學(xué)”并不特指哪一個，而是泛指這個班級的每一個同學(xué)，作為這個班整體，每個對象就不是確定的，而是指具有統(tǒng)計規(guī)律的這個整體，這就是“統(tǒng)計量”了。此時就正如葉老師所說的，"C同學(xué)的成績"與"C同學(xué)所在班級任一個同學(xué)的成績"是兩個不同的"量"，很對，一個測量結(jié)果的誤差和其他任意一個重復(fù)測量結(jié)果的誤差也是二個不同的量。
　　一個特定被測對象的量是特定的，測量結(jié)果也是特定的，誤差就一定是一個特定的值，也就一定屬于系統(tǒng)誤差的性質(zhì)。所以系統(tǒng)誤差的定義前提條件是“在重復(fù)測量中保持不變或以可預(yù)見方式變化”。正因為保持不變和可預(yù)見，測量次數(shù)也就無關(guān)緊要，即便測量一次也還是那個“保持不變”的誤差值，也還是“可以預(yù)見”的誤差值。
　　一群對象的整體作為被測量，測量結(jié)果存在于帶有分散性的區(qū)間內(nèi)，所以，只有統(tǒng)計量才會有隨機誤差。因此，隨機誤差的定義前提條件是“在重復(fù)測量中按不可預(yù)見方式變化”，即誤差必為經(jīng)多次測量且是以不可預(yù)見方式變化著的。而單個被測量的單次測量只有系統(tǒng)誤差而沒有隨機誤差。

               論貝塞爾公式成立的條件
                                 ——答njlyx先生
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                                                                                                                                                                                                    史錦順
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        5月12日（5層樓）njlyx 質(zhì)疑∑didj≈0是否成立。我寫了個回帖，當時沒有發(fā)。因為覺得此事重大，要十分慎重。
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       njlyx在5#說
      【由于正態(tài)曲線（鐘形線）的對稱性，∑didj≈0 】？……其中的"求和"范圍(項數(shù))有多大？如果是"無窮大"，成立；如果"足夠大"（由此"足夠大"項數(shù)樣本值"統(tǒng)計"出的"概率密度"已非常接近那個"鐘形曲線"---如果不做"額外"要求，此"足夠大"項數(shù)不說數(shù)千、也可能要大幾百！），大概成立； 如果項數(shù)只不過平常多見的數(shù)十項，若不要求"額外"的條件，是不能成立的！……這個"額外"條件就是:這些樣本值之間相互"獨立"---"互不相關(guān)"。……這些在"概率統(tǒng)計"理論中有明確論斷。】
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       先生過慮了。證明貝塞爾公式，以及我的證明：“平均值與期望值距離的公式”，都要求有“∑d_id_j的量值”這個條件。倘如先生所言，通常的測量幾十次貝塞爾公式不能成立，誤差理論與統(tǒng)計理論，就都沒有實際意義了。
       事實絕非如此。二百多年來，測量計量學(xué)與稍晚一些的數(shù)理統(tǒng)計理論，對貝塞爾公式的應(yīng)用是成功的，貝塞爾公式的正確性是沒有疑問的。先生的問號，說明先生對貝塞爾公式正確性的懷疑。
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       精密測量（多次測量）的測量次數(shù)，不少于20次就可以了。一般應(yīng)在30次左右（頻率穩(wěn)定度要求測量100次）。至于有些人搞的測量6次是太少了。那是一些人為推行其某種統(tǒng)計法提倡的，而其根據(jù)又是貝塞爾公式。所謂“極差法”，由于取值過少，獲得值差別很大，除個別破壞性試驗（代價太高）外，不該應(yīng)用。
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        njlyx又指出：“如果項數(shù)只不過平常多見的數(shù)十項，若不要求"額外"的條件，是不能成立的！……這個"額外"條件就是:這些樣本值之間相互"獨立"---"互不相關(guān)"。……這些在"概率統(tǒng)計"理論中有明確論斷。”
       當時我想計算幾個實例看看。竟然與我從前所想的截然相反。因為以前是看書記住的公式，現(xiàn)在實例竟然相反，十分驚奇；顧及我多次寫文章，都是“近似為零”，一筆帶過而并未細想，如今經(jīng)njlyx先生點出，情況甚至比他講的更嚴重：數(shù)據(jù)越多，與零的偏離越大，……如何向人交代？老史一時驚出一身冷汗，茫茫然十多天。
       倘僅是個人錯誤，影響有限，承認錯誤也就是了。但貝塞爾公式可是測量計量學(xué)、統(tǒng)計學(xué)的基礎(chǔ)，不可或缺、不可動搖。……
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       經(jīng)過一番反復(fù)思考，立基于“誤差的絕對性與上限性”法則，終于弄清：僅僅需要修改一下已知的條件的說明，而所有的結(jié)論不變。因此，貝塞爾公式正確無疑；老史最新的理論成果（平均值與期望值的距離D公式）也是成立的。D公式的提出，意義在于：統(tǒng)計測量僅僅需要一組測量（組數(shù)M=1，而測量次數(shù)N≥20，這恰恰與人們的實際操作一致，而與GUM的條文不同）。
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1 誤差量的特點
        誤差量的特點是其“絕對性”與“上限性”。
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2 誤差量舍棄的條件
        人們證明數(shù)學(xué)公式或物理公式，包括解方程，等號兩邊要相等，這是誰也不能違反的規(guī)律。數(shù)學(xué)公式與物理公式常常是理想公式，實踐中要加一些近似條件，變成實用公式又稱工程公式，才能應(yīng)用。例如，標準方差的核心項是測量值減期望值，期望值必須測量無窮次，這沒法操作。二百年前，貝塞爾先生，把“無窮次”，變成有限次“N”,這就實用化了。
        理論公式變成實際公式，必須滿足如下條件1）夠用；2）忽略量是微小量，可以忽略；3）忽略量雖然大，但滿足變換的物理意義的特殊要求，也可以；于是條件2）變成了條件3）。本文重點闡述。
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       人們對條件1）與條件2）是很熟悉的。這條規(guī)律就是忽略的量必須是近于零的小量（與保存量相比）。
       誤差量公式的證明，與此不同。不是公式兩邊的數(shù)值相等，而是左端（總量一側(cè)），必須大于（或等于，下同）右側(cè)各分量的合成結(jié)果

       例1  A、B二量差的誤差范圍，等于A、B二量誤差范圍之和。

       定理一：二量和的誤差范圍，等于二量的誤差范圍之和。
       證明
       （1.1）物理公式
              Y=A+B  
       （1.2）計值公式
       對物理公式加標號，m表測得值（下同）
              Y_m=A_m+B_m
       （1.3）測量方程
       聯(lián)立物理公式與計值公式
              Y_m-Y=A_m-A+B_m-B
    （1.4）誤差范圍關(guān)系
    用r表誤差元，R表誤差范圍（下同）
    由測量方程
           r_Y=r_A+r_B
          │r_Y│_max=│r_A+ r_B│_max
                 =│r_A│_max+│r_B│_max
    誤差元的絕對值的最大可能值是誤差范圍，故有：
           R_Y=R_A+R_B  
    定理一得證。

（2）差的誤差公式
       定理二：二量差的誤差范圍，等于二量的誤差范圍之和（不是差）。
       證明
       （2.1）物理公式
              Y=C-B
       （2.2）計值公式
              Y_m = C_m-B_m.
       （2.3）測量方程
       聯(lián)立物理公式與計值公式
              Y_m-Y = C_m-C – (B_m-B)
       （2.4） 誤差范圍關(guān)系
       由測量方程
              r_Y=r_C-r_B                                                （1）
             │r_Y│_max=│r_C- r_B│_max                 =│r_C│_max+│r_B│_max
       誤差元的絕對值的最大可能值是誤差范圍，故有：
             R_Y=R_C+R_B
       定理二得證。

       對定理二的說明。由于r_C、r_B都是測量儀器的誤差，測量者只知道其規(guī)格為│r_C│、│r_B│。
       由（1）式可能有
       │r_Y│1 =│r_C│-│r_B│      （r_C＞r_B）                    （2）
       │r_Y│2 =│r_B│-│r_C│      （r_B＞r_C）                    （3）
       │r_Y│3 =│r_B│+│r_C│                                    （4）
       由于誤差范圍是“最大可能值”，即誤差量的上限性，取（2）（3）都可能是總結(jié)果偏小，都不允許。（4）則滿足上限性條件，是正確取值。
       由（2）（3）（4）可知
只要原式比取值式小，則取值式（4）都符合誤差范圍定義，都是成立的。 就是說，原式減取值式之差是“負值”，則取值式就是合理的、成立的。附加條件是該負值的絕對值不大于取值式（因取值是各個取樣值的平方和，通常不存在正種現(xiàn)象）。
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       由上分析可知，貝塞爾公式的證明中，不是要求∑di  d_j≈0，而是要求證明

                   ∑d_i d_j ＜ 0

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       貝塞爾公式的證明
       要證明
             (∑di)²  = ∑di² + ∑didj
之右端第二項可以忽略，只需要證明∑didj ＜ 0     
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       由于正態(tài)分布曲線的對稱性，有
             ∑di = Δ
            （∑di）²  = Δ²                        
             ∑di² + ∑didj = Δ²                               （5）
             ∑didj =Δ² -∑di²                                  （6）
         由于Δ²是二階小量，而∑di₂是取樣值，是大量，因此（6）式一定是個大負值。由此，∑didj必為負值。由于誤差量的上限性，所加負值可略，因此可取：
            (∑di)²  = ∑di²
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史錦順 發(fā)表于 2019-7-1 16:41
論貝塞爾公式成立的條件
                                 ——答njlyx先生
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       對25^#的一點說明

                  ∑d_i² + ∑d_id_j = Δ²                               （5）
       對（5）式，以∑d_i² 代替等式左端，就是以可容忍的顯著量，代替可略小量Δ²，這樣做，符合誤差范圍“上限性”法則，因而是可以的。也是充分的。（不是充要條件。因為代表量可取(1/K)∑d_i²）

       如果取(1/K)∑d_i²為代表量

          ∑ν_i² = ∑d_i² -(1/NK) ∑d_i²

          ∑ν_i² = [(N-1/K)/N] ∑d_i²
          [1/N] ∑d_i² = [1/(N-1/K)] ∑ν_i²

        取（N-1）與取（N-1/K）都是允許的。由于N不小于20 ，古人已選取K=1,足夠。

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史錦順 發(fā)表于 2019-7-3 08:42
對25的一點說明

                  ∑d + ∑dd= Δ                               （5）

      對關(guān)系式（1）
                  (∑d_i)² = ∑d_i²                       （1）
的理解，可以從隨機誤差（基礎(chǔ)測量稱誤差，而統(tǒng)計測量稱偏差，下同）合成的角度來想一想，就不會感到突然了。原來，（1）式竟是人們最熟悉的隨機誤差合成公式。

        d_i是隨機誤差元，共有N個。N個隨機誤差元之和（∑d_i）的誤差范圍R是多大呢？就是各個隨機誤差元的“方和根”：
                   R=√(∑d_i²)                            （2）
即
                   R² = ∑d_i²
       誤差范圍是誤差元絕對值的最大可能值。
                   R = │(∑d_i)│_max
       求絕對值的方法之一是平方后再開根（初等數(shù)學(xué)規(guī)定根式為正值）
                   R =√(∑d_i)²                              （3）
       比較（2）（3），即知
                  (∑d_i)² = ∑d_i²                           （1）
       可見，（1）式乃隨機誤差理論的常見公式。用在公式證明中，不該為怪。
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史錦順 發(fā)表于 2019-7-6 21:45
對關(guān)系式（1）
                  (∑d) = ∑d                     （1）
的理解，可以從隨機誤 ...

     如果d1~dN是"標量"，譬如，它們是一個"實數(shù)"誤差序列{d1,d2,…，dN}的各個具體"誤差"(您稱為"誤差元")，應(yīng)該不存在形如(1)式的"等式"及"不等式"，無論這誤差序列{d1,d2,…，dN}是否是所謂"隨機誤差"。………有關(guān)Bessel"實驗標準偏差(校正)估計公式"推導(dǎo)中"認為""交叉乘積和近似為零"的"說法"，如您驗證的那樣：是不成立的【我原"以為"的那個"說法"，同樣是"想當然"了，事實并非如此！特在此認錯】。 您取"和平方值"等于"平方和"某個"分(/倍)數(shù)"的"認識"好像說的通？
      如果序列{d1,d2,…，dN}的d1~dN是有"若干分量"的"矢量"，則有形似(1)式的"不等式"("矢量和的模平方"≤"矢量模平方的和"，僅當各分"矢量"相互"正交"時取"="號)…好像就稱為"Bessel不等式"(待考)？………一個n"元素"的實數(shù)"序列"可以"對應(yīng)"一個n維"矢量"……

補充內(nèi)容 (2019-7-7 20:26):
說明：  此貼表述內(nèi)容不確切，申明作廢！  并特此道歉！

njlyx 發(fā)表于 2019-7-7 18:03
如果d1~dN是"標量"，譬如，它們是一個"實數(shù)"誤差序列{d1,d2,…，dN}的各個具體"誤差"(您稱為"誤差元 ...

更正：【"矢量和的模平方"≤"矢量模平方的和"，僅當各分"矢量"相互"正交"時取"="號)】的說法不確切。