請問最小二乘法的標準試驗差中為何有b^2Sx^2一項

據一級計量注冊師基礎知識和事務一書，最小二乘法如果要擬合直線方程y=a+bx，其標準試驗差平方為
s_p²(y_j)=s_a²+x_j²s_b²+b²s_x²+2x_jr(a,b)s_as_b
這個公式我的直觀反映使用的是不確定度傳播率公式。
因為要擬合直線y=a+bx,應該不同的x_j有不同的實驗標準偏差，x_j是已知量，a和b是未知量，所以式中標準差或者協方差都是a和b的，這些我能理解。
但是對a求偏導為1，則a的偏導乘以其實驗標準偏差平方為右邊第一項s_a²，對b求偏導應該看作a和xj為常數，那么乘以其實驗標準偏差平方后應該是右邊第二項x_j²s_b²，那么請問右邊第三項b²s_x²何來？
如果需要這一項，根據導數公式，那么b和x應該都是一個因變量，但是為何第四項又直接對b求偏導而沒x_j的事情？
我實在想不明白了，請大家給我指點。謝謝
ps：a和b相關么？我不知道，但是我覺得可能相關，所以這里要考慮其相關性，現實生活中可能相關，也可能不相關。因為a是截距，b是斜率，斜率不同，一個模型截距也不同的情景還是有的。會有相反例子么？不知道這個理解是否正確？
ps:我又想了想，是不是我被不確定度傳播率公式套住了，其實這里并非一定要按照不確定度傳播率公式計算，而是需要考慮一個s_x，所以才有這么一項。但是，為什么公式是這個樣子？實驗標準偏差公式不是貝塞爾公式么（這更不是極差較差公式吧）？這個公式怎么看都不是直接貝塞爾公式推導出來的，而是根據不確定度傳播率公式反推來的吧。因為需要考慮x_j重復性引入的不確定度，所以加了這個，不知道這樣想對么？

補充內容 (2017-4-14 17:10):

文中r(a,b)是相關系數的估計值，手殘打成了協方差，兩個都是表示相關性的。不過當時確實寫錯了。

從標準試驗差平方表達式來看
是將yj=a+bxj中a，b，xj做為三個未知量來看的，且a和b相關，xj和a，b都不相關。前三個平方和就是三個未知量標準差平方乘以它們的靈敏系數的平方，最后的交叉量是a和b相關的交叉量，xj和a，b都不相關，無交叉量。
理解的話，a和b都是由總數據根據最小二乘法計算得出的，有相關性是應該的。。xj為啥做為未知量表示不知道。。。我只是從表達式看出來的，表達式含義應該就是上面說的，但為啥這樣，還得求大神解答。。

PS:不確定度傳播公式貌似也不是自創的吧？好像也有來源，我好像在史老的文章中看到過，一個很泛用的公式。

吳下阿蒙 發表于 2017-4-17 10:07
從標準試驗差平方表達式來看
是將yj=a+bxj中a，b，xj做為三個未知量來看的，且a和b相關，xj和a，b都不相關 ...

不對吧，這個明顯不是把x_j當作未知量了。你看后面的協方差前面的系數，明顯沒有x_j什么是，里面的x_j是對b的常量來著。
而且根據最小二乘法的意思，就是知道離散點（x_j）去擬合一個不知道的

solarup 發表于 2017-4-17 16:34
不對吧，這個明顯不是把x當作未知量了。你看后面的協方差前面的系數，明顯沒有x什么是，里面的x是對b的常 ...

把這個3個都當未知量，然后把所有的交叉項都列出來，然后另xj和a相關性為0，xj和b的相關性為0，2xjr(a,b)sasb 就是a和
b的交叉項，其中a的靈敏系數為1，b的靈敏系數為xj，相關系數為r(a,b)。雖然不知道為啥這樣，但題中式子這么理解感覺最合適吧。。

吳下阿蒙 發表于 2017-4-17 17:18
把這個3個都當未知量，然后把所有的交叉項都列出來，然后另xj和a相關性為0，xj和b的相關性為0，2xjr(a,b) ...

我的意思就是這樣，如果真的x_j當作未知了，那么第三項應該還應該乘以一個b才對吧。
所以我在Ps里面寫懷疑x_j根本就不是因為當作未知量了，而是因為這個式子本身是不確定度的式子，用不確定度去說實驗標準偏差，而不確定度中不得不考慮x_j本身引入的不確定度分量，而這個分量的不確定度為bS_x.所以才有這一項。

solarup 發表于 2017-4-17 17:27
我的意思就是這樣，如果真的x當作未知了，那么第三項應該還應該乘以一個b才對吧。
所以我在Ps里面寫懷疑x ...

第三項是這b2sx2項嘛？這項xj的靈敏系數是b，靈敏系數的平方乘以sx的平方，沒毛病啊？？？還要再乘個b？

本人不確定度入門不久，剛看到非線性函數時不確定度評定的一些方案，其中Y=A*B ,其中A和B都是未知量時，大概和題中后面bxj類似，可以參考。

吳下阿蒙 發表于 2017-4-17 17:30
第三項是這b2sx2項嘛？這項xj的靈敏系數是b，靈敏系數的平方乘以sx的平方，沒毛病??？？？還要再乘個b？
...

你誤會了，是我沒說清
我說的是，如果算實驗標準差，不需要算靈明度系數，也不需要進行偏導數計算
但是這里是從不確定度傳播率公式來的，按照其公式，右側的第三項是要對偏導數進行乘積的，相當于這個實驗標準差式子右側第四項
但是從這個實驗標準差式子的右側第四項來看，只有a的偏導數1和b的偏導數xj相乘，沒有出現xj的偏導數系數b，所以我說豈不矛盾？

solarup 發表于 2017-4-17 19:33
你誤會了，是我沒說清
我說的是，如果算實驗標準差，不需要算靈明度系數，也不需要進行偏導數計算
但是這 ...

根據不確定度傳播公式，a和b的交叉項只包含：a的偏導數1，b的偏導數xj，a和b的相關系數r（a，b），并不包含xj的偏導數b的吧。完成展開的交叉項系數應該是：a和b的交叉項系數2xjr（a，b），a和xj的交叉項系數2br（a，xj），b和xj的交叉項系數xjbr（b，xj）。如果另后兩個相關系數為0，就是主樓的公式吧=。=我對不確定度傳播公式理解有誤？

吳下阿蒙 發表于 2017-4-18 09:26
根據不確定度傳播公司，a和b的交叉項只包含：a的靈敏系數1，b的靈敏系數xj，a和b的相關系數r（a，b），并 ...

我的意思是，既然標準偏差公式前三項表明，x_j是一個未知量（輸入量），那么選用傳播率公式的時候，xj相當于其中一個輸入量了。按照不確定度傳播率公式，應該考慮xj和a與b的相關性，計算其相關系數，除非他們之間不存在相關性。，協方差為0。
a和b一個是截距，一個是斜率。a我不知道，b作為斜率肯定是和x_j相關的吧，怎么可能會是0呢（b值要由xj值得出呢）。可是這里第三項只有計算了a和b的相關性，計算偏導的時候應該既計算xj的偏導，又計算b的偏導，但是這里的相乘結果不是這樣。

solarup 發表于 2017-4-18 10:01
我的意思是，既然標準偏差公式前三項表明，x是一個未知量（輸入量），那么選用傳播率公式的時候，xj相當 ...

這就不清楚，我只是根據你給出的公式來理解的。如果這個給出的公式沒問題，那么結論就是：a，b，xj都是未知量，且xj和a，b都不相關。至于為什么，我表示看不懂，抱歉=。=！標準差也能這樣算？？不過樓主，您可以自己模擬個數據試一試，r（xj，a）和r（xj，b）可以根據相關系數公式算出來=。=！請問能找到這個傳播公式的出處嘛？為啥標準差，不確定度的傳播都能用這個。。。

吳下阿蒙 發表于 2017-4-18 10:18
這就不清楚，我只是根據你給出的公式來理解的。如果這個給出的公式沒問題，那么結論就是：a，b，xj都是未 ...

我的個人理解：當我們的測量模型大多是理論值的時候，我們沒什么可以搞B類評定的了。沒說明書，沒資料，沒不確定度，啥都沒有，而剩下的A類就是重復性，重復性就是實驗標準差，于是乎這么來的。
說實話我就是找不到出處啊！但是怎么看這個就是不確定度傳播率公式吧。
其實我覺得按最小二乘法的思想來說，x_j絕對不是輸入量，是已知量，求直線不就是求a和b么。

solarup 發表于 2017-4-18 10:24
我的個人理解：當我們的測量模型大多是理論值的時候，我們沒什么可以搞B類評定的了。沒說明書，沒資料， ...

按公式看，xj存在sx，說明這個xj肯定不是單值，應該是一組值的平均值。樣本可能是這樣的的x1為5個數的平均值，x2為5個數的均值，x10為5個數的均值。然后x1~x10對應10個y1~y10，根據這個對應關系，使用最小二乘法，求出a和b，得y=a+bx。如此當不確定分析的話，yj=a+bxj，xj確實會引入一個重復性分量=。=！但xj和a，b好像是相關的？弱相關，忽略不計？。。。。我怎么感覺想偏了。。

吳下阿蒙 發表于 2017-4-18 10:44
按公式看，xj存在sx，說明這個xj肯定不是單值，應該是一組值的平均值。樣本可能是這樣的的x1為5個數的平 ...

為啥咱兩個理解的x_j不一樣？難道我理解的是假的最小二乘法？先吃飯去，回來再研究。

solarup 發表于 2017-4-18 10:24
我的個人理解：當我們的測量模型大多是理論值的時候，我們沒什么可以搞B類評定的了。沒說明書，沒資料， ...

說實話我就是找不到出處?。〉窃趺纯催@個就是不確定度傳播率公式吧。，向量和的三角形法則？模型基本一樣，角度正余弦和相關系數一樣是正負1。。

吳下阿蒙 發表于 2017-4-19 09:13
說實話我就是找不到出處??！但是怎么看這個就是不確定度傳播率公式吧。，向量和的三角形法則 ...

請教，這里相關系數正負1有什么關系么？
嗯，我知道好像相關系數只是牽扯到合成不確定度不是方和根，而是不確定度求和。
不過相關系數是1協方差不見得是1吧？恕我魯愚，沒搞明白。

吳下阿蒙 發表于 2017-4-18 10:44
按公式看，xj存在sx，說明這個xj肯定不是單值，應該是一組值的平均值。樣本可能是這樣的的x1為5個數的平 ...

我覺得如果按照這樣看，y=a+bx的話，為什么是弱相關？應該是強相關吧。b是斜率，就是b=y/sqrt(x²+y²)，x增大不是b減小么？這不是負強相關？而且上面你說是正負1，那么就是相關的意思，還是強相關。對，就是三角公式。

solarup 發表于 2017-4-20 13:11
我覺得如果按照這樣看，y=a+bx的話，為什么是弱相關？應該是強相關吧。b是斜率，就是b=y/sqrt(x+y)，x增 ...

我只是基于公式的推測，也不是很理解。我說的正負1，是說它們的上下限都是正負1，和向量求和相似。。