取3σ與取2σ，誤差范圍有多大差別？

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                            取3σ與取2σ，誤差范圍有多大差別？
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                                                                                                史錦順
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       用一臺儀器測量物理量L。儀器的誤差范圍為R，測得值為M，測量結果為
                LZ= M ± R                                                                   （1）
       測量結果（1）的物理意義是：
       被測量真值LZ的最佳表征值是測得值M。被測量的真值可能小些，但不會小于M-R；被測量的真值可能大些，但不會大于M+R。可用公式表達為：
                M-R ≤ LZ ≤ M+R                                                          （2）
       公式（1）與公式（2）等效。它們的區間表達式是：
                [M-R,M+R]                                                                  （3）
       區間（3）是以測得值為中心的真值的量值區間。可簡化表達為：
                [-R, +R]                                                                       （4）   
       測量結果表達式（1）的著眼點是區間邊界點；而公式（2）的著眼點是全區間。區間邊界點定義了區間的范圍，因此公式（1）（2）（3）（4）的物理意義相同。
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（一）測量儀器誤差范圍的分解與測量
       測量儀器的誤差范圍，對研制來說，是多種物理機制共同構成的。其中可能有多項系統誤差元，共同構成儀器的系統誤差，表現為測量時的一個恒值誤差。儀器的系統誤差在N次測量中，符號與大小不變，是個恒定的值。另有一些隨機誤差元，構成儀器的隨機誤差。儀器的隨機誤差是隨機變化的，并呈現單峰性、對稱性、抵消性、有界性等特點。隨機誤差的分散性用標準偏差σ表示，取3σ為隨機誤差范圍，有大于99%的包含概率。
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       系統誤差為β，若區間半寬a≥|β|，則區間包含概率為100%. 統計理論講究隨機事件，但不排除必然事件。常值是隨機變量的一個特定值。處理隨機變量的方法、公式，對常量（恒值）都是適用的。這正如，微分主要講對變量的微分，對常量，也必然能微分，常量的微分為零。積分的產生是為了處理變量的乘積求和問題，但必須對常量也能做積分。把常數提出到積分符號前就可以了。對邊長為常值的求矩形面積的公式，積分求和，簡化為邊長乘積。
       同樣，適用于隨機誤差處理的統計方法，也一定而且必須能處理系統誤差的問題。
       1 平均值 系統誤差的平均值是它自身。期望值也是其自身。
       2 系統誤差為β，則其絕對值是|β|。
       3 系統誤差β的方根值是其絕對值|β|。
       4 系統誤差的誤差范圍是|β|，包含概率100%
       5 關于分布。系統誤差對于研制-計量-應用測量-周期計量-應用測量等來說，一切沿時間順序進行，統計是“時域”統計。“時域統計”中，系統誤差的分布是δ分布。
       說系統誤差是“均勻”分布或說是“梯形分布”“三角分布”，都是類比“臺域統計”的錯覺。這種“臺域統計”，是指用多臺（例如二十臺）儀器同時測量同一被測量，這在測量計量中是不存在的。我們討論人間的現實，而擯棄一切虛妄的假設。
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       在測量儀器的使用與計量中，測量儀器的誤差，就是系統誤差與隨機誤差兩項。
       測量確定儀器的系統誤差，必須有夠格的計量標準。一般用戶不能做；而計量部門可以而且必須能做。
       對儀器隨機誤差的認識、測量、求值，是很方便的。用被考核的儀器測量一個常量，則示值的隨機變化，就是隨機誤差的作用。重復測量20次（或100次，不許低于10次），將儀器示值代入貝塞爾公式，即求得標準誤差σ。 3σ就是通常所取的誤差范圍，置信度大于99%。而不確定度論主張取2σ，置信度95%。這樣做，得失如何？本文講述一個出人意略的計算結果。
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（二）儀器誤差公式
       在有夠格的計量標準（因為要準確認知儀器的誤差項，要求標準的指標比被檢儀器指標高兩個量級）的情況下，可以測知儀器的系統誤差和隨機誤差。

       儀器的系統誤差，測得值為
                 β測=M平-B                                                                   （5）
       其中測量M平的誤差范圍為3σ平。
       儀器誤差范圍，由三項誤差合成：1 儀器的系統誤差β測；2 儀器的隨機誤差范圍3σ；3 測量系統誤差的誤差（即測量平均值的誤差）的誤差范圍3σ平。三項誤差中只有一項是系統誤差，三者合成為“方和根”合成。公式為
                 R實驗= √ [β2+(3σ平)2+ (3σ)2]                                        （6）
       若取N=20，第二項為第三項的1/20，第二項可略，于是，公式簡化為
                 R實驗= √ [β2 + (3σ)2]                                                    （7）
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（三）取2σ與取3σ對儀器誤差范圍R影響的比較
       為便于比較與計算，將（7）式變形。R3σ表示取3σ時的誤差范圍；R2σ表示取2σ時的誤差范圍。
                R3σ = √ [β2 + (3σ)2]   
                     =σ√ [(β/σ)2+9]                                                       （8）
                R2σ= √ [β2 + (2σ)2]   
                     =σ√ [(β/σ)2+4]                                                       （9）
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            β/σ         R3σ/σ           R2σ/σ         從3σ到2σ時R變化         從2σ到3σ時R變化
              0             3                  2                      2/3-1=-33%                 3/2-1=50%
              1       √10=3.16       √5=2.24       2.24/3.16-1=-29%        3.16/2.24-1=41%
              2       √13=3.61      √8 =2.83       2.83/3.61-1=-22%        3.61/2.89-1=28%
              3       √18=4.24      √13 =3.61      3.61/4.24-1=-15%        4.24/3.61-1=17%
              4       √25=5          √20 =4.47           4.47/5-1=-11%             5/4.47-1=12%
              5       √34=5.83      √29=5.38       5.38/5.83-1=-8%           5.83/5.38-1=8.4%
              6       √45=6.71      √40 =6.32      6.32/6.71-1=-6%           6.71/6.32-1=6%
              7       √58=7.62      √53=7.28       7.28/7.62-1=-4.5%        7.62/7.28-1=5%
              8       √73=8.54      √68 =8.25      8.25/8.54-1=-3.4%        8.54/8.25-1=3.5%
              9       √90=9.49       √85=9.22      9.22/9.49-1=-3%           9.49/9.22-1=3%
               
（四）GUM降低置信度是方向性錯誤
       隨機誤差是統計變量，要用統計的方法處理。隨機誤差的標準偏差σ表征分散性。誤差理論歷史上，取3σ表征隨機誤差的誤差范圍，體現了隨機誤差的上限性。對于正態分布來說，以3σ為半寬的區間，置信概率是99.73%.由于取樣次數有時不遠大于10，隨機誤差可能有t分布的成分，因而，當隨機誤差范圍取3σ時，通常將置信概率表為大于99%.
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       隨機誤差范圍，取3σ，是歷史上最通常的取法。有99%以上的置信度，是測量所必要的，也是完全能做到的。二十世紀80年代以前、十九世紀能達到的99%的置信度，是“工欲善其事，必先利其器”、“磨刀不負砍材工”這些重要思想的體現。
       奇怪的是，到二十世紀末的1993年，GUM竟然提倡測量儀器的誤差范圍（擴展不確定度）取2σ，實在是歷史性的倒退。在火箭發射成功率達到96%以上的當今世界，測量儀器的置信度卻降低到95%，豈有此理！
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（五）GUM的愚蠢與福祿克的聰明
       以上是從主觀要求的層面來看問題。實踐中，卻又是系統誤差為主的。所謂從3σ變到2σ，把置信度從99%變到95%（失信率一下子變大5倍，純正態分布，失信率擴大20倍），并不符合實際情況。GUM誤導了評定者。

       測量儀器的誤差范圍，由儀器的系統誤差與隨機誤差共同構成。通常，儀器的誤差范圍以系統誤差為主。而講究σ，是隨機誤差的事，與系統誤差沒有關系。現行的評定擴展不確定度的方法，著眼于“方差”。對儀器的各項系統誤差，認為是“均勻分布”，除以根號3（1.73），得標準不確定度，把各項標準不確定度按“方和根法”合成為合成不確定度，于是認為合成不確定度是正態分布（JJF1059.1-2012：1條d）2)假設輸出量近似正態分布），乘以2得擴展不確定U95，也可以乘以3得擴展不確定度U99.
       如此算法，U95把系統誤差的作用無端擴大2/1.73倍；而U99把系統誤差作用擴大3/1.73倍。
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       取2σ、3σ僅僅是隨機誤差的事，與系統誤差無關。本文計算表明，在系統誤差與隨機誤差比例取不同值時，從3σ到2σ儀器誤差范圍的縮小量或從2σ到3σ儀器誤差的擴大量，都是變化范圍很大的數。
       只有在系統誤差β很小時，才如通常的理解：從3σ到2σ 誤差范圍縮小33%，而從2σ到3σ，誤差范圍擴大50%。
       另一個極端是系統誤差β很大，當β達到3倍隨機誤差范圍（3σ）時，從3σ到2σ 誤差范圍縮小3%，而從2σ到3σ，誤差范圍擴大3%。就是說取2σ還是取3σ，對儀器的誤差范圍，影響極小。
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       測量儀器通常是以系統誤差為主的。GUM聲稱取2σ，可信性95%，嚴重丑化了。誤導了廠家，誤導了用戶。愚蠢。
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       在不確定度論的大潮下，福祿克（FULUKE）公司聲明：為對廣大用戶負責，本公司產品一律取置信性99%（取3σ）.
       福祿克強調高置信度，大方向是對的。自然受用戶歡迎。信譽高，產品自然賣得快。而代價有多大呢？由于測量儀器以系統誤差為主，見上表，取3σ，儀器誤差范圍的擴大系數卻并不大。費勁小而收益大，好聰明的福祿克！
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測量儀器通常是以系統誤差為主的。GUM聲稱取2σ，可信性95%，嚴重丑化了。誤導了廠家，誤導了用戶。愚蠢

在不確定度論的大潮下，福祿克（FULUKE）公司聲明：為對廣大用戶負責，本公司產品一律取置信性99%（取3σ）.
       福祿克強調高置信度，大方向是對的。自然受用戶歡迎。信譽高，產品自然賣得快。而代價有多大呢？由于測量儀器以系統誤差為主，見上表，取3σ，儀器誤差范圍的擴大系數卻并不大。費勁小而收益大，好聰明的福祿克！

言過其實，FLUKE電學校準源全球NO.1，用戶認可度自然高，與本公司產品一律取置信性99%（取3σ）好象沒多大關系（其實只是FLUKE偷了個小懶，把過去的準確度直接改成了不確定度而已），FLUKE的射頻產品同樣取置信概率99%，為何就不是信譽高，產品自然賣得快呢？

99%置信概率不確定度似乎就是過去的準確度改了個名字

關于所謂“系統（測量）誤差”，其含義（定義）及處理辦法，許多學者在近30年以前就已闡述清楚了！史先生在此的“新論”實在看不出有什么可取之處！首先，將所謂“系統（測量）誤差”認定為“恒定不變”的量有失偏頗，即便是考慮一個實用的有限時空范圍，也有大量的所謂“系統（測量）誤差”是“變化的”，譬如許多儀器的“溫度效應”；對于那些從機理上確認在要求的時空范圍內“不會變化”的那些“系統誤差”分量，“評估”其“可能范圍”的前提是其“確切值”未知，只能根據已有“經驗”合理“猜測”其值的“可能范圍”，如此范圍值才能與其它不相關的誤差分量“范圍值”由方和根方法“合成”總的“誤差范圍值”！對于那些“取值已知”的“不變系統誤差分量”，正常的“處理辦法”是加以“修正”（在計算手段如此便捷的今天，許多“修正”用手機就可以分分鐘搞定！），若實在不便“修正”，則只能以“絕對和”的方式與其他“范圍”合成，否則，會出現不可收拾的后果！——若以史先生的高論按“方和根”合成（毫無數學道理！）一個“誤差范圍”的指標，“檢定”不合格的風險巨大！若按史先生的高論計“測量誤差”的“檢定”結果，很可能將“爛儀器”判為合格！——有個實例在另一個貼中。

樓上最后一句應為：若按史先生的高論計算“測量誤差”的“檢定”結果，很可能將“爛儀器”判為合格！——有個實例在另一個貼中。

3σ與2σ之別，無關“技術優劣”。“不確定度”表述是必須明確“包含概率”的，不容含糊行事，缺省的“包含概率”很容易按“規定”統一，基于“誠信”社會，取95.4%，甚至90％都未嘗不可——報告者會向外行的需求者如實表達；若為防止偷奸耍滑，可能是取99.7％較好？

誰規定k必須取2了？明明是2和3都可以根據需要選用，如果有特殊要求還可以根據分布情況更加詳細的選擇k值。搞研究是好的，我很支持，現在計量行業真正搞研究的人是沒多少，問題是也得先搞清楚現有理論的狀況再說。

在下以為蒙特卡羅方法能解決史老前輩的困惑

hulihutu 發表于 2016-6-24 13:55
在下以為蒙特卡羅方法能解決史老前輩的困惑

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       老史沒有“困惑”。
       抨擊不確定度論，已寫三百多篇雜文，表明老史在對不確定度論的認識上，是清醒的。
       “蒙特卡洛”法，對測量計量來說，就是“蒙人卡脖”。說者是蒙人；聽者必上當。鄙視它，就是老史的選擇。
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       你懂“蒙特卡洛法”？跟著別人胡說吧！你自己自稱“糊里糊涂”，還想讓別人明白？
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       運用“蒙特卡洛法”，必須知道輸入量的分布，怎么知道？這第一關就沒法過。只能假設。靠假設求出的東西，能真實嗎？能有用嗎？
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       學習、討論、爭論、辯論，目的只有一個，就是有利于業務工作，有利于學術發展。不懂裝懂，是要露餡的；宣揚錯誤，必將受到歷史的懲罰！
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285166790 發表于 2016-6-22 16:07
誰規定k必須取2了？明明是2和3都可以根據需要選用，如果有特殊要求還可以根據分布情況更加詳細的選擇k值。 ...

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       你大概是“天上掉下的林妹妹”，似乎剛到人間。
       沒人說k值不能選取。但提倡什么，是十分清楚明白的。1993年GUM出世前，隨機誤差范圍取k=3，誰不知道？GUM出世后，擴展不確定度的k值通常取2，又有誰不知道？國家規范JJF上明明寫著“當不寫明k值時，指k=2”. k=2有不言自明的地位，各種檢定規程上都是規定k=2, 你卻指責別人不明白情況。你是真不知道，還是順嘴胡咧咧？
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史錦順 發表于 2016-6-24 16:04
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       你大概是“天上掉下的林妹妹”，似乎剛到人間。
       沒人說k值不能選取。但提倡什么，是十分 ...

k該怎么取，我手頭的各種資料，包括國家的，CNAS的都有，寫的清清楚楚，我又沒有必要信口開河。對的我就支持，錯的我就反對，就這么簡單。您發表新觀點就不要怕大家有質疑，能經受住質疑觀點才說明是正確的。

史錦順 發表于 2016-6-24 15:35
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       老史沒有“困惑”。
       抨擊不確定度論，已寫三百多篇雜文，表明老史在對不確定度論的認識 ...

史老前輩言之有理，在下確實沒想明白輸入量的分布問題，正在積極思考中，爭取早日想明白。

要在意“包含概率”，就回避不了“概率分布”問題，與是否采用“蒙特卡洛”方法無關！……能回避“概率分布”的唯一“辦法”就是含糊“包含概率”——退到史先生期望的“老路”上。

誤差、置信概率？

njlyx 發表于 2016-6-25 01:07
要在意“包含概率”，就回避不了“概率分布”問題，與是否采用“蒙特卡洛”方法無關！……能回避“概率分布 ...

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        老路對，就該“發揚優良傳統”；新路錯，則應“撥亂反正”。有道理要講道理，說老史走老路，除了有幾份譏諷之意外，沒什么意思。
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        國家計量院在北京，這是必然事件。北京市這個“范圍”包含事件“國家計量院在北京”的概率是100%，用不著假設國家計量院的概率分布。
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       老史一輩子搞測量計量，對被檢儀器或測量設備，做出“合格”或“不合格”的判別者有數千臺次，其中最主要的是判別誤差范圍指標值對系統誤差的包含性。有合格的計量標準，測量出系統誤差之值，合格了都是100%的包含，要什么“分布”？明明是δ分布，卻莫名其妙地說成是“均勻分布”。純粹胡說。
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       把系統誤差分成“已知”與“未知”，第一點，說已知的修正了，第二點，說未知的要假設分布。這是現代誤差理論的敗筆。系統誤差的性質是客觀存在，用主觀的認識對其分類，不符合邏輯學的分類原則，是錯誤的。同一儀器的系統誤差，應用者不知其大小（只知其范圍），但計量者有計量標準，一測便知該系統誤差的大小，怎能用“已知”與“未知”來劃分該系統誤差？那第一點與客觀事實不符，世間測量儀器數以億計，99%是不修正的；不能說個“已知”就不理了；第二點要假設，假設算不了科學。況且已有的“均勻分布假設”是錯誤的。
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史錦順 發表于 2016-6-28 12:38
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        老路對，就該“發揚優良傳統”；新路錯，則應“撥亂反正”。有道理要講道理，說老史走老路，除 ...

1. “合格”就意味‘’100%包含‘’？……沒有什么理性依據。“合格”本身只是個“檢定”的結論——一方面，“檢定”本身難免有瑕疵，沒人能保證沒有絲毫“誤判”的可能？另一方面，沒有人能保證“檢定”確實“合格”的“儀器”在實際使用中沒有絲毫“超標”的可能？（如果是批量產品的“抽檢”，這種“偶爾”超標的可能性會更高）       2. 【99 %不修正】可能只是您史先生的經驗，儀器設備的“校準”工作（通過實驗“標定”獲得一部分所謂“已定系統誤差”，然后加以“修正”）有大量人在做！  3.  猜測“誤差分布”的確是個難題，必要的“統計學”數學功底只是個解題基礎，靠譜的解答還必須有充分的相關實際經驗！——“不確定度”評估需要“真專家”。  4. “老路”前面是死胡同。

本人贊同史先生的，大致三方面：1. 維護“真值”的必要地位； 2. 注意區分“測量手段”與“被測對象”的問題；3. 對某些“測量不確定度評估實例”中一些匪夷所思“處理”及相關“結果”的抨擊。

本人不贊同史先生的，目前也大致三方面：1. 全盤否定“不確定度”； 2. 對所謂“系統（測量）誤差”的認識；3. 所謂“誤差（范圍）”的“合成”方案。