交叉系數決定合成法

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                       交叉系數決定合成法（1）
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引言
       誤差，表示測得值與實際值的差距。誤差的概念，有三層意思：誤差元、誤差范圍，或泛指二者。
       誤差元定義為測得值減真值。恒值的誤差元，稱為系統誤差；隨機變化的誤差元，稱為隨機誤差。
       誤差范圍定義為誤差元的絕對值的一定概率（大于99%）意義上的最大可能值。
       測得值與誤差范圍構成測量結果。
       誤差范圍又稱為準確度，是測量儀器、計量標準以及測量結果水平的表征量。
       誤差合成是由誤差元求誤差范圍。

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1 誤差合成的原則、途徑與方法
       誤差量的特點是其絕對性與上限性。誤差合成的原則是保險性與合理性。保險第一，合理第二；在保險的基礎上追求合理。
       保險的含義是確定的誤差范圍值要包括誤差元的最大可能值。合理的含義是確定的誤差范圍值要盡可能接近實際值，就是要利用誤差量之間存在的抵消性。。

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       誤差量要絕對值化，方式有兩種。
       第一種方式是直接對誤差元取絕對值。經典誤差理論對系統誤差直接取絕對值，合成取絕對和，保險，但偏于保守。而隨機誤差可正可負，有相互抵消作用，直接取絕對值不能體現隨機誤差的特點。第一種方式不能貫通。
       第二種方式是取“方根”。初等數學規定：開平方根取正值。本文提出用“方根法”，可以貫通于隨機誤差與系統誤差。注意保險性與合理性，得出各種使用條件下的誤差合成公式。取“方根”，按交叉系數近于1還是近于零來確定公式，可推導出“絕對和”與“方和根”兩種方法。交叉系數的取值，可以體現誤差量間有無抵消性。  

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       誤差合成的途徑也有兩種。

       第一種途徑是“方差合成”，其基本條件是隨機性。 不確定度理論合成的途徑是方差合成，其方針是統一采用“方和根法”。對隨機誤差的處理與經典誤差理論相同，沒有問題；但對系統誤差的處理，出現嚴重問題。為實行“方和根法”，產生五項難題：1）認知誤差量的分布規律、2）化系統誤差為隨機誤差、3）假設不相關、4）范圍與方差間的往返折算、5）計算自由度。其中1）很難；2）不可能；3）對系統誤差錯誤；4）與5）都以 1）為基礎，也很難。
       第二種途徑是“范圍合成”。本文著眼于范圍，貫通了兩類誤差合成的各種情況。要點是統籌隨機誤差與系統誤差的處理，把隨機誤差元變成是誤差范圍的直接構成單元。為此，用或正或負的恒值β代表系統誤差元；用三倍的隨機誤差元3ξi代表隨機誤差對誤差范圍的貢獻單元。這樣，系統誤差β與隨機誤差元3ξ對誤差范圍的貢獻權重相同。于是，公式推導與合成處理，都簡潔方便。

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       誤差合成新理論的要點與特點如下：

       1）體現誤差量的兩大特點：絕對性和上限性。

       2）通過取方根，實現誤差量的絕對值化；可以貫通于隨機誤差和各種系統誤差。

       3）著眼于“范圍”。進行各誤差元到誤差范圍的合成；進行分項誤差到總誤差范圍的合成。

       4）由交叉系數決定合成法的選取。避開有歧義的相關系數概念。

       5）合成中，只需辨別誤差的性質（隨機誤差還是系統誤差），大系統誤差還是小系統誤差。不需辨別相關性。與分布無關。

       6）依誤差性質、項數的不同，把交叉系數典型化為0或1，由此得到誤差合成的具體方法。

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       誤差合成方法口訣：兩三項大系統誤差，絕對值相加；再與其他項合成，一律方和根。

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                      交叉系數決定合成法（2）
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2 隨機誤差元構成的誤差范圍
       對隨機誤差序列的處理，誤差理論兩百年前已有“方均根法”，成熟而完美。
       測量實踐中，人們易于認識隨機誤差。對常量的重復測量中，測得值的隨機變化量就是隨機誤差。
       隨機誤差元可大可小，可正可負。有四個特性：單峰性、對稱性、抵消性、有界性。
       按統計理論，隨機誤差是正態分布（在測量次數N不遠大于10時，有t分布成分）。以3σ為半寬的分布區間，包含概率大于99%。
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       對隨機誤差，有如下定義與關系：
       1）隨機誤差元等于測得值減測得值的期望值（當無系統誤差時，測得值的期望值是真值）。隨機誤差元的期望值是零。隨機誤差元為：
                  ξi = Xi - EX                                                              （1）
       2）標準誤差定義為
                  σ = √(1/N)∑ξi2   
                     = √(1/N)∑(Xi-EX)2                                                （2）
       3）貝塞爾公式是用測得值的平均值代換（2）式中的期望值，得到：
                  σ =√{[1/(N-1)]∑[X-X(平)]2}                                        （3）
       4）隨機誤差范圍
                  R(隨) = 3σ=3√(1/N)∑ξi2
                        =√(1/N)∑(3ξi)2                                                  （4）
       5）由公式（4），有：
                  R(隨) =3σ= σ(3ξ)                                                        （5）
       如（2）、（3），σ是隨機誤差元標準誤差。
       如（5），3σ、σ(3ξ) 是隨機誤差范圍。
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       以3ξ為隨機誤差元，其對誤差范圍的權重為1，與系統誤差元權重相同。 因而以3ξ為隨機誤差元，就可以同系統誤差等權地進行誤差合成。這是方根法的“一從眾”。      
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3 單項系統誤差元構成的誤差范圍
       系統誤差元用β表示。β是或正或負的恒值。
       單個系統誤差構成的誤差范圍
                  R(系) =√{(1/N)∑(βi)2}  =√(β2)
                           = |β|                                                                （6）
       單個系統誤差對誤差范圍的貢獻值是該系統誤差的絕對值。
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既然要講“包含概率”，“認知誤差量的分布規律”便是不可回避、必須要辦的事！——辦起來自然有點難，主要靠經驗（包括前輩傳授），有時也可能要“膽識”。

回避“認知誤差量的分布規律”的必然結果——“包含概率”的含糊其辭！  說是“大于99%”，其實也說不清這“大于99%”如何得以保障？

預計的應用效果將是： “愚公”們苦心竭力“認知誤差量的分布規律”，可能會“評估”出一個"誤差（范圍）”值Δ1，承諾“包含概率大于99%”；回避“認知誤差量的分布規律”的“智瘦”們可能會“理直氣壯”的“給”出一個值為3Δ1的“誤差（范圍）”，其“包含概率”是多少呢？也只能說“大于99%”，沒有膽量說“大于99.9%”!

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                                交叉系數決定合成法（3）
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                                                                                     史錦順

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4 誤差合成的理論基礎

       函數的改變量，等于函數對各個自變量偏微分的和。就是泰勒展開的一級近似。
                 f(x,y)= f(xo,yo)+ (?f/?x) (x-xo)+ (?f/?y) (y-yo)                         （7）
                f(x,y) -f(xo,yo) =(?f/?x) Δx+ (?f/?y) Δy                                    （8）
                Δf=(?f/?x)Δx + (?f/?y)Δy                                                       （9）
       公式（9）是偏差關系的普遍形式。對所研究的特定函數來說，?f/?x、?f/?y是常數。
       偏差關系用于測量計量領域，x是測得值，xo是真值, Δx是測得值x的誤差元；y是測得值，yo是真值，Δy是測得值y的誤差元；f(x,y)是測量儀器測得值或是間接測量被測量的測得值，簡稱函數值，f(xo,yo) 是函數的真值，Δf=f(x,y)-f(xo,yo) 是函數值的誤差元。

5 交叉系數的一般表達
       設函數的誤差由兩項誤差Δx、Δy引起。由此，函數的兩項誤差元為：
                  Δf(x) =(?f/?x) Δx
                  Δf(y) =(?f/?y) Δy
       把分項誤差作用的靈敏系數與該項誤差歸并，記為：
                  Δf(x) = ΔX
                  Δf(y) = ΔY
       函數的誤差元式（9）變為：
                  Δf=ΔX+ΔY                                                                        （10）
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       對（10）式兩邊平方并統計平均：
                  (1/N)∑Δf2=(1/N)∑(ΔXi +ΔYi)2
                               =(1/N)∑ΔXi2 + 2(1/N)∑ΔXiΔYi+(1/N)∑ΔYi2   
                  RΔf2 = RΔX2 + 2(1/N)∑ΔXiΔYi + RΔY2                                      （11）

      （11）式右邊的第一項為ΔX范圍的平方RΔX2；第三項為ΔY范圍的平方RΔY2；第二項是交叉項，是我們研究的重點對象。

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       交叉項為
                  2(1/N)∑ΔXiΔYi = 2 [(1/N)(∑ΔXiΔYi) / (RΔXRΔY)]  × (RΔXRΔY)   

                            = 2 J RΔXRΔY                                                               （12）
       （12）式中的J為：
                  J = (1/N)(∑ΔXiΔYi ) / (RΔXRΔY)                                          （13）
       稱 J 為交叉系數。
       （注：此前，J記為r，稱為相關系數。這和統計理論的相關系數，物理意義有差別。為澄清已有的混淆，本文稱J為交叉系數。）
       當交叉系數可略時，誤差范圍的合成公式（11）變為：

                  RΔf = √ (RΔX2+RΔY2)                                                                （14）
      （14）式是“方和根”合成公式。
       當交叉系數為+1時，誤差范圍的合成公式變為“絕對和”：

                  RΔf =|ΔX|+|ΔY | = RΔX +RΔY                                                  （15）

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                            交叉系數決定合成法（4）
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                                                                                   史錦順
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6 隨機誤差間合成的交叉系數
       對隨機誤差的合成，ΔX是ξx, 代換為[X-X平]；ΔY是ξy，代換為[Y-Y平]，有：
                J =[1/(N-1)]∑(Xi-X平)(Yi-Y平) / (σΔX σΔY)                        （16）
       由于ξx、ξy是隨機誤差，可正可負，可大可小，有對稱性與有界性，多次測量，是大量的，因此，隨機誤差間的合成的交叉系數為零（或可以忽略）。（15）式是當前不確定度論引用的統計理論的相關系數公式。這個公式對隨機誤差是對的；對系統誤差，不成立。
       隨機誤差合成，（14）成立。即隨機誤差的合成公式是“方和根”：
               RΔf = √ (RΔX2+RΔY2)                                                     （14）
               σΔf = √[σΔx2+ σΔy2]                                                    （14.1）

7 隨機誤差與系統誤差合成的交叉系數
       兩個分項誤差，一個是隨機的，記為ξ，考慮到對誤差范圍的權重，取單元量為3ξ（對應ΔX）；一個是系統的（重復測量中不變），記為β（對應ΔY）。
       代入公式（13），有
                 J =(1/N)(∑3ξiβ) / [R(3ξ) R(β)]                   
       系統誤差元β是恒值，可以提出來，有
                 J =(1/N) (3β∑ξi) / [R(3ξ) R(β)]                                         （17）
       大量重復測量（例如N=20，N不得小于10）中，（17）式的∑ξi等于零或可以忽略，因此J近似為0，可以忽略。“方和根法”成立：
                  R(f) =√[β2+ (3σ)2]                                                         （18）

8 系統誤差與系統誤差合成的交叉系數
       設（13）式中ΔX為系統誤差βx ，ΔY為系統誤差βy，有
                 RΔX = √ [(1/N)∑ΔXi2]= |βx|                                                （19）
                 RΔY= √ [(1/N)∑ΔYi2]= |βy|                                                 （20）
       則系統誤差的交叉系數為
                  J = (1/N)(∑βxi βyi) / (|βx||βy|)    
                   = βx βy/ (|βx||βy|)
                    =±1                                                                              （21）  
       即有
                  |J|=1                                                                               （22）
       當βx與βy同號時，系統誤差的交叉系數J為+1；當βx與βy異號時，系統誤差的交叉系數J為-1。
       當系統誤差的交叉系數為+1時，（11）式變為：
                 RΔf2=|βx2|+2|βx||βy| +|βy|2 =(|βx|+|βy|)2
       即有        
                  RΔf = |βx|+|βy|                                                                  （23）
       （22）式就是絕對值合成公式。
       當系統誤差的交叉因子為-1時，（22）式變為二量差的公式。因為通常只是知道系統誤差之誤差范圍，又鑒于誤差量“上限性”的特點，二量差的公式不能用。

       測量儀器的性能指標，給出的都是誤差范圍。該指標值由生產廠家給出，由計量部門公證，測量者按儀器指標應用。直接測量，測量儀器的指標，就可看作是測量的誤差范圍（只要符合儀器使用條件，環境等的影響已包含在儀器的指標中）。間接測量，要按間接測量的函數關系進行誤差合成。測量儀器的誤差范圍指標值因以系統誤差為主，要視其為系統誤差值，按系統誤差處理。
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                                 交叉系數決定合成法（5）
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                                                                                       史錦順
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9 關于合成方法的主張
       誤差合成，統一按“方根法”。對特定的誤差種類，“方根法”分化為“均方根法”、“方和根法”、“絕對和法”、“混合法”。
       通常，測量儀器以系統誤差為主。不能無視系統誤差的存在。考慮到系統誤差、隨機誤差都是客觀存在，提出如下主張：
       1）隨機誤差序列，用“均方根法”，隨機誤差范圍之間，用“方和根法”；
       2）隨機誤差范圍與系統誤差范圍之間，用“方和根法”；
       3）有多項中小系統誤差項，僅有一項大系統誤差（或沒有大系統誤差），它們之間的交叉系數，可能是+1，也可能是-1，有相互抵消、或部分抵消的作用，這樣，可以用“方和根法”。
       4）直接測量僅有兩三項系統誤差，要用“絕對和法”（適用于研制中確定儀器指標）；
       5）間接測量，僅有兩三項測量儀器的誤差范圍，要用“絕對和法”；
       6）有多項誤差，在兩項或三項大系統誤差之間用“絕對和法”，其余的各種處理，用“方和根法”。總稱謂是“混合法”。

10 間接測量的誤差合成例說
       間接測量由若干直接測量構成。各直接測量的誤差，都是間接測量的誤差因素。還加一些綜合性因素。
       間接測量，要進行若干項分項誤差的合成。
       設函數誤差由以下8項誤差構成：
       大系統誤差項β1大、β2大
       小系統誤差項β3小、β4小、β5小、β6小、
       隨機誤差項ξ7隨、ξ8隨

       注：
       分項系統誤差的傳遞系數是函數對該自變量的偏微商。
       分項隨機誤差的傳遞系數是函數對該自變量的偏微商的3倍（包含概率99%）。
       本文中分項誤差項的值，指單項誤差與傳遞系數的乘積。

       函數誤差元
                   Δf =(?f/?x)Δx + (?f/?y)Δy……   
                   Δf =β1大+β2 大  
                         +β3小+β4小+β5小+β6小
                         +3ξi7隨+3ξi8隨
       求“函數誤差元的平方”的統計平均
                 [(1/N)∑Δfi2]
                     = (1/N)∑[β1大+β2大]
                      +β3小+β4小+β5 小+β6小
                       +3ξi7隨+3βi8隨]2
                R2 = (1/N)∑[β1大2+2J大β1大β2大+β2大2
                         +β3小2+β4小2+β5小2+β6小2
                         +(3σ7 隨)2+(3σ8隨)2+其他交叉項]                             （24）
       大系統誤差項的交叉系數J大等于+1或-1；因誤差范圍是誤差元的最大可能值，故取+1。由此，大誤差間取絕對和。其他交叉項的交叉因子，凡有隨機誤差項的，交叉因子為零。沒有隨機誤差的，是系統誤差之間的交叉系數，可以是+1，也可以是-1；由于交叉項的數量大，可認為正負項近似抵消，因而其他交叉項之和可略。

       合成誤差范圍公式
                 R =√[(R1大+R2大)2
                      +R3小2+R4小2+R5小2+R6小2
                      +(3σ7隨)2+(3σ8隨)2]                                                    （25）
       二、三項大系統誤差間取“絕對和”；此“絕對和”與所有其他系統誤差、隨機誤差范圍之間，取方和根。
       由于測量儀器的誤差范圍，以系統誤差為主，且因誤差范圍是誤差元絕對值的一定概率（99%）意義上的最大可能值，因此某項直接測量的測量儀器誤差范圍指標值，視為間接測量的該項系統誤差。
       當分項誤差僅有一項大誤差，或有4項以上大誤差時，考慮交叉項的可能抵消作用，公式（10）變成純“方和根”。

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全文完。歡迎批評！
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敬佩史先生的執著精神！

可惜本篇長論似乎未現真珠？

若是不計較“包含概率”的確切值【——大于99.xx%就好，不計較‘大于’的代價！】，那么，現有“誤差理論”【譬如費業泰先生著作】對“誤差（范圍）”的“合成”方法已然描述清楚，此篇或未現長處。

長篇難如先生期許效用的“癥結”或在：誤解了所謂“系統（測量）誤差”的本性！  以它與所謂“隨機（測量）誤差”配對，將其歸入了“非隨機”量（確定量？）之列，以致在“推導”中將其【——所謂“系統（測量）誤差”】樣本值（“合成”時未知！）與“范圍”值混為一談，得到有些牽強附會的“結論”。.....誠如本論壇的葉先生所言，所謂的“（未定）系統（測量）誤差”也是一個“不確定量”【——“隨機量”！】，因此才要關注它的“范圍”值！(附言：本人不贊成葉先生全盤否定“誤差分類”效用的觀點！）

若是計較“包含概率”的確切值【——不是大于99.xx%就好，要計較‘大于’的代價！追求“剛好達到”約定的99.xx%】，便應積極響應“不確定度”評估中所提諸法（當然，也包括積極針砭其可能存在的缺點）！

而“相關性”問題，則是新、老處理辦法都不能“回避”的！ 可以據“理”簡化處理，不能換個“名字”敷衍行事。

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                     誤差合成法公式推導中系統誤差恒值的時間要求

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                                                                                                                                      史錦順

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       誤差是測得值與被測量真值的差距。

       誤差元是測得值減真值。

       誤差范圍是誤差元絕對值的一定概率（大于99%）意義上的最大可能值。

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       誤差元，有隨機的（在一場測量的N次測量中，大小符號都在變化），也有恒值的。這是誤差量的性質。按性質，誤差被劃分為為隨機誤差和系統誤差。

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       測得值是測量機制中，各種因素共同構成的結果。函數的誤差，取決于各個分項誤差。

       推導誤差合成法的公式，要根據各分項誤差的作用機理。誤差合成法必須符合誤差的性質，反映誤差的性質。

       現代誤差理論一律地取“方和根”，忽視了誤差性質上的不同。交叉系數理論給出的結果是，合成法取決于誤差的性質或系統誤差的數量，這就反應了誤差性質的不同。

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       測量量值的方式，是測量N次取平均。這個統計平均時間稱“統計時間”。

       討論誤差合成公式時，所認定的分項誤差的性質，是指“統計時間”內的性質。

       誤差合成法公式推導中系統誤差恒值的時間要求，是統計時間。

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       有人說，系統誤差就長期來說并不是恒值。是的，使用的恰當，物盡其用，系統誤差的變化有接近誤差范圍指標值的。如頻率計準確度指標是5E-8，頻率源是高穩晶振，如果此晶振的老化規律穩定、精確測得其日老化率為+2e-10，，則校頻時，可置晶振的頻率為-4E-8，一年內變化到不超過+4E-8，這樣可使頻率計有5E-8的準確度指標。而計量時把頻率精確地調準到1E-10，而一年內可能達到+7E-8，反而超標了。

       這樣的系統誤差變化，是筆者多次面對的。筆者所說的“恒值”，從來沒說過它永久不變。

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       那么在“交叉系數決定合成法”的公式推導中，要求“系統誤差保持恒值”的時段是多大呢？僅僅是統計平均時間，就是一場N次測量所用的時間，大致是幾分鐘到幾小時。在這短短的時段內，“系統誤差保持恒值”這一點，是沒有問題的！

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       系統誤差的長時間后的變化，不影響關于“交叉系數決定合成法”的道理。因為決定誤差大小的，是統計時間內的誤差量的性質。在統計時間內，隨機誤差大小符號都在變化，20個（或100個）隨機誤差元在交叉項中，相互抵消，隨機誤差間合成，隨機誤差與一項系統誤差合成，交叉系數都近于零，誤差可取方和根。兩項系統誤差合成，在統計時間內，兩個系統誤差都是恒值，由它們決定的交叉系數，是+1或-1。就是說，是絕對和，或者是絕對差。誤差范圍的定義是誤差元絕對值的最大可能值，因此交叉系數要取+1，合成方法應是絕對和。

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如頻率計準確度指標是5E-8，頻率源是高穩晶振，如果此晶振的老化規律穩定、精確測得其日老化率為+2e-10，，則校頻時，可置晶振的頻率為-4E-8，一年內變化到不超過+4E-8，這樣可使頻率計有5E-8的準確度指標。而計量時把頻率精確地調準到1E-10，而一年內可能達到+7E-8，反而超標了。

精確測得晶振日老化率為+2E-10，按檢定規程要求應把晶振頻率準確度校準到優于-2E-9，怎么可以置晶振的頻率為-4E-8，有那一個生產廠會把日化率2E-10的晶振給出4E-8準確度的指標，如此設置生產廠不答應，用戶也不會答應

誤差合成法公式推導中系統誤差恒值的時間要求，是統計時間。

如何知道統計時間內恒值是正、是負、是大、是小、是多少，測量出來了嗎？若測量出來已知恒值是多少，njlyx說了：便可以直接代入{Y=f（X)}折算得到相應的輸出“誤差”（分）量值（不是“范圍”值！），根本沒有取“方和根”還是“絕對和”的問題！！！。若沒有測量出來不知道恒值在多少，就只能知道是在一個區間內，分布、相關性是必須要考慮的。