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計量單位的定義由國際計量大會決定。
復(fù)現(xiàn)單位量值的設(shè)施稱基準(zhǔn)。我國的國家基準(zhǔn)在中國計量科學(xué)研究院。
用基準(zhǔn)檢定一等標(biāo)準(zhǔn)，用一等標(biāo)準(zhǔn)檢定二等標(biāo)準(zhǔn)，依次類推，用N等標(biāo)準(zhǔn)檢定或校準(zhǔn)測量儀器，這就是計量的量值傳遞系統(tǒng)。由上而下的量值流程稱量值傳遞。
測量儀器每年要向上級計量部門送檢，用N等計量標(biāo)準(zhǔn)確定儀器是否合格（是否符合誤差范圍指標(biāo)），N等計量標(biāo)準(zhǔn)每年要用N-1等計量標(biāo)準(zhǔn)檢定，依此類推直至基準(zhǔn)。這個由下到上的尋求量值準(zhǔn)確性的過程稱為計量溯源。同一種量的測量儀器全國千千萬，但量值的準(zhǔn)確性歸根結(jié)底都來自基準(zhǔn)。這就是計量講究的溯源性。
測量儀器的誤差范圍由N等標(biāo)準(zhǔn)來判斷，N等計量標(biāo)準(zhǔn)又由上級計量標(biāo)準(zhǔn)來確定，這是可行的，也是正確的方法。但由此產(chǎn)生的誤差（即誤差的誤差）是多少，這個問題可由誤差方程處理。學(xué)問簡單，卻沒人仔細(xì)推導(dǎo)。筆者給出簡明的誤差方程，證明經(jīng)典作法是正確的。
以下是拙作《史氏測量計量學(xué)說》之一章，專講量傳與溯源的理論基礎(chǔ)。復(fù)制于后，供參考。
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第6章 量傳與溯源的誤差方程（修改稿）
研究測量，發(fā)明測量方法，選擇、構(gòu)建測量方案，基本目標(biāo)是減小測量誤差。研究計量，建立標(biāo)準(zhǔn)，是在更高層次上講究誤差。
分析誤差，準(zhǔn)確地計算誤差，是誤差理論的重要內(nèi)容。本文建立誤差方程，解決了從誤差實驗值到誤差（以真值為參考）的計算問題。說明在真值未知的條件下，是可以計算誤差的。
貝塞爾公式的精髓是用平均值代換真值（或統(tǒng)計學(xué)中的期望值），為實際計算提供了可能；誤差方程以上級標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)稱值代換真值，實現(xiàn)了用誤差范圍實驗值求誤差范圍，于是誤差范圍可算了。真值代換，是誤差方程的精華。
當(dāng)前，誤差理論隨真值概念的被貶而受冤，這里有認(rèn)識論的根源，而誤差理論自身缺少某些必要的計算方法，也是其蒙難的一個緣由。
有了誤差方程，我們可以更全面地認(rèn)識、論述誤差，更有根據(jù)地為真值正名，為誤差平反，重新豎起準(zhǔn)確度的旗幟。相信，測量方程與誤差方程會使誤差理論面目一新。
準(zhǔn)確性用誤差來衡量。誤差是測得值與真值的差距。誤差一詞有雙重含義：誤差元與誤差范圍。誤差元定義為測得值減真值。誤差范圍是誤差元絕對值的一定概率（大于99%）意義上的最大可能值。在人們的習(xí)慣用語中，誤差范圍又簡稱為誤差。誤差元的概念，只在誤差理論一開始時用；而在誤差理論主要表達(dá)中，特別是在實際應(yīng)用中，所稱的誤差，都是指誤差范圍。
誤差范圍的概念，實際應(yīng)用中又區(qū)分為幾種。
（1）R與R(N)，以真值為參考。
R是以真值為參考的測量儀器的誤差范圍指標(biāo)值。R(N)是以真值為參考的N級計量標(biāo)準(zhǔn)的誤差范圍指標(biāo)值。
（2）R(實驗)與R(N實驗)，以上級標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)稱值為參考。
R(實驗)是測量儀器的以上級計量標(biāo)準(zhǔn)為參考值的誤差范圍指標(biāo)值。R(N實驗)是N級計量標(biāo)準(zhǔn)的以上級標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)稱值為參考的誤差范圍指標(biāo)值，。
（3）R(實測)：在計量中以計量標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)稱值為參考，而測得的測量儀器的視在誤差范圍值。與計量規(guī)范JJF1094比較，就是|Δ|max。
本章誤差方程，討論的是“以真值為參考”的誤差范圍指標(biāo)值（真誤差范圍）R同“以標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)稱值為參考”的誤差范圍指標(biāo)值R(實驗)之間的關(guān)系。
為講述的方便，本章用了“測量”這個術(shù)語；其著眼點僅是說明，是以計量標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)稱值為參考。R(實驗)是指標(biāo)值，而不是測得值。或者說：R(實驗)是視在誤差最大值|Δ|max的最大允許值，而不是|Δ|max本身。
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1 誤差方程的基本形式
1.1 測量儀器
用測量儀器測量標(biāo)稱值為B的標(biāo)準(zhǔn)。
M表示測得值，Z表示被測量的真值。B為標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)稱值。r表示誤差元，R表誤差范圍。計量中是用測量儀器測量計量標(biāo)準(zhǔn)，被測量的真值就是標(biāo)準(zhǔn)的真值。
r = M - Z
R =|r|max
R =|M - Z|max
=|(M-B)–(Z-B)|max
=|M-B|max +|Z-B|max
=|r(實驗)|max +|r(標(biāo))|max
R = R(實驗) + R(標(biāo)) （6.1）
R是測量儀器的誤差范圍，R(實驗)是測得的誤差范圍，R(標(biāo))是標(biāo)準(zhǔn)的誤差范圍。在本章以下的討論中， R、R(實驗)、R(標(biāo))都是指指標(biāo)值。
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1.2 計量標(biāo)準(zhǔn)
Z(N).表示N級標(biāo)準(zhǔn)的真值，B(N)為N級標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)稱值。要確定N級標(biāo)準(zhǔn)器的誤差，要用上一級標(biāo)準(zhǔn)即N-1級標(biāo)準(zhǔn)器構(gòu)成一臺N-1級標(biāo)準(zhǔn)測量儀器。N-1級標(biāo)準(zhǔn)測量儀器由N-1級標(biāo)準(zhǔn)器加比較儀器構(gòu)成。要求比較儀器引入誤差可略，于是N-1級標(biāo)準(zhǔn)測量儀器與N-1級標(biāo)準(zhǔn)器誤差相同。用N-1級標(biāo)準(zhǔn)測量儀器測量N級標(biāo)準(zhǔn)器，得M(N-1)。
r (N)= B(N) – Z(N)
R(N) =|B(N) –M(N-1) + M(N-1) –Z(N)|max
=|B(N) –M(N-1)|max +|M(N-1) –Z(N)|max
=|r(N,實驗)|max +|r(N-1)|max
R(N) = R(N,實驗)+R(N-1) （6.2）
R(N)是N級標(biāo)準(zhǔn)的誤差范圍（真誤差范圍），R(N,實驗)是測得的N級標(biāo)準(zhǔn)的誤差范圍實驗值，R(N-1)是N-1級標(biāo)準(zhǔn)的誤差范圍。
(6.1)式、(6.2)式是誤差方程的基本形式。（6.1）式與（6.2）式的推導(dǎo)，可參考第4章誤差合成的定理一與定理二。
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2 量傳誤差方程
量值傳遞是計量的基本工作方式。將基準(zhǔn)的量值，在保證特定誤差范圍的條件下，逐等級傳遞給計量標(biāo)準(zhǔn)，直至測量儀器。
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標(biāo)準(zhǔn)序號 0（基準(zhǔn)） 1等 2等 3等 …… N-1等 N等
誤差范圍 R(0) R(1) R(2) R(3) R(N-1) R(N)
誤差范圍 R(0) KR(0) K^2R(0) K^3 R(0) K^(N-1)R(0) K^(N)R(0)
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R(0)是基準(zhǔn)的誤差范圍，不是靠上一等標(biāo)準(zhǔn)來賦值，而有專門的分析與測量的方法。
R(i)表第i等標(biāo)準(zhǔn)的以真值為參考標(biāo)準(zhǔn)的誤差范圍。又稱真誤差范圍。
K是量值傳遞因子，誤差范圍之比，下一等比上一等。K=1/q 。
R(實驗/測)是以上一等標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)稱值為參考標(biāo)準(zhǔn)的誤差范圍的測量值。記為R(M).
R(實驗標(biāo))是以上一等標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)稱值為參考標(biāo)準(zhǔn)的誤差范圍的標(biāo)稱值。又稱實驗要求值，或目標(biāo)值，由計算得出。記為R(T)。R(T)是R(M)的允許的最大可能值。
下面求由誤差范圍計算誤差范圍目標(biāo)值R(T)的公式。
由一般式（6.2）
R(i) = R(T,i) + R(i-1)
R(T,i) = R(i)- R(i-1)
R(T,i) = R(i)[1-q] （6.3）
量傳是用i-1級標(biāo)準(zhǔn)考核i級標(biāo)準(zhǔn)的合格性。由于存在（6.3）式的誤差方程關(guān)系，因此i級標(biāo)準(zhǔn)的合格標(biāo)準(zhǔn)不是R(i)，而是R(T,i).
誤差范圍的以上一等的標(biāo)準(zhǔn)為參考標(biāo)準(zhǔn)的測量值記為R(M,i)。
當(dāng)
R(M,i) ≤ R(T,i) （6.4）
時，判為合格；否則不合格。
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3 溯源誤差方程
3.1 測量儀器溯源誤差方程
M表示測得值，Z表示真值。Z(N).表示N級標(biāo)準(zhǔn)的真值，M(N)為N級標(biāo)準(zhǔn)儀器的測得值。B(N)為N級標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)稱值。r表示誤差元，R表誤差范圍。
（1）檢驗測量儀器誤差，要用N級標(biāo)準(zhǔn)測量儀器或N級標(biāo)準(zhǔn)器。
A 用被檢測量儀器和N級標(biāo)準(zhǔn)測量儀器同測一量（其真值為Z），被檢測量儀器測得值為M，N級標(biāo)準(zhǔn)測量儀器測得值為M(N)。
M – Z = M – M(N) + M(N) – Z
R = R(實驗) + R(N) （6.5）
B 用被檢測量儀器測量N級標(biāo)準(zhǔn)器，標(biāo)準(zhǔn)器標(biāo)稱值為B(N)、真值為Z(N)
M – Z(N)= M – B(N) + B(N) – Z(N)
R = R(實驗) + R(N) （6.6）
（2）檢驗N級標(biāo)準(zhǔn)測量儀器的誤差或檢驗N級標(biāo)準(zhǔn)器的誤差，要用N-1級標(biāo)準(zhǔn)測量儀器或N-1級標(biāo)準(zhǔn)器。
A 測同一量，N級標(biāo)準(zhǔn)測量儀器測得值為M(N)，N-1級測量儀器測得值為M(N-1)
M(N) – Z = M(N) – M(N-1) + M(N-1) – Z
R = R(N實驗) + R(N-1) （6.7）
B 用N級標(biāo)準(zhǔn)測量儀器測量N-1級標(biāo)準(zhǔn)器，其標(biāo)稱值B(N-1)、真值Z(N-1)
M(N) – Z(N-1) = M(N) – B(N-1) + B(N-1) – Z(N-1)
R(N) = R(N實驗) + R(N-1) （6.8）
C 求N級標(biāo)準(zhǔn)器的誤差，要用N-1級標(biāo)準(zhǔn)測量儀器來測它
B(N) – Z(N) = B(N) – M(N-1) + M(N-1) – Z(N)
R(N) = R(N實驗) + R(N-1) （6.9）
（3）同理可知
R(N-1) = R(N-1實驗) + R(N-2)
R(N-2) = R(N-2實驗) + R(N-3)
……
R(2) = R(2實驗) + R(1);
R(1) = R(1實驗) + R(0)
R0是基準(zhǔn)誤差，由基準(zhǔn)給出。
以上各式逐一寫出，并用后式代替前式的最后一項，有
R = R(實驗) + R(N)
R = R(實驗) + R(N實驗) + R(N-1)
R = R(實驗) + R(N實驗) + R(N-1實驗) + R(N-2)
R = R(實驗) + R(N實驗) + R(N-1實驗) + R(N-2實驗) + R(N-3)
以下再代換掉R(N-3)……，最后成為
R = R(實驗) + R(N實驗) + R(N-1實驗) + R(N-2實驗) + ……
+ R(2實驗) + R(1實驗) + R(0,實驗)
量值傳遞關(guān)系決定的級間誤差范圍之比值（上一級比下一級）為系數(shù)q，將以上各級誤差實驗值表為R(N實驗)的倍數(shù)（^表乘方，*表相乘）
R = R(實驗) + R(N實驗) + qR(N實驗) +q^2 *R(N實驗) +……
+ q^(N-2)*R(N實驗) + q^(N-1)*R(N實驗) +q^N *R(N實驗)
第2項以后把公因子R(N實驗)提出，成為首項為1，比值為q的N+1項的等比級數(shù)，
R = R(實驗) + R(N實驗) [ 1+ q + q^2 +……
+ q^(N-2) + q^(N-1) +q^N ] （6.10）
等比級數(shù)求和，略去q的高階項q^(N+1)。
結(jié)果為
R = R(實驗) + R(N實驗)/(1-q) (6.11)
3.2 計量標(biāo)準(zhǔn)溯源誤差方程
對N等計量標(biāo)準(zhǔn)(包括已納入計量系列的測量儀器)，(6.10)式改寫為：
R(N)= R(N實驗) [ 1+ q + q^2 +……+ q^(N-2) + q^(N-1) +q^N ]
解得
R(N) = R(N實驗)/(1-q) (6.12)
（6.11）式與（6.12）式是溯源誤差方程。
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4 誤差方程的意義
4.1 經(jīng)典計量學(xué)的作法
計量講究溯源性。誤差方程是關(guān)于溯源性的計算。
計量單位的值，古代各國家、各地區(qū)不同。近代世界大發(fā)展、大交流，于是有了國際單位制。國際單位制，采用十進(jìn)制，單位體系簡約、科學(xué)，現(xiàn)代為世界各國普遍采用。我國采用國際單位制。
計量單位的定義由國際計量大會決定。
復(fù)現(xiàn)單位量值的設(shè)施稱基準(zhǔn)。我國的國家基準(zhǔn)在中國計量科學(xué)研究院。基準(zhǔn)校準(zhǔn)一等標(biāo)準(zhǔn)，一等標(biāo)準(zhǔn)校準(zhǔn)二等標(biāo)準(zhǔn)，依次類推，由N等標(biāo)準(zhǔn)校準(zhǔn)或檢定測量儀器，這就是計量的量值傳遞系統(tǒng)，由上而下的量值流程稱量值傳遞；而測量儀器每年要向上級計量部門送檢，用N等計量標(biāo)準(zhǔn)確定儀器是否合格（是否符合誤差范圍指標(biāo)），N等計量標(biāo)準(zhǔn)每年要用N-1等計量標(biāo)準(zhǔn)檢定，依此類推直至基準(zhǔn)。這個由下到上的尋求量值準(zhǔn)確性的過程稱為計量的溯源性。同一種量的測量儀器全國千千萬，但量值的準(zhǔn)確性歸根結(jié)底都來自基準(zhǔn)。
測量儀器的誤差范圍由N級標(biāo)準(zhǔn)來判斷，N級計量標(biāo)準(zhǔn)又由上級計量標(biāo)準(zhǔn)來確定，這是可行的，也是正確的方法。但由此產(chǎn)生的誤差（即誤差的誤差）是多少，這個問題可由誤差方程處理。學(xué)問簡單，卻沒人仔細(xì)推導(dǎo)。筆者給出簡明的誤差方程，證明經(jīng)典作法是正確的。
4.2 誤差方程計算
1 公式因子計算
q 1/3 1/4 1/5 1/6 1/8 1/10
1/(1-q) 1.50 1.33 1.25 1.20 1.14 1.11
2 誤差范圍實驗值該擴(kuò)大的百分比(K=1/q，是下一級對上一級誤差范圍之比)
q 1/3 1/4 1/5 1/6 1/8 1/10
K 3 4 5 6 8 10
擴(kuò)大百分比 50% 33% 25% 20% 14% 11%
3 誤差范圍實驗值代替誤差范圍產(chǎn)生的相對偏差
[R(實驗) – R] / R =R(實驗) / R–1 = - q
4.3 誤差方程的意義
推導(dǎo)中每步都用真值，但結(jié)果中不包含真值，實現(xiàn)了用標(biāo)準(zhǔn)值對真值的代換。
誤差方程完成的是上級標(biāo)準(zhǔn)值的功效到真值功效的過渡。
誤差方程實現(xiàn)了從誤差實驗值到誤差（即真誤差）的計算。
指出：目前我國某些計量領(lǐng)域中，q取1/3，偏大；應(yīng)取1/4。隨著技術(shù)的發(fā)展，q會更小。
有了誤差方程，可以解除對誤差理論的疑慮了。
誤差方程出世了，誤差范圍（真誤差的范圍）可以計算了；所謂“真值未知，誤差不可求”的佯謬破解了。
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