請量友討論《再議計量標準的重復性……》文中的一段敘述

《中國計量》2014年第一期，發表了《再議計量標準的重復性試驗和穩定性考核》一文。的確，該文糾正了該刊2013年第十一期，發表的《對計量標準重復性試驗和穩定性考核方法及要求的看法》一文的不是之處。該文請見：http://www.bkd208.com/thread-170679-1-2.html：請版式友學習并討論《對計量標準重復性試驗……》一文——貼子：請版式友學習并討論《對計量標準重復性試驗和穩定性考核方法及要求的看法》一文。

      但是，該文的如下關于計算單次測量結果的實驗標準偏差貝塞爾公式中，測量次數n的大小的敘述值得商榷：

      ……                                                                                                                                                                                                                                   測量次數n應盡可能大，一般應不少于10次。其主要原因是用貝塞爾公式得到的實驗標準偏差除隨機誤差以外還存在系統誤差，并且當測量次數越少時，其系統誤差越大，這就是為什么使用貝塞爾公式時要求測量次數足夠大的原因。無疑，測量次數增加時其隨機誤差也會減小，但這并不是要求較大n的主要原因。測量次數n能否減少要視具體情況而定，若重復性所引入的不確定度分量在測量結果的不確定度評定中不是主要分量，可以適當減少測量次數，但不希望少于6次。

      量友們：你們覺得該項敘述有問題目嗎？

我覺得該敘述有問題。。"其主要原因是用貝塞爾公式得到的實驗標準偏差除隨機誤差以外還存在系統誤差，并且當測量次數越少時，其系統誤差越大"，首先覺得系統誤差跟測量次數沒有多大的關系，測量次數越少隨機誤差越大倒是顯而易見的，再者由貝塞爾公式本身來看已經減掉了系統誤差，這并不是增加測量次數的主要原因。。但當測量次數增加時，貝塞爾公式所反映的標準差更加接近于實際的重復性，這個應該是主要原因吧。。但是增加測量次數不是每個實驗都能輕易實現的，這里就要考慮實際情況了，最佳測量次數我們是無法知曉的，要具體情況具體對待。

我覺得該敘述有問題。。"其主要原因是用貝塞爾公式得到的實驗標準偏差除隨機誤差以外還存在系統誤差，并且 ...
tigerliu 發表于 2014-2-6 10:01

    我也覺得有問題。實驗標準偏差是反映測量結果的分散性，那有實驗標準偏還存在系統誤差之說。其“測量次數越少時，其系統誤差越大”，真不知道作者是怎么說得來的？

　　1.貝塞爾公式中要計算殘余誤差（簡稱殘差），也就是每個測量結果均減去平均值。平均值相當于單次測量結果的“真值”，系統誤差是可以修正的“偏倚”，偏倚是偏離真值的程度。測量次數越多平均值越趨近于真值，從這個意義上來說，測量次數的多少雖然并不能決定系統誤差的大小，但它卻不僅僅決定了隨機誤差的大小，同時也影響著系統誤差。
　　2.使用貝塞爾法和極差法的目的相同，但其使用的場合區別于重復測量次數。當重復測量次數達不到9次，特別是達不到6次時，極差法是有效的，當重復測量次數6次以上，特別是10次以上時，貝塞爾法更為有效。所以說到底，因為增加測量次數不是每個實驗都能輕易實現的，所以重復測量次數6次就成了貝塞爾法和極差法使用場合的分水嶺。

　　1.貝塞爾公式中要計算殘余誤差（簡稱殘差），也就是每個測量結果均減去平均值。平均值相當于單次測量結 ...
規矩灣錦苑 發表于 2014-2-6 22:56

    規版給出的第一點我不能同意。JJF1101—2011《通用計量術語及定義》給出：系統誤差是在重復測量中保持不變或可預見方式變化的測量誤差的分量。測量次數增加得到的平均值，只會使隨機誤差減小，不可能減小或影響系統誤差。一般來說：無限多次測量的平均值（數學期望）與真值之差才是系統誤差。并不是有限的幾次測量的平均值與真值之差就是系統誤差哦！

回復 1# 劉彥剛


    我覺得作者所說的系統誤差是不是指用貝塞爾公式得到的實驗標準偏差的系統誤差，也就是說用貝塞爾公式這個數學模型來計算測量重復性在數學本質上所固有的偏差，是計算方法的誤差，并不是實驗的誤差，所以要n盡可能多，來盡量減少這個偏差。如果少于6次用極差法應該更好一些。

回復  劉彥剛


    我覺得作者所說的系統誤差是不是指用貝塞爾公式得到的實驗標準偏差的系統誤差，也就是 ...
阿歷 發表于 2014-2-7 09:15

    我覺得大凡這樣的討論，介入者總愿意選擇相信權威，相信書本雜志。總會千方百計為權威雜志找正確的理由，而不會想萬一權威、雜志的對方是正確的呢？

回復 7# 劉彥剛

先看一下JJF1001-2011對“實驗標準偏差”的定義：對同一被測量進行n次測量，表征測量結果分散性的量。用符號s表示。其后的注1：n次測量中個測得值xk的實驗標準差可按貝塞爾公式計算。也就是說實驗標準偏差首先推薦按貝塞爾公式計算，當然也可以采用其它方法，如極差法。

“測量次數n應盡可能大，一般應不少于10次。”這個沒錯，如果可能測量次數越多，計算得到的標準偏差越可靠，無論是采用貝塞爾公式還是極差法，因為次數越多自由度越大。“其主要原因是用貝塞爾公式得到的實驗標準偏差除隨機誤差以外還存在系統誤差，并且當測量次數越少時，其系統誤差越大，這就是為什么使用貝塞爾公式時要求測量次數足夠大的原因。”這有點不著邊，對于大多數重復測量，系統誤差通常是恒定的，對計算標準偏差沒有影響，不變能有影響嗎？“測量次數越少時，其系統誤差越大”更是不可能，也不是使用貝塞爾公式時要求測量次數足夠大的原因。次數少也可以用貝塞爾公式，次數的多少取決于你想獲得的標準偏差的可信程度，你想獲得一個可信度高的標準偏差，那只有增加測量次數，與用貝塞爾公式還是極差法關系不大。

“無疑，測量次數增加時其隨機誤差也會減小”這一說法也不妥，隨著測量次數增加，算術平均值趨近于總體平均值（無限多次的平均值），并不一定使所有的隨機誤差減小，有的可能還增大，當測量次數n為無窮大時，殘差=隨機誤差，此時得到的標準偏差為一常數s，在測量次數由小變大時，計算得到的標準偏差會比s時大時小，但當測量次數n趨向于無窮大時，標準偏差趨向于穩健的s。

“測量次數n能否減少要視具體情況而定，若重復性所引入的不確定度分量在測量結果的不確定度評定中不是主要分量，可以適當減少測量次數，但不希望少于6次。”這一點是對的，當是主要分量時，之所以要有更多的測量次數，只是為了獲得一個可靠的標準偏差，即其自由度要足夠大。不是主要分量時，我們測量再多也沒有意義。

回復 5# 劉彥剛

　　“無限多次測量的平均值（數學期望）與真值之差才是系統誤差。并不是有限的幾次測量的平均值與真值之差就是系統誤差”，你說的非常對。但在現實測量活動中，“無限多次”測量無法完成，只能進行有限次測量。因此常把測量次數10次以上的平均值當成無限次測量測量的平均值，多次測量的平均值（數學期望）與真值之差視為系統誤差。
　　根據“系統誤差是在重復測量中保持不變或可預見方式變化的測量誤差的分量”定義，“在重復測量中以可預見方式變化的測量誤差的分量”也是系統誤差。那么，試想重復測量10次和100次各自得到的平均值哪個更趨近于真值呢？平均值分別與真值相減得到各自的系統誤差，哪一個更小是不是可以預見呢？所以說，測量次數的多少不僅僅決定了隨機誤差的大小，同時，它雖然并不能決定系統誤差的大小，但卻在某種程度上影響著系統誤差大小。

回復  劉彥剛


先看一下JJF1001-2011對“實驗標準偏差”的定義：對同一被測量進行n次測量，表征測量結果 ...
都成 發表于 2014-2-7 21:07

    謝謝你正確、精準的點評！是哦！該段敘述真的不應該！

回復  劉彥剛

　　“無限多次測量的平均值（數學期望）與真值之差才是系統誤差。并不是有限的幾次測量的 ...
規矩灣錦苑 發表于 2014-2-7 21:33

    版主說的這個有道理，我上面所說的并不是測量的系統誤差，而是得到的實驗標準偏差的系統誤差，不管用什么數學方法計算實驗標準偏差（比如貝塞爾法、極差法或其他方法）都會存在固有的偏離。就拿貝塞爾公式是為例，n取10和100得到的結果自然不同，也就是說選用不同的方法導致的對實驗標準偏差的認知程度自然不同，這就是每種方法自己對于實驗標準偏差的系統誤差。其實在這里用系統誤差這個詞不是太合適，容易引起混淆，換個說法也許更好。

“實驗標準偏差的系統誤差”好像沒見過這個術語，這里用系統誤差這個詞是不太合適。
      隨著測量次數的增加，同樣按貝塞爾公式計算實驗標準偏差，標準偏差的差異（您叫偏離）是有規律可循，就是在8#中所提到的：“在測量次數由小變大時，計算得到的標準偏差會比穩健的s時大時小，但當測量次數n趨向于無窮大時，標準偏差趨向于穩健的s。”可以這樣來理解這句話，例如測了5次得標準偏差s5；再測一次，由于隨機誤差的存在，這第六次測量結果x6就會處在平均值上下一個較大的范圍內，因此再加上這一次數據算得的6次的標準偏差s6，s6與s5的關系就沒有s6一定小于s5，也有可能大于；但是當測量次數n趨向于無窮大時，標準偏差趨向于穩健的s這是肯定的。
      測量次數的選取不是機械的而是有理論依據的，檢定規程或校準規范中規定的對某點的測量次數也如此。進行重復測量主要有兩個目的，一是方法或實際需要取平均值作為測量結果，定性的說這是利用了隨機誤差的抵償性，可以減小隨機誤差對測量結果的影響，定量地說平均值的標準偏差是單次測量的標準偏差的根號n分之一，當n趨向于無窮大時，平均值的標準偏差趨向于0，此時算得的系統誤差就是定義的系統誤差。二是為了進行不確定度的A類評定，在8#中也提到：當是主要分量時，之所以要有更多的測量次數（此時并不是為了取平均值，如果是為了取平均值則遵循第一個目的），只是為了獲得一個可靠的標準偏差，即其自由度足夠大。不是主要分量時，都到了可忽略不計的地步，我們測量次數再多也沒有意義。

　　在JJF1001-2011的名詞術語中，應該說重復測量實驗后，所得平均值與被測量真值之差就是“測量偏移”，測量偏倚的定義就是“系統誤差的估計值”，主要是測量設備的系統誤差所造成，因此可視為系統誤差。隨機誤差的定義是“重復性測量中按不可預見方式變化的測量誤差的分量”，得到的標準偏差就是“隨機誤差”的變動范圍半寬，可視為隨機誤差的最大值。
　　“當n趨向于無窮大時，平均值的標準偏差趨向于0”說明了測量次數多寡的確決定著隨機誤差的的大小，隨著n逐漸趨近于無窮大，隨機誤差的抵償性作用將得到充分發揮，以至于隨機誤差趨近于零。“當n趨向于無窮大時，平均值的標準偏差趨向于0，此時算得的系統誤差就是定義的系統誤差”，是因為平均值與被測量真值之差將越來越穩定，最終穩定在距離真值一個固定的偏移量，系統誤差也就最后可以確定，這段話正是說明了在這之前系統誤差同樣會因為測量次數的不同而有不同程度的變化。
　　至于12樓所說的進行重復測量主要兩個目的，我非常贊成。JJF1059.1-2012的4.3.2.3條也明確指出了“一般在測量次數減少時，可采用極差法獲得”實驗標準差，雖然沒有明確減少是什么程度，但從表１給出的數據看最大次數為9，因此應該理解為9次及以下極差法較適宜，10次及以上應該是貝塞爾法更適宜。一些標準和行業則規定了使用貝塞爾法的測量次數不得少于6次。所以樓主引用的文章說“測量次數n能否減少要視具體情況而定，若重復性所引入的不確定度分量在測量結果的不確定度評定中不是主要分量，可以適當減少測量次數，但不希望少于6次”是有道理的。

“并且當測量次數越少時，其系統誤差越大”單看這句話確實有點不妥，但是結合全文看也沒有什么不對，規版主在9樓的討論比較容易理解“測量次數的多少不僅僅決定了隨機誤差的大小，同時，它雖然并不能決定系統誤差的大小，但卻在某種程度上影響著系統誤差大小。”。

考慮問題，概念是重要的，但要具體化，有時動手寫一寫，就明白了。

貝塞爾公式用以計算的單元是“殘差”，它等于測得值減平均值。不管測量次數N取幾（當然要大于等于2），殘差都與真值、系統誤差沒有關系，因此，貝塞爾公式與系統誤差無關。

設被測量真值為Z，系統誤差為D，隨機誤差為x(i)，測得值為M(i)，平均值為M(平)。

測得值為：

             M(1)=Z+D+x(1)

             M(2)=Z+D+x(2)

              ……

             M(N)=Z+D+x(N)

平均值為

             M(平)= (1/N)[NZ+ND +∑x(i) ]

                       =Z+D+(1/N)∑x(i)

殘差為：

             ν(1)=M(1)-M(平)=x(1)- (1/N)∑x(i)

             ν(2)=M(2)-M(平)=x(2)- (1/N)∑x(i)

             ……

             ν(N)=M(N)-M(平)=x(N)- (1/N)∑x(i)

貝塞爾公式中用的殘差，不包含系統誤差。因此，貝塞爾公式是隨機誤差的公式，與系統誤差沒有關系。測量次數N大與小，是統計本身的完全性與穩定性問題，與系統誤差無關。統計理論建立在N值很大的條件下。通常N應大于10。頻率測量N取100。測量次數少，只能出現在如下情況：

1 粗放測量，要求低。
       2 測得值很穩定，變化量小于等于分辨力。

3 隨機誤差遠遠小于系統誤差

以上測量，測量三次即可。多次測量是走形式，沒有意義。

4 極難或代價極高的測量，例如核彈爆炸參數的測量。數據極少，N無法大。

-

注意，對一般精密測量，對計量，除2、3兩種情況外，都要進行多次測量。N應大于10。我認為，計量工作要認真按貝塞爾公式計算，而極差法，不可靠。我認為，在計算機普及的當代，再提極差法，是誤導。

測量100個數，分成10段，按貝塞爾公式計算，每段西格瑪大體穩定。

測量100個數，分成10段，按極差法找出每段西格瑪，差異大。

測量50個數，分成10段，每段5個數，按極差法找出每段的西格瑪，差異很大。

-

接 15# 史錦順 文

       把貝塞爾公式與系統誤差聯系起來，是不對的，因為貝塞爾公式與系統誤差無關。
       但文章作者對不確定度評定的質疑，我認為大方向是對的，上次的基本論點也是對的。現在還有許多人認識不到不確定度評定的錯誤，甚至對一切有關不確定度理論與評定的質疑都反對，這不是事實求是的態度。我們討論問題，講究的是“是與非”，追求的是真理，不可迷信書本。要尊重敢于提出不同看法的質疑者。具體的錯誤要批評，但要看到他們的求實精神。
      我近期將發表一篇文章，說“不確定度計量評定基本公式錯誤”，包括重復性測量在內，都弄錯了。請大家批評。

13#提到：“隨機誤差的定義是“重復性測量中按不可預見方式變化的測量誤差的分量”，得到的標準偏差就是“隨機誤差”的變動范圍半寬，可視為隨機誤差的最大值。”定義沒錯，后半部分認為不妥，對于服從正態分布的隨機誤差（多數是這樣），其標準偏差是對應概率為68.27%區間的半寬，3倍標準偏差是對應概率為99.73%區間的半寬。
      13#還提到：“當n趨向于無窮大時，平均值的標準偏差趨向于0”說明了測量次數的多寡確決定著隨機誤差的大小，隨著n逐漸趨近于無窮大，隨機誤差的抵償性作用將得到充分發揮，以至于隨機誤差趨近于零。” “當n趨向于無窮大時，平均值的標準偏差趨向于0”這沒錯。“說明了測量次數的多寡確決定著隨機誤差的大小”這就不妥了，根據JJF1001-1998和-2011對隨機誤差的定義，其大小與測量次數無關，就像它的名字，下一次測量結果其隨機誤差的大小和符號都是隨機的，因此談不上測量次數的多寡確決定著隨機誤差的大小。“隨著n逐漸趨近于無窮大，隨機誤差的抵償性作用將得到充分發揮，以至于隨機誤差趨近于零。”抵償性作用將得到充分發揮沒錯，但是，以至于隨機誤差趨近于零的說法不妥，正如前邊所說，測量次數不能左右隨機誤差的大小，改變的是平均值的標準偏差，使其趨于零。

回復 15# 史錦順

　　“殘差都與真值沒有關系”這是對的，但重復測量的平均值會隨著測量次數的增加越趨于穩定，作為測量結果的平均值與真值的差就越趨于恒定的“測量偏移”。測量偏移的定義就是“系統誤差的估計值”，因此，人們可以否定殘差與真值之間的聯系，卻不能否定重復測量次數的多寡與系統誤差千絲萬縷的聯系。
　　“對一般精密測量”應盡量“進行多次測量”，應盡量“認真按貝塞爾公式計算”，這都是正確的，但前提條件是重復測量次數應該不少于10，特別是不能少于6。由于種種客觀條件的限制而無法實現6次以上測量時，“按貝塞爾公式計算”將會嚴重失真，此時必須使用“極差法”，因此不能夠說“在計算機普及的當代，再提極差法，是誤導”。極差法和貝塞爾法各有各的用武之地。

回復 17# 都成

　　既然咱們共同認為“當n趨向于無窮大時，平均值的標準偏差趨向于0，說明了測量次數的多寡確決定著隨機誤差的大小，隨著n逐漸趨近于無窮大，以至于隨機誤差趨近于零”，說明了隨機誤差會隨著測量次數的增加逐漸減小并趨于0，那么不正是“說明了測量次數的多寡確決定著隨機誤差的大小”嗎？“測量次數改變的是平均值的標準偏差，使其趨于零”，那么“標準偏差”是什么呢？它不正是“隨機誤差”的變動范圍半寬嗎？標準偏差，即隨機誤差的變動范圍隨測量次數的增加逐漸趨于0，正是說明了測量次數多寡決定著隨機誤差的大小。
　　因此，我們還可以得到這樣的推論：隨著重復測量次數趨近于無窮大，隨機誤差將逐漸被自己的抵償性抵消而趨于0，重復測量所得到的平均值與被測量真值之差也將趨于恒定，即“測量偏移”也將趨于恒定。這個在隨機誤差趨于0后剩下的恒定的測量偏移其實絕大部分就是來自于所用測量設備的系統誤差。

“實驗標準偏差的系統誤差”好像沒見過這個術語，這里用系統誤差這個詞是不太合適。
      隨著測量次數的 ...
都成 發表于 2014-2-8 17:45

    真的是高水平的闡述！讓我長知識了！

      從19#的論述來看，我在17#對13#所持觀點的質疑和觀點是白說了一頓，我仍然堅持在17#所持觀點。

      請史老也來就此問題發表高見，也請樓主發表一下觀點，別光觀看，只來點定性表揚，您也是有水平的。

回復 21# 都成

　　呵呵，我認為，其實你17樓的觀點并不全錯。
　　關于第一段的描述，你說“對于服從正態分布的隨機誤差，其標準偏差是對應概率為68.27%區間的半寬，3倍標準偏差是對應概率為99.73%區間的半寬”我完全認可，可是進一步思考一下，這是不是可以說標準偏差是限制隨機誤差變動范圍的半寬？是不是標準偏差決定了隨機誤差的最大值？
　　關于第二段的描述，你也認為“當n趨向于無窮大時，平均值的標準偏差趨向于0”，“隨機誤差的抵償性作用將得到充分發揮，以至于隨機誤差趨近于零”，都沒錯，那么這也就“說明了測量次數的多寡確決定著隨機誤差的大小”怎么會就不妥了呢？當n趨向于無窮大時，實驗標準偏差趨于恒定，隨機誤差趨近于零，這說明測量次數、實驗標準偏差、隨機誤差三者之間存在著什么關系呢？

從19#的論述來看，我在17#對13#所持觀點的質疑和觀點是白說了一頓，我仍然堅持在17#所持觀點。

     ...
都成 發表于 2014-2-9 21:12

    因為對于我來說，你的論述就足已使我確認了該文該段敘述的確存在問題。本想給該文作者說說我們的想法，但可惜沒法聯系上該位老師。人非圣賢，誰能無過。

原文：     測量次數n應盡可能大，一般應不少于10次。其主要原因是用貝塞爾公式得到的實驗標準偏差除隨機誤差以外還存在系統誤差，并且當測量次數越少時，其系統誤差越大，這就是為什么使用貝塞爾公式時要求測量次數足夠大的原因。無疑，測量次數增加時其隨機誤差也會減小，但這并不是要求較大n的主要原因。測量次數n能否減少要視具體情況而定，若重復性所引入的不確定度分量在測量結果的不確定度評定中不是主要分量，可以適當減少測量次數，但不希望少于6次。


修改后：
    測量次數n應盡可能大，一般應不少于10次。其主要原因是測量次數不足時，t分步的樣本（假設隨機誤差服從正態分布 ）不能滿足近似正態分布的要求，無法給出默認概率。當然，若能夠判定重復性所引入的不確定度分量在測量結果的不確定度評定中不是主要分量，可以適當減少測量次數。