誤差的誤差的計算-評UA評定(15)

                                                  誤差的誤差的計算-評UA評定(15)

                                                                                                         史錦順

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本段講誤差理論的一項新發展——誤差方程。

不確定度論攻擊誤差理論是定性的（說誤差理論是理想的，意思是不能定量計算），那是誣陷。本段講誤差理論意義下的用以定量計算的誤差方程，以駁斥不確定度論的謬說。

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誤差方程，是說明量值傳遞與量值溯源的關系式。《新概念測量計量學》提出了誤差方程的概念。摘要介紹如下。

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測量講究準確，準確是測量的精髓。計量以標準的準確，保證測量儀器的準確，準確是計量的命脈。

量是物質、物體、現象的可定量區分并可定量確定的屬性。物理量的量值是客觀存在。真值是量的客觀值、實際值、準確值。

準確性用誤差來衡量。誤差是測得值與真值的差距。誤差一詞有雙重含義：誤差元與誤差范圍。誤差元定義為測得值減真值，是可正可負的量。誤差范圍是誤差元絕對值的最大可能值，又稱最大允許誤差。由于隨機誤差的存在以及系統誤差的某些隨機性，誤差范圍是個統計量。誤差范圍是非負的值。在人們的習慣用語中，誤差范圍又簡稱為誤差。誤差元的概念，只在誤差理論一開始時用；而在誤差理論主要表達中，特別是在實際應用中，所稱的誤差，都是指誤差范圍。

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   誤差范圍的概念，實際應用中又區分為幾種。

A 誤差范圍。以真值為參考標準的誤差元絕對值的最大可能值，有人稱其為真誤差范圍，本文簡稱為誤差范圍，測量儀器的誤差范圍記為R，N級計量標準的誤差范圍記為R(N)。

測量儀器與計量標準的誤差范圍，又稱最大允許誤差，是測量儀器與計量標準的標志性指標，是由技術規范標明的。測量儀器的誤差范圍，由儀器說明書規定，由計量部門的檢定證書確認。測量儀器的使用者，要知道說明書的規定，要驗明檢定證書或檢定標志。

B 誤差范圍目標值。以上級計量標準為參考標準的誤差范圍稱誤差范圍的實驗值。誤差范圍的實驗值的標稱值，稱誤差范圍的目標值，記為R(T)。按誤差方程算得。

C 誤差范圍實測值。以上級計量標準為參考標準，實測得到的誤差范圍（誤差元的最大可能值），稱誤差范圍的實測值,記為R(M)。

例如，我國砝碼檢定規程（與國際標準等同），對2kg的M2等砝碼，規定誤差范圍是300mg[R(M2)],規程又規定其誤差范圍目標值是200mg[R(T,M2)。實際測量時以M1等砝碼為參考標準，要求實測的誤差范圍[多次測量的誤差元的最大可能值,R(M)]即誤差范圍實測值,必須小于或等于誤差范圍的目標值（200mg，請注意，不是砝碼指標標定的300mg）,才能判為合格。本文揭示上述A、B、C三種誤差范圍的理論關系。

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接 1# 史錦順 文

1 誤差方程的基本形式

1.1 測量儀器

M表示測得值，Z表示被測量的真值。Z(N).表示N級標準的真值，M(N)為N級標準儀器的測得值。B為標準的標稱值。r表示誤差元，R表誤差范圍。

           r = M - Z

          R =｜M - Z｜(最大值)                                                                                    （1）

先把絕對值式(1)解開，變成兩個式子，再取其中的大者。

檢驗測量儀器的誤差，要用該測量儀器去測量N級計量標準。測得值是M；N級標準的真值是Z(N)。

當M > Z(N)時，絕對值式（1）的解是

           R = M(最大) – Z(N)

           R = M(最大) –B(N) + B(N) – Z(N)

           R = R(實驗A) + R(N)

當 M < Z(N)時，絕對值式（1）的解是

           R = Z(N) – M(最小)

對此式右邊加減標準的標稱值

           R = B(N) - M(最小) + Z(N) – B(N)

           R = R(實驗B) + R(N)

得到的R(實驗A) 與R(實驗B)二者中的大者作為 R(實驗)，則有

           R = R(實驗)＋R(N)　                                                                     （2）

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接 2# 史錦順  文
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1.2 計量標準

Z(N).表示N級標準的真值，B(N)為N級標準的標稱值。要確定N級標準器的誤差，要用上一級標準即N-1級標準器構成一臺N-1級標準測量儀器。N-1級標準測量儀器由N-1級標準器加比較儀器構成。要求比較儀器引入誤差可略，于是N-1級標準測量儀器與N-1級標準器誤差相同。用N-1級標準測量儀器測量N級標準器，得M(N-1)。

      r (N)= B(N) – Z(N)

            R(N) =｜B(N) – Z(N)｜(最大值)                                                                 （3）

先把絕對值式(3)解開，變成兩個式子，再取其中的大者。

當B(N) > Z(N)時

      R(N) = B(N)  – Z(N)

      R(N)= B(N)  –M(N-1)+ M(N-1) - Z(N)

            R(N) = R(N,實驗A) + R(N-1)

當B(N) < Z(N)時

            R(N) = Z(N) –B(N)

      R(N) = M(N-1) - B(N) + Z(N) –M(N-1)

            R(N) = R(N,實驗B) + R(N-1)

取R(N,實驗A) ,R(N,實驗B)之大者為R(N,實驗)

則有

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             R(N) = R(N,實驗) + R(N-1)                                                                                 (4)

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       (2)、(4)式是誤差方程的基本形式。

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回復 3# 史錦順 文

2 量傳誤差方程

    量值傳遞是計量的基本工作方式。將基準的量值，在保證特定誤差范圍的條件下，逐級傳遞給計量標準，直至測量儀器。測量儀器分級，表現不同的技術水平，如電表的分級。計量標準的等級概念，等一般表示地位從屬關系，上一等標準是下一等標準的計量參考標準。級則僅表明準確性水平的高低。

    計量標準以誤差范圍R(N)（以真值為參考標準）來表征。

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       標準序號    0（基準）    1等        2等        3等  ……       N-1等         N等

       誤差范圍    R(0)                    R(1)              R(2)                R(3)                      R(N-1)                 R(N)

       誤差范圍        R(0)                    KR(0)           K^2R(0)         K^3 R(0)              K^(N-1)R(0)        K^(N)R(0)

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R(0)是基準的誤差范圍，不是靠上一等標準來測量，而有專門的測量與評定方法。

R(i)表第i等標準的以真值為參考標準的誤差范圍。又簡稱真誤差。

K是量值傳遞因子，誤差范圍之比，下一等比上一等。K=1/q 。

R(實驗測)是以上一等標準的標稱值為參考標準的誤差范圍的實測值。記為R(M).

R(實驗標)是以上一等標準的標稱值為參考標準的誤差范圍的標稱值。又稱實驗要求值，或目標值，由計算得出。記為R(T)。R(T)是R(M)的允許的最大可能值。

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下面求由誤差范圍計算誤差范圍目標值R(T)的公式。

當q不是等值時，q(1/2)表示誤差范圍1級比2級。由（4）式 ，誤差范圍實驗值的標稱值（目標值）第i等，(i為1到N)

      R(T,i) = R(i,實驗標)= R(i)- R(i-1)

用q[(i-1)/i]表示i-1等誤差范圍與i等誤差范圍之比，則有

       R(T,i) = R(i)（1- R(i-1)/R(i)）

      R(T,i) R(i){1-q[(i-1)/i]}                                    (5)

當各等之間的q值相同或大體相同時，

       R(T,i) = R(i)[1-q]                                           (6)

(5)式、（6)式為量傳誤差方程。

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命題：檢定的判別標準

誤差范圍的以上一等的標準為參考標準的實測值記為R(M,i)。

當

      R(M,i)≤ R(T,i)                                               (7)

時，判為合格；否則不合格。

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回復 4# 史錦順

3 溯源誤差方程

3.1 測量儀器溯源誤差方程

M表示測得值，Z表示真值。Z(N).表示N級標準的真值，M(N)為N級標準儀器的測得值。B(N)為N級標準的標稱值。r表示誤差元，R表誤差范圍。

（1）檢驗測量儀器誤差，要用N級標準測量儀器或N級標準器。

A 用被檢測量儀器和N級標準測量儀器同測一量（其真值為Z），被檢測量儀器測得值為M，N級標準測量儀器測得值為M(N)。

            M – Z = M – M(N) + M(N) – Z

            R = R(實驗) + R(N)                                                                                   （2）

B 用被檢測量儀器測量N級標準器，其標稱值B(N)、真值Z(N)

           M – Z(N)= M – B(N) + B(N) – Z(N)

           R = R(實驗) + R(N)                                                                                     （2）

（2）檢驗N級標準測量儀器的誤差或檢驗N級標準器的誤差，要用N-1級標準測量儀器或N-1級標準器。

A 測同一量，N級標準測量儀器測得值為M(N)，N-1級測量儀器測得值為M(N-1)

M(N) – Z = M(N) – M(N-1) + M(N-1) – Z

           R = R(N實驗) + R(N-1)                                                                                （4）

B 用N級標準測量儀器測量N-1級標準器，其標稱值B(N-1)、真值Z(N-1)

           M(N) – Z(N-1) = M(N) – B(N-1) + B(N-1) – Z(N-1)

           R(N) = R(N實驗) + R(N-1)                                                                            （4）

C 測量N級標準器的誤差，要用N-1級標準測量儀器來測它

           B(N) – Z(N) = B(N) – M(N-1) + M(N-1) – Z(N)

           R(N) = R(N實驗) + R(N-1)                                                                             （4）

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接 5# 史錦順 文

（3）同理可知

              R(N-1) = R(N-1實驗) + R(N-2)

              R(N-2) = R(N-2實驗) + R(N-3)

         ……

              R(2) = R(2實驗) + R(1);
                     R(1) = R(1實驗) + R(0)

R0是基準誤差，由基準給出。

以上各式逐一寫出，并用后式代替前式的最后一項，有

             R = R(實驗) + R(N)

             R = R(實驗) + R(N實驗) + R(N-1)

             R = R(實驗) + R(N實驗) + R(N-1實驗) + R(N-2)

             R = R(實驗) + R(N實驗) + R(N-1實驗) + R(N-2實驗) + R(N-3)

以下再代換掉R(N-3)……，最后成為

             R = R(實驗) + R(N實驗) + R(N-1實驗) + R(N-2實驗) + ……

                   + R(2實驗) + R(1實驗) + R(0,實驗)

量值傳遞關系決定的級間誤差范圍之比值（上一級比下一級）為系數q，將以上各級誤差實驗值表為R(N實驗)的倍數（^表乘方，*表相乘）

             R = R(實驗) + R(N實驗) + qR(N實驗) +q^2 *R(N實驗) +……

                   + q^(N-2)*R(N實驗) + q^(N-1)*R(N實驗) +q^N *R(N實驗)

第2項以后把公因子R(N實驗)提出，成為首項為1，比值為q的N+1項的等比級數，

             R = R(實驗) + R(N實驗) [ 1+ q + q^2 +……

                   + q^(N-2) + q^(N-1) +q^N ]                                               （8）

等比級數求和，略去q的高階項q^(N+1)。

結果為
                    R = R(實驗) + R(N實驗)/(1-q)                                                     （9）

3.2 計量標準溯源誤差方程

對N等計量標準(包括已納入計量系列的測量儀器)，(8)式改寫為：

            R(N)= R(N實驗) [ 1+ q + q^2 +……+ q^(N-2) + q^(N-1) +q^N ]

解得

            R(N) = R(N實驗)/(1-q)                                                                     (10)

接 6# 史錦順  文

4 經典計量學的作法

計量講究溯源性。誤差方程是關于溯源性的計算。

計量單位的值，古代各國家、各地區不同。近代世界大發展、大交流，于是有了國際單位制。國際單位制，采用十進制，單位體系簡約、科學，現代為世界各國普遍采用。我國采用國際單位制。

計量單位的定義由國際計量大會決定。

復現單位量值的設施稱基準。我國的國家基準在中國計量科學研究院。基準校準一等標準，一等標準校準二等標準，依次類推，由N等標準校準或檢定測量儀器，這就是計量的量值傳遞系統，由上而下的量值流程稱量值傳遞；而測量儀器每年要向上級計量部門送檢，用N等計量標準確定儀器是否合格（是否符合誤差范圍指標），N等計量標準每年要用N-1等計量標準檢定，依此類推直至基準。這個由下到上的尋求量值準確性的過程稱為計量的溯源性。同一種量的測量儀器全國千千萬，但量值的準確性歸根結底都來自基準。

測量儀器的誤差范圍由N級標準來判斷，N級計量標準又由上級計量標準來確定，這是可行的，也是正確的方法。但由此產生的誤差（即誤差的誤差）是多少，這個問題可由誤差方程處理。

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5 誤差方程計算

1 公式因子計算

              q            1/3             1/4             1/5              1/6                1/8                1/10

          1/(1-q)       1.50           1.33           1.25            1.20              1.14               1.11

2 誤差范圍實驗值該擴大的百分比(K=1/q，是下一級對上一級誤差范圍之比)

             q             1/3              1/4             1/5              1/6                1/8                1/10

             K             3                  4                5                 6                   8                   10

     擴大百分比  50%             33%          25%            20%              14%              11%

3誤差范圍實驗值代替誤差范圍產生的相對偏差

             [R(實驗) – R] / R =R(實驗) / R – 1 = - q

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6 誤差方程的意義

推導中每步都用真值，但結果中不包含真值，實現了用標準值對真值的代換

誤差方程完成的是上級標準值的功效到真值功效的過渡。

誤差方程實現了從誤差實驗值到誤差（即真誤差）的計算。

指出：目前我國某些計量領域中，q取1/3，偏大；應取1/4。

有了誤差方程，可以解除對誤差理論的疑慮了。誤差方程將在計量、定標各種場合廣泛發揮作用。

誤差方程出世了，誤差范圍（真誤差的范圍）可以計算了；所謂“真值未知，誤差不可求”的佯謬破解了。

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（本段完）