夸張分辨力-評UA評定（11)

                          夸張分辨力-評UA評定（11)

                                                                              史錦順

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不確定度評定中有一項，就是關于分辨力的評定。幾乎每個評定都有此項。對分辨力的計算，GUM錯算（《測量不確定度》p80），他人便跟著抄，于是千篇一律，全都錯了，把分辨能力夸大到2倍，即把分辨力的數值錯誤地除以2。

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（一）分辨力的意義

分辨力是測量儀器的性能要素之一。現有的測量學理論，對分辨力關注甚少，以致在應用中常被誤解。值得引起重視。

分辨力是測量能力的閾值。閾值就是門限、門檻，是測量儀器幾項性能的限度。

1 量程最小值的限度。

2 分散性的最小限度。隨機誤差、復現性的最小限度。

3 不準確性的最小限度。誤差元與誤差范圍的最小限度。

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（二）誤差理論對分辨力的處理

誤差理論講到分辨力時，通常認為：若分辨力是D, 則分辨力產生的誤差元的絕對值的最大值是D，也可表示為誤差區間為[-D,+D]。也就是說是誤差區間的半寬是D。

計數式頻率計，分辨力為尾數的一個字，引進誤差為加減一個字，并且有專有名稱，叫“正負1誤差”。例如0.1秒采樣（閘門時間0.1秒），計數器尾數一個字代表10赫，因而分辨力引入的測量誤差范圍是±10赫。

以上誤差理論對分辨力的認識，載于各種書籍，特別是載于各種計數式頻率計的說明書。

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（三）不確定度論對分辨力的處理

不確定度論對分辨力處理的規范作法是：設分辨力是D，其半寬為D/2，均勻分布，除以根號3，得標準不確定度為0.29D。反過來，計算擴展不確定度，乘以2得0.58D，以此為包含區間半寬。這種計算的結果，比本來值小42%.

不確定度論的這個對分辨力認識，載于GUM等眾多文獻，是錯誤的。

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（四）分辨力計算詳解

設分辨力是D，誤差論認為此項誤差區間是[-D,D] ，誤差區間的寬度是2D，半寬度是D。

不確定度論認為：分辨力是D，不確定度區間半寬度是D/2

兩種理論對分辨力的處理，差別甚大，是兩倍關系。

本文論證：誤差論對分辨力的認識是正確的；不確定度論對分辨力的認識是錯誤的。

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（接下頁）

回復 1# 史錦順

例1 電子案秤的分辨力

實驗  取一臺電子案秤。最低位為1克，即分辨力是1克。

我們來做分辨力實驗。 用案秤測量一個10克的砝碼，顯示為10克。加標稱值為100毫克的小砝碼（以下加減小砝碼，都指100毫克砝碼），加一個到3個小砝碼，顯示都是10克；加4個小砝碼，顯示為11克，加5個到13個小砝碼顯示都是11克；加14個小砝碼時顯示為12克，加15個到23個小砝碼，顯示都是為13克。可見電子案秤的分辨力是10個100毫克的小砝碼，即1克。

我們看，在10克砝碼的基礎上加4個小砝碼（物重10.4克）時，顯示為11克。再加9個砝碼，顯示仍為11克，就是說，在測量10.4克時，加9個小砝碼，仍分辨不出。

我們從另一個觀察起點看，在10克砝碼的基礎上加13個小砝碼時（物重11.3克）時，顯示為11克，減去9個砝碼，顯示仍為11克，減去9個小砝碼仍分辨不出。

分辨不出的情況，小砝碼增減的最大可能是加減9個小砝碼，因此其范圍是加減0.9克。下表單位是1克。

        重物          顯示           重物可能值            砝碼重量變化范圍(偏差可能范圍)

                10.4            11             10.4——11.3                   0——0.9

                10.5            11             10.4——11.3               -0.1——0.8

                10.6            11             10.4——11.3               -0.2——0.7

                10.7            11             10.4——11.3               -0.3——0.6

                10.8            11             10.4——11.3               -0.4——0.5

                10.9            11             10.4——11.3               -0.5——0.4

                11.0            11             10.4——11.3               -0.6——0.3

                11.1            11             10.4——11.3               -0.7——0.2

                11.2            11             10.4——11.3               -0.8——0.1

                11.3            11             10.4——11.3               -0.9——0

               

接 2# 史錦順 文

此實驗可以更細，增減的砝碼小到10毫克或1毫克，于是相應的范圍成為加減0.99克或加減0.999克。

因此，變化范圍應為[-1克,+1克]。

由上，分辨力是1克的電子秤，分辨范圍是加減1克。

結論：分辨力是1，則按范圍寫出是正負1。因此除以2是不對的。

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我們再從示值誤差的角度來討論。

示值是以克為單位的整數。而被測物的重量是有各種可能的數。整數的轉換點不同，則示值誤差不同。

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          轉換點內區間        被測物重          示值        示值最大誤差元

          10.01     10.99             10.01               11                   0.99

          10.1       11.0               10.1                 11                   0.9

          10.2       11.1               10.2                 11                   0.8

          10.3       11.2               10.3                 11                   0.7

          10.4       11.3               10.4                 11                   0.6

          10.5       11.4               10.5                 11                   0.5

          10.6       11.5               11.5                 11                    -0.5

          10.7       11.6               11.6                 11                    -0.6

          10.8       11.7               11.7                 11                    -0.7

          10.9       11.8               11.8                 11                    -0.8

          10.91     11.9               11.9                 11                    -0.9

          10.99     11.98             11.98               11                    -0.98

         10.999    11.998           11.998             11                    -0.998

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    由上，知電子案秤的分辨力形成誤差區間是[-1g,+1g]，即±1g，區間半寬是1克。

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（接下頁）

接 3# 史錦順 文

例2   計數式頻率計的分辨力

取一臺數字式頻率計。其原理是在標準的閘門時間內數被測頻率的脈沖數。

被測頻率1.1赫，即周期0.9秒，在1秒的閘門時間中，可能出現兩個脈沖，測得值2赫，誤差為0.9赫。若被測頻率是0.9赫，即周期為1.1秒，一個采樣時段中，可能一個脈沖都不出現，測得值0赫，誤差為負0.9赫。

若被測頻率是1.01赫，測得值可能為2赫，誤差最大可能是0.99赫；被測頻率是0.99赫，測得值可能為0赫，誤差的極端值是負0.99赫。因而，當采樣時間為1秒時，計數器一個字的分辨力的區間是[-1Hz；+1Hz],區間的半寬是1赫。

樣板評定實例（《測量不確定度評定與表示指南》P92）：頻率計 0.1秒采樣。即閘門時間為0.1秒。計數器每記得一個數，代表10赫。由此，區間半寬是10 赫。樣板評定以10赫除以2，得5赫做為區間半寬，這是不對的。

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結論     測量儀器的分辨力是D，誤差區間是[-D,+D]，包含區間的寬度2D，區間半寬度是D。數字式儀表的分辨力D是最低位的一個字，誤差區間是[-1,+1]，區間的半寬是一個字所代表的量。

對分辨力的認識，誤差理論是正確的；不確定度論是錯誤的。

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的確是誤差理論對分辨力的描述更切合實際，史工果然有料。

回復 2# 史錦順


以前看過前輩寫的關于分辨力的帖子，這個帖子的例子好像是在那個帖子里粘貼過來的。看完以后還是不太理解，分辨力為D，誤差范圍是[-D，D]，我怎么感覺還是不對呢。前輩舉的用砝碼測電子天平的例子，10.4g顯示是11g，11.3g顯示也是11g。對10.4g而言，誤差范圍是0.9g，對11.3g而言，誤差范圍是-0.9g，但這是對兩個點而言，因此認為誤差范圍是[-0.9g,0.9g]，我認為是不妥的。我認為分辨力的誤差范圍應該是對于被測儀器某一個顯示值而言的。例如對于電子天平顯示的11g來說，其被測物實際質量在（10.3g，11.3g）之間，小于10.3g顯示10g，大于11.3g顯示12g。誤差范圍應該是1g，即1個分辨力，半寬為分辨力的一半。

回復 6# 長度室

　　你說得對，我認為主要是術語含義還有點問題，需要搞清楚，呵呵。測量設備經常使用“分辨力”和“分度值”這兩個術語，這是兩個完全不同的術語。對測量設備的顯示裝置而言JJF1001-2011給它們的定義分別是：
　　分度值：對應兩相鄰標尺標記的兩個值之差。
　　分辨力：引起相應示值不可檢測到變化的被測量的最大變化。
　　第一，顯然分度值是針對模擬式測量設備而定義的，數字式測量設備沒有“標尺”，因此也就沒有分度值。例如卡尺分度值0.02mm，千分尺分度值0.01mm，而數顯千分尺和數顯卡尺則沒有分度值，只有分辨力。分辨力可以應用于模擬式測量設備和數字式測量設備，應用于所有的測量設備。
　　第二，分度值與測量設備的誤差的確存在著一定的關系，若分度值是D，史老師說的分辨力（其實是分度值）產生的誤差區間可以表示為[-D,+D]，也就是說是誤差區間的半寬可能是D。但，這也不是絕對的。例如分度值為0.02mm的小規格卡尺產生的誤差最大是±0.02mm，等于分度值。但分度值0.01mm的小規格千分尺產生的誤差最大缺并不是±0.01mm，而是±0.004mm，小于分度值的大小。而分度值0.001mm的0～1mm的千分表產生的誤差最大也不是0.001mm，而是0.005mm，大于分度值的大小。
　　第三，數字式測量設備的分辨力（也設為D）也會產生測量設備的誤差。產生誤差的大小是±(D/2)，而不是±D。分辨力是1克的電子秤，分辨范圍并不是±1g，而是±0.5g。當被測量的變化值＜0.5g時，電子秤不會有反映，當被測量的變化值達到或超過0.5g時，電子秤就會變化一個字（變化量＜-0.5g時減一個字，變化量≥+0.5g時加一個字）。
　　第四，模擬式測量設備的分辨力與其放大和讀數原理有關，且與測量者的視力和經驗有關。分度值0.01mm的千分尺，不同的測量者分辨力不同，最優秀的測量者的分辨力也只能達到D/10，即0.001mm。而分度值0.02mm的游標卡尺，無論測量者如何優秀也不可能分辨出分度值0.02mm的1/10（即分辨力0.002mm），甚至連1/3也做不到。
　　由以上所述，我們可以看出對于數字式測量設備而言，分辨力帶來的測量誤差只能是±(D/2)而不是±D。分辨力給測量結果引入的標準不確定度分量只能用D/2作為半寬除以包含因子k 獲得。若按均勻分布處理，k＝√3，則D/(2√3)＝0.29D。這就是JJF1059所說“對于數字顯示式測量儀器，如其分辨力為δx，則由此帶來的標準不確定度為u (x)=0.298δx。”的理論依據。分度值（D）帶來的測量誤差與測量儀器的讀數放大原理和測量人員眼力及經驗的不同有關，可能會等于D，也可能會大于D，或者小于D。

回復 7# 規矩灣錦苑

   

                                                                   關于分辨力的答辯

                                                                                                                                史錦順

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【規矩灣錦苑質疑】

數字式測量設備的分辨力（設為D）會產生測量設備的誤差。產生誤差的大小是±(D/2)，而不是±D。分辨力是1克的電子秤，分辨范圍并不是±1g，而是±0.5g。當被測量的變化值＜0.5g時，電子秤不會有反映，當被測量的變化值達到或超過0.5g時，電子秤就會變化一個字（變化量≤-0.5g時減一個字，變化量≥+0.5g時加一個字）。

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由以上所述，我們可以看出對于數字式測量設備而言，分辨力帶來的測量誤差只能是±(D/2)而不是±D，分辨力給測量結果引入的標準不確定度分量只能用D/2作為半寬來除以包含因子k 獲得。如果按均勻分布處理，k＝√3，那么D/(2√3)＝0.29D。這就是JJF1059所說的“對于數字顯示式測量儀器，如其分辨力為δx，則由此帶來的標準不確定度為u (x)=0.298δx。”的理論依據。

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【史錦順答辯】

分辨力是一克的電子秤，現在用得很多，賣肉、零售菜、零售米的電子案秤，大都是尾數為1克的電子秤。在重物一點點緩慢增加時（如攥一把米，一粒一粒往秤盤上撒），便會看到電子秤的示值1克1克地向上跳變，這就叫分辨力是1克。

先生所說的情況，是類比于人計數時，進行四舍五入后的情況。要求客觀的數與人的計數值，有完全等同的起步點和嚴格相等的步長。但是任何測量儀器，由于誤差的存在，步長不能完全相等，特別是經過不斷的積累，于是數字變化的起點，示值與輸入值便不能保持一致。顯示數跳步一個字，即示值變化1克，標志被測量變了1克，但從多少起，卻不同，即起點不同。于是產生的示值誤差，極端可能值是+1g與-1g，于是分辨力引入的誤差，就整個量程來說，就是±1g，而不是±0.5g.

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例1 “取整”誤差（舍位誤差）

一個數據，小數點以前是整數位，小數點以后是零數位。數據處理的一種辦法是舍棄零數位，而只保留整數位。計算機語言，專有“取整”程序。取整產生的誤差為：最小值：0；極限值：―1。

要注意，[―1,0]是個區間，但不是對稱區間。如果有人認為區間半寬是0.5，0.5是最大誤差，這是錯誤的表達。應知，最基本的定義是誤差元與誤差范圍。在誤差元的各種可能值中，標志量是誤差的絕對值的最大可能值，不能解錯。

誤差元是測得值減真值。對現在的情況應理解為：新值減原值。如123.8取整是123，誤差元為123―123.8 =―0.8。

    (接下頁)

接 8# 史錦順 文
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誤差范圍是誤差元絕對值的最大值，顯然，此值為1。這是一項誤差因素，在進行誤差合成時，只能以“1”來對待，而絕不能當做0.5。有人認為“取整”的誤差是0.5，那就錯了。對不同數據點，誤差的絕對值的大值，可能是0.5、0.6、0.7、0.8、0.9，0.99，而對整個數據的各個數據點來說，誤差絕對值的最大可能值是1。明明是1，卻偏說是0.5，那當然是錯的。

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例2  四舍五入的誤差

在編計算機程序時，先令加0.5，再令取整，就對數據進行了四舍五入的處理。這時容易看出，新數據（整數）與原數據的差是―0.5到+0.5，誤差區間是[-0.5,+0.5]，誤差元的絕對值的最大值是0.5。此時用不確定度論的語言，表達為區間半寬，是可以的。但要注意，已進行四舍五入的數據同原來數據，有嚴格的關聯關系：步長相同，零點及各個整數點的數值完全相同。整數加1的起跳點，是一樣的；而任何測量儀器，由于系統誤差、隨機誤差的存在，步長、起跳點，在量程內的各點不可能完全相同，而是有數倍于分辨力的變化。于是各數據點的誤差區間絕大多數是非對稱區間。而取區間半寬的作法，只有對對稱區間才是對的。四舍五入的誤差區間是對稱區間，可以取區間半寬；但這僅僅是數據處理引入的誤差，與分辨力引入的誤差無關。

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例3 分辨力為1克的電子秤的分辨力誤差范圍是1克

我的文章中有兩個表，出現的誤差區間的大多數都是非對稱區間。這些區間的可能值為：

          [0,0.9]、[-0.1,0.8]、[-0.2,0.7]、[ -0.3,0.6]、[ -0.4,0.5]、[ -0.5,0.4]、[-0.6,0.3]、[-0.7,0.2]、 [-0.8,0.1]、[-0.9,0].

在各個區間中，誤差元的絕對值的最大值為0.9、0.8、0.7、0.6、0.5

實驗的分度再細一位，最大值為：0.99、0.9、0.8、0.7、0.6、0.5

實驗的分度細到極限，最大值為：1.0、0.9、0.8、0.7、0.6、0.5

而就整個量程來說，誤差元的絕對值的最大可能值為1克，即分辨力為1克時，誤差范圍為1克（或稱極限誤差是1克、最大允許誤差是1克）。

結論：分辨力是D，則引入測量誤差范圍是D；說是D/2，是錯誤的。

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如果反對例3 的分析，應該拿出一個不可能出現的實例來；如果拿不出反例，就該承認這個分析是正確的。要具體地算實例，不能憑想象。

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  （接下頁）


   

接 9# 史錦順 文

下邊我指出先生分析的錯誤之處。若不同意，請說明理由。

1 說每加0.5克跳一次數，不對；那樣就成為分辨力是0.5克了，而不是分辨力為1克了

2 不是對稱的區間，就不能用區間半寬來代表誤差元的絕對值的最大可能值。例如當區間為[0,0.9]時，最大誤差元已是0.9，而去取半寬0.45，則是錯誤的。

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例4 數字式頻率計的正負1誤差

我退休前的業務工作，主要是搞頻率測量與計量。數字式頻率計，幾乎每天都離不開。通用計數式頻率計的原理就是在閘門時間（采樣時間）內，數脈沖數。

脈沖數字技術，其本質特點是只有“0”“1”兩個態。現代高速計算機，不管處理的信息量有多大，而歸根結底只有0、1兩個態。只是0與1 的不同組合，而構成海量信息。

數字式頻率計的輸入端，有放大整形器，使被測信號變成脈沖信號。嚴格地將信號的一個周期變成一個脈沖。若周期是10秒，每個脈沖代表周期10秒，即頻率0.1赫。周期為1微秒，表示1微秒有1個脈沖，則1秒有1兆個脈沖，頻率為1兆赫。

數字式頻率計，利用本身自帶的頻標（晶振），產生標準時段，稱采樣時間，又叫閘門時間。閘門開的時段內，計進入閘門的脈沖數。通用計數式頻率計只有計數功能，而沒有計算功能。由于閘門時間是10進位的10秒/1秒/0.1秒/10 ms/1ms，示值上以kHz為單位，用小數點移位的方式來對應閘門時間的轉換，即實現除以10或乘以10的操作。

通用計數式頻率計 計數的最小單元是1個脈沖。此脈沖在1秒采樣時，表1赫，10秒采樣時，1個脈沖代表0.1赫；0.1秒采樣時，1個脈沖代表10赫，10ms采樣時1個脈沖代表100赫，1ms采樣時1個脈沖代表1千赫。

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接 10# 史錦順  文
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通用計數式頻率計的分辨力是一個脈沖，簡稱±1誤差。（頻率計說明書上有。）

閘門的開啟時刻與被測脈沖到來的時刻各自獨立。

閘門時間是1秒時，倘被測頻率為1.25Hz，周期為0.8秒，1個閘門時間內，可能出現一個脈沖，也可能出現2個脈沖，即示值為1Hz或2Hz，誤差區間為[-0.25Hz,0.75Hz]，倘被測頻率為1.01Hz，周期為0.99秒，1個閘門時間內，可能出現一個脈沖，也可能出現2個脈沖，即示值為1Hz或2Hz，誤差區間為[0.01Hz,0.99Hz]；若被測頻率是0.8Hz，周期是1.25秒，1秒采樣時間內，可能出現1個脈沖，也可能是0個脈沖。即測得值是1Hz或0Hz，則誤差區間是[-0.8Hz,0.2Hz]。倘被測頻率是0.99赫時，測得值是1赫或0赫，則誤差區間是[-0.99Hz,0.01Hz].

如上，對各種被測頻率值，一秒采樣時，分辨力的誤差區間是[-1Hz,1Hz]。

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閘門時間為0.1秒時，一個脈沖代表10Hz。倘被測頻率為12.5Hz，周期為0.08秒，1個閘門時間內，可能出現一個脈沖，也可能出現2個脈沖，即示值為10Hz或20Hz，誤差區間為[-2.5Hz,7.5Hz]，倘被測頻率為11Hz，周期為0.9秒，1個閘門時間內，可能出現一個脈沖，也可能出現2個脈沖，即示值為10Hz或20Hz，誤差區間為[-1Hz,9Hz]；若被測頻率是8Hz，周期是0.125秒，0.1秒采樣時間內，可能出現1個脈沖，也可能是0個脈沖。即測得值是10Hz或0Hz，則誤差區間是[-8Hz,-2Hz]。倘被測頻率是9.9Hz時，測得值是10Hz或0Hz，則誤差區間是[-9.9Hz,0.1Hz].

如上，對各種被測頻率值，1秒采樣時，分辨力為1Hz，誤差區間是[-1Hz,1Hz]；而0.1秒采樣，分辨力是10Hz，誤差區間是[-10Hz,10Hz]。

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（接下頁）

接 11# 史錦順  文
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綜上所述，通用數字式頻率計的分辨力是一個脈沖所代表的頻率值。閘門時間記為τ，分辨力記為D。有τ=10s，D=0.1Hz；τ=1s，D=1Hz；τ=0.1s，D=10Hz；τ=10ms，D=0.1 kHz；τ=1ms，D=1kHz

設標準的頻率是fo（相對真值），則頻率計的測量結果為

              Fm = fo±D

用頻率計測量被測頻率f，則測得值表征的量值群為：

              f = fm±D

請注意，不論從誤差范圍的角度，還是從量值范圍的角度，都要取D，而不是D/2。

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分辨力是誤差理論分析的一件小事，卻是一件基本功。討論清楚是必要的。

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不確定度論弄錯許多事，分辨力也是一條。請網友細想一想，到底怎樣處理正確。這也是對思想方法、研究方法的一次考驗與鍛煉。經過認真思考的學問才是真學問，人云亦云，就得不到鍛煉。在科學理論上識錯、糾錯是大學問，很難。事情總得有人去做，我很希望我國的年輕一代，能在世界科技界爭得話語權。誤差理論與不確定度論的大論戰，就是一個廣闊的天地。

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我越來越覺得，所謂的“區間半寬”的提法，是不可取的。過些日子寫成文章再和大家交流。我這里先點出問題，請網友獨立地想一想，看看我們能不能得出同樣的結論。不同意也好，辯論才有意思，才能提高。

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　　非常高興和史老師一起討論問題，也非常感謝史老師給我的回復。史老師在8樓和9樓都是討論的數字式測量設備的分辨力問題，如果放棄模擬式測量設備的“分度值”不談，僅討論數字式測量設備的“分辨力”帶來的測量誤差，我有以下看法，繆誤之處請指正：
　　1.贊同史老師所說的例1“取整”誤差（舍位誤差）是數據處理的一種辦法，是舍棄零數位，而只保留整數位。“取整產生的誤差為：最小值：0；極限值：―1。”是一個非對稱區間[―1，0]。
　　2.贊同史老師所說的例2四舍五入的誤差的設法，即四舍五入的“誤差區間是[-0.5，+0.5]　”。
　　就例1和例2來看，非對稱區間 [-1，0] 和對稱區間 [-0.5，+0.5] 的全寬都是1，半寬都是1/2，即半寬都是D/2。
　　3.史老師的例3是電子秤的例子，我也贊成“分辨力為1克的電子秤的分辨力誤差范圍是1克”，但決不是“±1克”。分辨力的“誤差范圍”是1克意味著最大與最小誤差的差是1克，即全寬是1克，半寬仍然是D/2＝0.5克。
　　在例3中老師說有兩個表，出現的誤差區間的大多數都是非對稱區間。這些區間的可能值為：[0，0.9]、[-0.1，0.8]、[-0.2，0.7]、[ -0.3，0.6]、[ -0.4，0.5]、[ -0.5，0.4]、[-0.6，0.3]、[-0.7，0.2]、 [-0.8，0.1]、[-0.9，0]。從這些區間的數據可以看出，不管出現哪一種區間，其區間的全寬都是0.9，半寬都是0.45。我覺得每個區間的后一個量值都應該增加0.1，所以全寬D＝1.0，半寬是D/2＝0.5。
　　4.對于老師說的例4，因為我不是搞時間頻率計量工作的，恕我無能，不好亂說，就不說什么了。我覺得用史老師上述三個例子，就都已經都可以得出同一個結論了，即：設數字式測量儀分辨力是D，則分辨力帶來的測量誤差范圍全寬是D；其半寬是D/2。既然測量范圍的全寬是D，就不能再加符號“±”變成±D，±D的全寬就是2D了。至于誤差相對于真值是否對稱并不重要，重要的是全寬和半寬。不確定度評定中的標準不確定度分量評估必須使用的是半寬，因此必須是分辨力D的一半，即D/2。

回復 9# 史錦順


史老師還是認為分辨力為D，誤差范圍是[-D，D]，我和規矩灣錦苑老師的觀點是一樣的，您舉得那幾個區間全寬均為0.9，不能以兩頭的[-0.9,0]和[0，0.9]認為誤差范圍是[-0.9，0.9]。還是那句話，這分別是兩個點的誤差范圍，不能認為是一個點的誤差范圍。還是比如電子秤顯示的11g這一點，如果認為其分辨力誤差范圍是[-1，1]，那么被測物的實際質量范圍將是[10g，12g]，然而10g和12g時電子秤會顯示11g么，應該是不會的。對于電子秤現實的其他點，如12g、13g。。。。。。也是一樣的。

回復
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                            【史錦順答辯（2）】

謝謝規矩灣錦苑、長度室二位的發言。

不確定度論宣貫以來，已造成很多不良影響。而其中最重要的是不確定度論引起的學習方法、研究方法、思想方法的混亂。我們討論，可能是很具體的特定問題，但其根源則是“怎樣思考問題”“怎樣判斷是非”這類問題。人的正確的思想方法，不是生來就有的，而是長期、反復實踐的結果。弄清一個問題，應該知道為什么對了；弄錯一個問題，要總結錯是怎樣產生的。

我們這些學自然科學的，學技術的，從中學、大學的課本，到工作中用遇到的文獻、規程規范、參考書，應該說基本上或絕大多數都是正確的，于是就容易形成“已有的理論都是正確的”這樣一種觀點。于是就容易形成對不同觀點的反感情緒。我說這些，不是怕你們反對我，我只是說：要仔細想清楚老史的“異論”有沒有道理。爭論是有意義的，但前提是互相尊重。對對方的尊重，不是說要無原則地同意對方意見，而是要認真思考對方的觀點。好了，我們談具體問題。

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1 誤差區間必須適應整個量程

分析測量儀器的誤差，不能只考慮某個量值點的問題，要考慮整個量程，或者說全部有效量程。模擬量儀表的量程的小端（0到1/5）不該用（相對誤差大），可以不考慮，但從1/5量程到滿量程必須全盤考慮。

誤差分析，不能只限于某些測量點，而要考慮量程的整體。

如例3，當實驗很細（所加物的單元極小）時，各測量點的誤差區間為(單位克)：

        [0,1]、[-0.1,0.9]、[-0.2,0.8]、[ -0.3,0.7]、[ -0.4，0.6]、[ -0.5，0.5]、[-0.6，0.4]、[-0.7，0.3]、 [-0.8，0.2]、[-0.9，0.1]、[-1,0]。

各區間中的誤差絕對值的最大值為：1.0、0.9、0.8、0.7、0.6、0.5

而就整個量程來說，誤差元的絕對值的最大可能值為1克，即分辨力為1克時，誤差范圍為1克（或稱極限誤差是1克、最大允許誤差是1克）。

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分辨力對各個點引入的誤差的最大可能值，是不同的。怎樣概括全量程的分辨力的誤差范圍呢？只有區間[-1g,1g]能包容出現的的各種可能的區間。要注意，最基本的定義是誤差元與誤差范圍。誤差元是測得值減真值（或稱表征值減實際值），而誤差范圍是“誤差元絕對值的最大可能值”。總觀全量程各點，“誤差元絕對值的最大可能值”是1g，因此1克是誤差范圍，表成區間是[-1g,1g].

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如果把區間看作是[-0.5g,0.5g],那樣誤差元絕對值的最大可能值就是0.5g,這顯然是不對的。[0,1g]與[-0.5g,0,5g]這兩個區間的寬度一樣大，但前者的最大誤差是1g,而后者的最大誤差是0.5g,在誤差的表達上，二者不是相等，而是兩倍關系。

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（接下頁）

接16# 史錦順  文

2 區間必須包含真值

真值就是客觀值、實際值，討論誤差問題，不考慮真值是不行的。拋開真值，就無法談誤差，也就談不清任何問題。不確定度論的最大誤區，就是剛出世時嚴格地回避真值，結果不行，說不清自己的物理意義是什么。到VIM第3版（2008版）才說不確定度是包含真值的區間的半寬。這是一大進步，但由于不確定度概念沒有基本單元的定義，因此說不清真值是怎樣包含的。

不確定度論既已說明不確定度是包含真值的區間，這就沒有回頭路，就不能再回避真值（不談真值的不確定度毫無意義，號稱過“不可信性”，但那是無解的廢話），而必須在自己所指的區間中包含真值。

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說分辨力1g的區間是[-0.5g,0.5g],這只對極個別的測量點是對的，而對大多數量值點是不對的。以測得值為中心的[-0.5g,0.5g]區間將可能不包含真值。區間必須包含真值，不包含真值的區間，毫無意義。論及區間，而又說與真值無關，這不僅僅違反誤差理論，也是不確定度論不能允許的，VIM第三版已明確：不確定度是包含真值的區間的半寬，不包含真值，就談不上是不確定度，就是錯誤的區間。

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3 只有對稱區間，“區間半寬”才有物理意義

通過討論所列舉之分辨力區間的實例，對各測量點來說，分辨力誤差區間的絕大部分是非對稱的；而只要不對稱，最大誤差就必然大于0.5。寬度為1的嚴格的對稱區間，上下限必須是一半，這個“一半”稍不足，例如0.4999,或稍過一點，例如0.5001，都是不對稱區間。因此，嚴格的對稱區間的概率極小，各點的區間幾乎都是不對稱區間，而總寬度為1的不對稱區間的半寬必然小于誤差絕對值的較大的值。因此，“區間半寬”不足以表達誤差絕對值的最大值。有時是2倍關系。因此取區間半寬的作法本身，是不妥當的。我認為，“區間半寬”的說法與取法，貌似簡要明確，其實是違反“誤差絕對值的最大值”是誤差范圍這個根本點的，因而是錯誤的。也就是說“區間半寬”是存在的，但在一般的情況下，普遍地以區間半寬來表達誤差，來圈定真值，那是錯誤的。-

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區間半寬的說法，在某些特殊情況下成立。如先定下最大允許誤差的絕對值為W，然后，取正負W為區間，即[-W,W],這時，必是對稱區間，區間半寬又必然等于誤差絕對值的最大值。這樣的分析程序，在不確定度的分析中一直在用，那就是得到擴展不確定度U之后，以“測得值±U”來表達測量結果，這實際上就是給出以測得值為中心的對稱區間[-U,U],這時是對稱區間，說區間半寬，就是說誤差絕對值的最大值，又是以測得值為中心的，于是自然就包括了真值。

由上可知：按“先確定最大誤差，再確定對稱區間”的順序辦，區間半寬與最大誤差是統一的，“區間半寬”的提法可用。

把區間半寬的提法用在分辨力誤差的分析上，正確的作法是：第一步，綜觀各個測量點，分辨力為D時，分辨力的誤差絕對值的最大可能值是D；第二步由最大誤差絕對值D,確定誤差區間是[-D,D],可表為±D。D是區間半寬，分辨力引入的誤差是D.

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結論：分辨力是D，則引入測量誤差范圍是D；說是D/2，是錯誤的。

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                                    史錦順答辯(3)

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【規矩灣錦苑質疑】

.非常贊成史老師所說對一臺測量設備而言“誤差區間必須適應整個量程”的觀點，但是此處的“誤差區間”實際上是“示值誤差”的變化區間，是示值誤差范圍，不是“分辨力”的區間。老師本帖子主題是“夸張的分辨力”，是僅就分辨力是否被夸張來討論的。史老師在“板凳”樓層帖子中的第1條偏離了分析“分辨力”的主題，而是在分析“示值誤差范圍”了。數字式測量設備的“分辨力”，說白了就是末位數跳一個字所代表的被測量的量值D。≥D/2時數顯窗就會跳一個字，顯示數字增加一個D；＜D/2時，數顯窗的顯示將紋絲不動，仍然顯示原來的數字。術語“分辨力”和“示值誤差”有著嚴格的區別。
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【史辯】

  史文的題目確實是“夸張分辨力”，內容講的就是分辨力引入的示值誤差的大小，拋開“誤差”，談分辨力就沒有意義。全文也都是談“分辨力是D時，引入誤差是D還是D/2”這個問題。題目總要簡要，本來無歧義，不必浪費筆墨去說明。數字式儀表的分辨力就是尾數一個字，誤差理論（如頻率界）就直呼正負1誤差。在這里，區分分辨力與示值誤差，既不必要，也不應該。分辨力是該項示值誤差值的“因”，該示值誤差是分辨力不高的“果”，要討論的正是這個因果關系，二者怎么分？怎能分？

數顯測量儀器分辨力為D，就是輸入量變化為D時，測量儀器數顯才有變化，這本無爭議。奇怪的是您的帖中卻出現如下表述： 數字式測量設備的“分辨力”，說白了就是末位數跳一個字所代表的被測量的量值D。≥D/2時數顯窗就會跳一個字，顯示數字增加一個D；＜D/2時，數顯窗的顯示將紋絲不動。 第一句是對的，此后不對。第100次跳字（此前為量程低端，一般不好用）到101次跳字，間隔是D, 沒辦法找半個字的對應點。你能把輸入之標準值改變D/2,數顯窗卻反應不出來。設第一次跳數，標準值與剛剛跳的數顯值的差值是A,這個差值是系統誤差（作此實驗時，隨機誤差必須可略）引入；將標準值逐步增加，直到增加D-Δ, Δ足夠小，數顯窗將要變而尚未變，這時被測標準量已改變D(Δ足夠小,忽略)，則數顯值與標準值之差為A-D。其中的-D是示值誤差的改變量，也就是說，-D是分辨力引入的誤差。

我們把輸入標準值的順序改為從大到小。在第501次（從1到滿度數）跳變剛剛跳過時，跳過的數顯值與標準值之差為B，減小標準值，數顯因分辨力低而保持不變。標準值減小（D-Δ）Δ足夠小，數顯窗將要變而尚未變，這時被測標準量已減小D(Δ足夠小,忽略)，則數顯值與標準值之差為B+D。其中的+D是示值誤差的改變量，也就是說，+D是分辨力引入的誤差。綜合這兩處，僅僅由分辨力引入的誤差區間是[-D,D].

接 18# 史錦順  文

以上情況，數顯值跳變發生在數顯值的數與標準值的整數恰好對齊的時候。即A、B是D的整倍數的時候。當A是D/2的奇倍數時，跳變的發生點位移D/2。設跳變點的系統誤差A為-D/2。若第100跳變點發生時A=-D/2,此時數顯的誤差就是-D/2。被測標準增加D，將發生第101次跳變。我們把實驗控制在增加量為D-Δ,此時跳變將要發生，而尚未發生。這時的示值誤差為A+D(Δ很小，可略，A已設是-D/2)，即為D/2，誤差區間為[-D/2,D/2].

由上說明，可能出現誤差區間是[-D/2,D/2]的情況，但要注意，1 此時的誤差是系統誤差與分辨力誤差的綜合結果，并非分辨力單獨引入。 2 在全部量程中，此種情況出現的概率極小。而絕大部分區間的誤差絕對值的最大值是0.5D多一點到1.0D之間，這樣，就全量程來說。誤差絕對值的最大值就是D,因此，誤差區間是[-D,D],而不可能是[-D/2,D/2].

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在此，我提供另一種考慮分辨力引入誤差大小的思路。先考慮分辨力極小即D為零時的情況，再考慮分辨力D為某值時的情況，然后考慮兩種情況的區別。

數顯的分辨力越高，即D值越小。用一臺可細變輸出值的標準，被要研究的數顯測量儀器測量。標準應有很高的標準量值的細分能力。

情況A    被檢測量儀器的D值小于標準的D值，標準的量值變化，完全被數顯測量儀器反映出來，此時無分辨力誤差。

情況B   標準的量值與數顯測量儀器之間無誤差，既無系統誤差也無隨機誤差。而標準的細分力高于測量儀器的分辨力。研究分辨力，就需要這種情況。這種情況是可以實現的。我在1990年前后，為配合本所程控交換機項目，研制過兩臺異值頻率比對器，鑒定時，必須嚴格測量分辨力誤差。我用HP8662A頻率合成器做標準信號源，而用通用計數式頻率計做數顯。信號源、比對器標準端、頻率計三者共源，以實現無系統誤差與隨機誤差（秒采樣，在1E-13內）。測量結果：秒采樣，在1E-12內，頻率計顯示的改變量的計算值與標準輸出的改變量一致。理論被證實，儀器性能滿足指標要求。

在情況B的條件下，研究分辨力，做分辨力的實驗，是最有說服力的。簡化上述裝置，HP8662A為標準源，輸出直接接數字式頻率計。二者共源。

由于系統各種誤差都很小，可以凸顯分辨力的作用。由此可專門研究分辨力問題。

（接下頁）

接 19# 史錦順 文

我們的思辨開始。如果頻率計的分辨力很高，則數顯頻率值（測得值）應與標準源標準值完全一樣。測量1234500.0Hz附近的標準源的頻率（可看做真值），觀察標準源頻率與頻率計的示值（測得值）二者的差別，這個差別是由頻率計分辨力引入的，是分辨力誤差。

表1    頻率計10秒采樣，分辨力0.1Hz。表中單位Hz。

     標準源          頻率計

1234499.9       1234499.9

1234500.0       1234500.0

1234500.1       1234500.1

1234500.2       1234500.2

1234500.3       1234500.3

1234500.4       1234500.4

1234500.5       1234500.5

1234500.6       1234500.6

1234500.7       1234500.7

1234500.8       1234500.8

1234500.9       1234500.9

1234501.0       1234501.0

1234501.1       1234501.1

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表2 頻率計秒采樣，分辨力1Hz。表中單位Hz。

   標準源         頻率計

1234499.9        1234499

1234500.0        1234500

1234500.1        1234500

1234500.2        1234500

1234500.3        1234500

1234500.4        1234500

1234500.5        1234500

1234500.6        1234500

1234500.7        1234500

1234500.8        1234500

1234500.9        1234500

1234501.0        1234501

1234501.1        1234501

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表3 頻率計0.1秒采樣，分辨力10Hz。

  標準源(Hz)    頻率計(kHz)

1234499.0        1234.49

1234500.0        1234.50

1234500.1        1234.50

1234501.2        1234.50

1234502.3        1234.50

1234503.4        1234.50

1234504.5        1234.50

1234505.6        1234.50

1234506.7        1234.50

1234507.8        1234.50

1234509.0        1234.50

1234510.0        1234.51

1234511.0        1234.51

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表4 頻率計10ms采樣，分辨力100Hz。

  標準源(Hz)        頻率計(kHz)

1234490.0           1234.4

1234500.0           1234.5

1234510.1           1234.5

1234521.2           1234.5

1234532.3           1234.5

1234543.4           1234.5

1234554.5           1234.5

1234565.6           1234.5

1234576.7           1234.5

1234587.8           1234.5

1234599.9           1234.5

1234600.0           1234.6

1234610.0           1234.6

（接下頁）

接 20# 史錦順  文

        由以上四表可以看出，通用計數式頻率計，10秒采樣時，分辨力是0.1Hz,測得值與標準值完全一樣，不存在分辨力誤差。（標準的細分度也是0.1Hz）,這就是說，當標準值的變化時，測量儀器示值有同樣的變化，分辨力無誤差。

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    表2 一秒采樣，頻率計分辨力1Hz，凡整數頻率，頻率計跳數，示值與標準值一致，無誤差。標準源頻率的小于1Hz的變化，頻率計反映不出來，形成示值誤差，從-0.1到-0.9。易見誤差絕對值的最大值是1Hz。用不確定度的語言，U等于1Hz，則不確定度區間為±1Hz。大量樣板評定都是這樣先找U，而后以±U來表示包含區間。

表3是 0.1秒采樣，分辨力為10Hz。凡10 的整數倍的頻率，頻率計尾數跳數字，頻率計示值與標準頻率一致。而標準源的小于10Hz的變化，頻率計反映不出來，形成示值誤差，從-1Hz到-9.9Hz。易見誤差絕對值的最大值是10Hz。用不確定度的語言，U等于10Hz，則不確定度區間為±10Hz。大量樣板評定都是先找U，而后以±U來表示包含區間。不是嗎？

表4是 10ms采樣，分辨力為100Hz。凡100的整數倍的頻率，頻率計尾數跳數字，頻率計示值與標準頻率一致。而標準源的小于100Hz的變化，頻率計反映不出來，形成示值誤差，從-10Hz到-99Hz。易見誤差絕對值的最大值是100Hz。用不確定度的語言，U等于100Hz，則不確定度區間為±100Hz。大量樣板評定都是先找U，而后以±U來表示包含區間。難道不是嗎？這里有什么錯？

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（接下頁）

接 21# 史錦順 文
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【規矩灣錦苑質疑】

不確定度的大小是憑重復性試驗或者所掌握的信息來評估真值可能存在于多大的范圍內。不確定度僅僅是一個區域寬度，至于區域的對稱中心在哪里（真值的大小），給出測量結果的測量者是不知的，需要通過另一個比他的準確度更高的測量過程測量才能得到，測量者只要給出測量結果和測量結果的可信性（不確定度）就可以了，給不出也沒有必要給出被測量真值。

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【史辯】

不確定度論回避真值而講可信性，這樣，不確定度就毫無意義。連距真值多遠都不知道，可信性就是一句廢話。如果不知道測得值與真值之差，此測得值就不可信。

不確定度論又表明，“不確定度是包含區間的半寬”，那么，真值就必須在區間中，且必須是區間的中心。說“給不出也沒有必要給出被測量真值”，這不僅達不到測量的目的，也不符合不確定度論本身對不確定度的意義的說明。

不確定度論本身矛盾重重，用不確定度論說事，神人也說不清。

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而從誤差理論看問題，就非常明確，實用。測得值減真值（用誤差可略的標準值代表真值）是誤差元，誤差元的絕對值的最大值是誤差范圍.

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（接下頁）

接 22# 史錦順 文

   1 測得值范圍

設真值為Z，測得值為M，誤差元為r,誤差元絕對值的最大值為R。計量時，真值唯一，而測得值是個變量。

    R=│r│max=│M-Z│max                （1）

解絕對值方程（1）

當M＞Z，有

    R=(M–Z)(大)=M(大)-Z

    M(大)=Z+R                             (2)

當M＜Z，有

    R=(Z-M)(大)=Z-M(小)                  

   M(小)=Z-R                             (3)

由（2）（3）式，得到測得值M的范圍是

    [Z-R,Z+R]                             (4)

測得值范圍又可表示為

    Z±R                                  (5)

（4）（5）式是以真值為中心的測得值的區間的表達式。

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2 真值范圍

測量時，得到確定的測得值，是唯一值。而真值有多種可能，從可能值Z(小)到可能值Z(大)。

解絕對值方程（1）

當Z＞M，有

    R=(Z-M)(大)=Z(大)-M

    Z(大)=M+R                             (6)

當Z＜M，有

    R=(M-Z)(大)=M-Z(小)

    Z(小)=M-R                             (7)

由（6）（7）式，得到真值的范圍是

    [M-R,M+R]                            （8）

真值范圍又可表示為

    M±R                                  (9)

（8）（9）式是以測得值為中心的真值范圍的表達式。

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由上，誤差理論給出兩個區間，一個是以真值為中心的測得值區間，一個是以測得值為中心的量值群（真值群）的區間。真值與測得值之間的聯系紐帶是誤差范圍（即誤差元絕對值的最大值），測得值與真值二者，知道一個，就可知道并表達另一個。這對測量與計量工作，是很重要的，也是很實用的。

誤差理論是嚴密的、實用的；不確定度論表達不了任何問題：講可信性而回避真值，則無可信性；說是包含真值的區間半寬，卻沒有聯系測得值與真值的紐帶，于是也就無法包含真值。

講可信而不可信；說包含真值而無法包含。不確定度論，算什么東西？

（接下頁）

接 23# 史錦順 文
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【規矩灣錦苑質疑】

對于“只有對稱區間，‘區間半寬’才有物理意義”我持有異議。區間講的是一個范圍。范圍只有寬度而無正負號，至于是不是對稱區間，則是人為設定的。例如對于誤差區間[-1，0]、[-0.5，+0.5]、[0，+1] ，如果它們的真值分別是9.5、9、8.5，三個區間的物理意義完全相同。它們的區間寬度都是D＝1，半寬都是D/2＝0.5，怎么能夠說區間半寬就沒有物理意義呢。　  分辨力的定義是“引起相應示值不可檢測到變化的被測量的最大變化”，分辨力屬于“區間”的概念，區間寬度就是分辨力自己D，分辨力引入的誤差半寬只能是D/2。

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【史辯】

誤差區間是[-1,0]表示的是：區間下限：M-Z=-1，區間上限M-Z=0。就是說，當已知測得值是10時，則真值下限是9，上限是10，區間半寬是0.5。說區間半寬是不確定度U, 那樣包含區間就應該是[-0.5,0.5],這就與原表達完全不同。原來表達最大誤差值是1，而新表達最大誤差是0.5。也就是說，不對稱的區間，不可用區間半寬說事，也就是說區間半寬不是最大誤差，因此不對稱區間也就沒有“區間半寬是最大誤差”這個物理意義，而“區間半寬是最大誤差”這一點，又最常用，而不對稱區間不符合此條，必須排除在外，因此才說“只有對稱區間，‘區間半寬’才有物理意義”這句話。這句話乃至理之言，先生認為它錯，不應該。先生把不對稱區間與對稱區間混淆了，該考慮考慮二者的原則區別。很明顯，區間[-1,0]的最大誤差范圍是1，測得值比真值從小1到測得值與真值相等；區間[0,1]的最大誤差范圍是1，從測得值與真值相等到測得值比真值大1；區間[-0.5,0.5]的最大誤差范圍是0.5，從測得值比真值小0.5到測得值比真值大0.5。三個區間的意義本質不同，怎能說三者一樣？只有對稱區間[-0.5,0.5]的區間半寬才有“區間半寬是最大誤差”這個物理意義，而區間[-1,0]與區間[0,1]雖然半寬都是0.5，但0.5卻都不是最大誤差。三個區間區別這樣大，怎能說它們一樣？

分辨力是D，引入的示值誤差的絕對值的最大值是D,這相當于U等于D,因而區間是±U即±D。說“分辨力引入的誤差是D/2”是不對的。

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　　史老師非常耐心地對我的回復給予了答復，我再次表示衷心感謝。史老師分成了“答辯（2）”和“答辯（3）”兩部分給我做了耐心講解，其中答辯（3）是對我回復答辯（2）時的解答。雖然答辯（3）中引用了我的主要想法，為了方便量友們參與我和史老師的討論，現將我對史老師給我的答辯（2）的觀點轉抄如下：
　　1.非常贊成史老師所說對一臺測量設備而言“誤差區間必須適應整個量程”的觀點，但是此處的“誤差區間”實際上是“示值誤差”的變化區間，是示值誤差范圍，不是“分辨力”的區間。老師本帖子主題是“夸張的分辨力”，是僅就分辨力是否被夸張來討論的。史老師在9樓帖子中的第1條偏離了分析“分辨力”的主題，而是在分析“示值誤差范圍”了。數字式測量設備的“分辨力”，說白了就是末位數跳一個字所代表的被測量的量值D。≥D/2時數顯窗就會跳一個字，顯示數字增加一個D；＜D/2時，數顯窗的顯示將紋絲不動，仍然顯示原來的數字。術語“分辨力”和“示值誤差”有著嚴格的區別。
　　2.也非常贊同“區間必須包含真值”的說法。但是“誤差”和“真值”的關系與“不確定度”和“真值”的關系完全不同，“誤差范圍”的區間和“不確定度”的區間也不能畫等號。其區別界限在于：
　　誤差是測量結果與真值的差，定量表征測量結果的準確性。因此“誤差范圍”就應該是測量結果偏離真值的范圍。要知道誤差大小就必須先知道被測量的真值和測量結果。被測量真值是未知的，如果已經知道也就用不著測量了。因此，對于檢定/校準而言，真值是用計量標準的輸入量“約定”的，然后用被檢測量設備輸出值去和約定真值相比較。
　　不確定度是表征測量結果可靠性（可疑度）的范圍，其大小用被測量真值可能處于的區間寬度（半寬）來表示。因為被測量的“真值”是未知的，測量者想用測量結果代表被測量的真值，除了有準確與否的問題外，還有一個值不值得令人相信的問題。換句話說，用測量結果代表真值是值得令人懷疑的，懷疑程度的大小就是不確定度。不確定度的大小是憑重復性試驗或者所掌握的信息來評估真值可能存在于多大的范圍內。不確定度僅僅是一個區域寬度，至于區域的對稱中心在哪里（真值的大小），給出測量結果的測量者是不知的，需要通過另一個比他的準確度更高的測量過程測量才能得到，測量者只要給出測量結果和測量結果的可信性（不確定度）就可以了，給不出也沒有必要給出被測量真值。
　　3.對于“只有對稱區間，‘區間半寬’才有物理意義”我持有異議。區間講的是一個范圍。范圍只有寬度而無正負號，至于是不是對稱區間，則是人為設定的。例如對于誤差區間[-1，0]、[-0.5，+0.5]、[0，+1] ，如果它們的真值分別是9.5、9、8.5，三個區間的物理意義完全相同。它們的區間寬度都是D＝1，半寬都是D/2＝0.5，怎么能夠說區間半寬就沒有物理意義呢。
　　分辨力的定義是“引起相應示值不可檢測到變化的被測量的最大變化”，分辨力屬于“區間”的概念，區間寬度就是分辨力自己D，分辨力引入的誤差半寬只能是D/2。