關于逢5該進位的探討

網上的原問題：測量數據3.1425，取四位該是多少？

我第一次寫到：“按現行法規和一般教科書、書籍的說法，回答3.142是對的。但應知這是學?？荚囀降奶釂柗椒ê突卮鸱椒?。背得再熟，在實際應用中仍可能迷惘。因為實踐中沒人給你規定取幾位有效數字。數字修約的最重要任務正是判斷應該取幾位有效數字。至于回答3.143的網友，你該看些有關的書。

數據修約必須先定誤差范圍的有效數字。誤差最多取兩位，不許取三位，倘誤差第一位（高位）是5以上的數字，可取一位有效數字。凡誤差以1至4開頭的，要取兩位。誤差取定后，將誤差最低位與測量數據相應位對齊，將測量數據的低于誤差最低位的數字位作舍位處理，即小于5舍去，大于5進位，等于5時看前邊的數，奇進偶舍。不過，現在用計算機或用計算器，實際上難遇恰為500的情況。”

過了幾天，我又寫到：“按常規寫了這個帖子，說回答進位的人要多看些書，意思是你不知道有關理論和規定，回答是錯的。晚上想了想，倒覺得回答進位（3.143）是對的。道理嗎，我先不說，網友們也可想一想，以養成勤于思考的習慣。我將寫篇短文，題目是‘關于逢5該進位的探討’，此處太擠了，另開一樓吧。過幾天見！”

----------------------------------------------------------

轉眼過了三天。下面寫出我的思考。

從小學就學得“四舍五入”的口訣，逢4舍、逢5入，已是天經地義。1964年看到馮師顏教授著《誤差理論與實驗數據處理》一書，又學了個小于5舍，大于5進，等于5時看前邊的數，若是奇數進位，使成偶數；若前邊數是偶數，不進位，以保持為偶數。有人稱其為湊偶規則，也有人稱奇進偶不進。解釋是，再被除時，偶數被除盡的機會大。其實這是一點小小的理由。在進位與舍位產生誤差相等的條件下，舍位一邊加一點小小的砝碼，天平就歪了。其實，該進位的理由大得多，這個案該翻。

下面列舉該進位的理由。

1 凡要處理測量數據有效數字的地方，總要先處理誤差的有效數字。定了誤差的有效數字位，才能定測量數據取到哪位。而誤差是寧大不可小，逢5必須進位。

2 現在已是計算機的時代，至低也用計算器，多余位數都很多，不必顧慮除盡除不盡的問題。

3計算機程序早已用逢5進位的 規則。都采取四舍五入，則人機統一。

4 隨著數據位的增加，該舍的位出現剛好5的機會急速下降。該舍的位上，出5的概率是10%，出50的概率是1%，而出現500的概率是0.1%。沒有必要專為恰等于5立規矩。

5 舍位的數字恰為5的時候，舍與進，絕對誤差相同，相對誤差也相同。但兩種情況下的相對差卻不相同，進比舍，相對差略小些，因為取相對差時，要以處理前后二量的平均值當分母，而進位時的分母略大些。

6 四舍五入，簡單、易記，無論手算還是用計算機，好處理。

由上，我主張修約規則恢復為“四舍五入”，廢止湊偶一說。

注1  概率分析驗證：網上查得π的取值，共2640位。出現數字“5”，265個，出現概率10%（等于理論值）；出現“50”，22個，出現概率0.83%（接近理論值1%）；出現“500”，0個（大體符合理論值0. 1%）。

注2  BASIC固有取整功能：1.1取1，而1.9也取1，計算機不懂什么修約規則，只會去掉小數點以后的數。人讓計算機4舍5入，要求保留小數點后N位，就編如下程序：(110) 讀數據A；(120) B=A乘10的N次方 ；(130) C= B加0.5；（140）D等于對C取整；(150) E=D除以10的N次方 ；(160) 顯示E.  (這樣寫是為讓沒學過程序的人也看得懂。)

史老師說的很對，湊偶有時候會使報告的結果與測量結果偏離不少，不若遇見5后為零的情況，多報一位罷。

是啊 頭疼 數值修約應以那個為準