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                                              兩類線性-
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                                                                     史錦順
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（一）量值的函數關系
       y是因變量，x是自變量。y是x的函數。于是稱y為函數，x為變量。
                    y = f (x)                                       
這是一般函數關系的表達式。線性函數的表達式為
                    y = a + bx                                                                  （1）   
       具有形式為（1）的函數關系稱線性函數關系，簡稱線性函數。也稱一次函數。
       推廣到多元函數，變量是一次方，又只有加減，也是線性函數。又稱一次函數。
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       以下函數都不是線性函數
                  y = 1/x；
                  z = xy；
                 指數函數；對數函數；三角函數……
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（二）誤差量的函數關系
       函數的改變量，等于函數對各個自變量偏微分的和。就是泰勒展開的一級近似。
                    f(x,y)= f(x_o,y_o)+ (?f/?x) (x-x_o)+ (?f/?y) (y-y_o)               （2）
                    f(x,y) -f(x_o,y_o) =(?f/?x) Δx+ (?f/?y) Δy                           （3）
                   Δf=(?f/?x)Δx + (?f/?y)Δy                                               （4）
       公式（4）是偏差關系的普遍形式。
       偏差關系用于測量計量領域，x是測得值，x_o是真值, Δx是測得值x的誤差元；y是測得值，y_o是真值，Δy是測得值y的誤差元；f(x,y)是測量儀器測得值或是間接測量被測量的測得值，簡稱函數值，f(x_o,y_o) 是函數的真值，Δf=f(x,y)-f(x_o,y_o) 是函數的誤差元。
       函數的誤差元，是各個變量的誤差元的函數。稱為誤差的函數關系。
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       思考題1  為什么能說f(x_o,y_o)是真值？
       思考題2  劉彥剛發表在《中國計量》的一篇文章中，設f(x_o,y_o)為f(0)，這違反了誤差理論成立的一個基本前提。這個前提是什么？
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（三）測量中，誤差量的函數關系，大多數是線性的
       對量值函數的泰勒展開，有一階量和高階量，在通常的情況下，不知道變化量與量值本身的比例關系，通常不便于一概地忽略高階項。
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       測量，有一個基本前提，那就是：有效的測量，必須保證量值誤差遠遠小于被測量本身的量值。農貿市場上批發蘿卜的菜農，懂得：有人買一個蘿卜，不能用他那放在蘿卜車前的量程為500kg的“大臺秤”，而要到小攤販那里借用量程小的“案秤”來量。可惜，如今的不確定度體系，竟大談“量值與誤差量差不多怎么辦”。竟然推出“蒙特卡羅法”，測它兩萬次！真是蒙人。換個量程小的量具就可解決的問題，卻要繞那么大的彎兒，卻又走不通。何其笨也！
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       有效的測量，誤差范圍不能大于被測量的5%.儀器量程的主要部分都能達到這一點。用引用誤差表達的測量儀器，量程10%以下的部分不好用。要換量程小的儀器。
       精密儀器，通常指標都優于1%. 而誤差的誤差，小于10%即可略。因此，函數的泰勒展開式的首項誤差項以后的項都可忽略。
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       函數本身，可能是線性函數，也可能是非線性函數。實際工作中，非線性函數占主要地位，是大多數。但泰勒展開式兩邊同時減去真值（f(xo,yo)）,就變成函數誤差（總誤差）的表達式，由于誤差量遠小于量值本身，如果表達式中，有一階量的話，此時二階以上量可以忽略，于是總誤差就是分項誤差的線性函數。如果表達式中的最低階不是一階而是二階量，則二階留用，高階可略。這就談不上是“線性”了。
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       總之，誤差理論成立的前提是誤差量遠小于被測量（5%以下）。而對量值的函數關系，沒有要求。誤差理論同微分原理一樣，適合于任何函數形式的量值。而誤差函數，多數為線性，但也有首項就是二階量的。因此，也不宜泛泛的談線性。
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（四）兩類函數的混淆
       代號為《JJF1059.1-1012》的國家計量規范，名稱是《不確定度的評定與表示》.
       其中:
       1 范圍
       d）本規范主要適用于以下條件：
       3）測量模型為線性模型，可以轉化為線性模型或可用線性模型近似的模型。
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       這里的“測量模型為線性模型”講得含混，沒有指明是“量值函數是線性的”還是“誤差函數是線性的”。
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       本樓主貼，吳下阿蒙先生問：
       “1059.1 主要適用于線性函數如何理解？”
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       此問題的本身，就是沒有分清“測量函數是線性的”與“誤差函數是線性的”是有原則區別的。
       如果一種規范，一種理論僅適用于“測量函數是線性的”，而現實的大多數情況，“測量函數是非線性的”，那就等于說這種理論、這種規范沒有用處。這相當于該規范的自我否定。1059.1 的起草者們，不會這樣說。因此，把含混的“模型”改為函數，“測量模型”改為“誤差函數”，全話改為“適用于誤差函數是線性的”，就不會有誤解了。但也不行，有特例，不該有這種要求。
       不確定度體系的出世理由是“真值不可知”“誤差不可求”，不能用“誤差”的語言說事。而不確定度是個集合概念，沒有自己的元素（偷用誤差元又不能明說），于是就形成“一鍋混沌”，吳下阿蒙先生弄不明白，是必然的。
       劉彥剛先生在《中國計量》上發表文章，指出《JJF1059.1-2012》要求過分，勇氣可嘉。但并沒指出根本性問題：“量值函數線性”與《誤差函數線性》二者的區別與聯系；沒有指明要求“量值函數線性”是錯誤的，不符合大多數情況；而要求《誤差函數線性》大多數情況可以，但不全面，有特例，因而不該有這種要求。
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       不談“線性”，沒問題；要求“線性”，出歧義惹是非。
      《JJF1059》是宣揚不確定度的。由于不確定度體系弊病多多，《JJF1059》也就經不得推敲。
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學習下                                                  

我覺得，這里僅是一般而談的線性。
線性大多在測量模型章節，而測量模型大多是從數學模型引入的。所以這里的線性，主要是指數學模型的線性模型。
線性我說實話不好找定義，但是從字面意思來說也可以：用幾何形式表示話來說，函數圖像是一條線。再簡單地說：特性似線，故名線性。
所以，肯定是連續的是線性的，離散的就不是，點都散了，怎么成線啊。
自反饋的大多也不是，因為你怎么畫這條線？迭代的，很多也不是，因為迭代的很多就有自反饋。
還有一些很奇怪的函數。
線性與否，主要是說模型。他是理論的。模型只是一個對現實世界的模擬。模擬不是很精確的，如果準確度不夠，就要換模型。
所以你說歐姆定律是線性模型么？是
但是你說電阻是線性的么？嗯，理論上歐姆定律說其線性，但是實際不存在，但是有線性好的電阻，這個時候用歐姆定律就行了。
線性不好的咋辦？要計算就要把環境的模型引入了。
如果電阻本身起熱又影響溫度了怎么辦？
這就是自反饋了，那就產生非線性模型了......
諸如此類。但是簡單的看歐姆定律模型本身，他是線性的。

吳下阿蒙 發表于 2017-4-24 17:02
您的意思是，誤差函數的關系式的一般形式為A=B-C,即線性函數，在線性函數中y = a + bx   ，這個a和b都必 ...

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       歐姆定律公式的基本形式是：
                  I=V/R                                                                            （1）
       公式（1）表明電路中三大基本量之間的關系。在測量學中，是用儀器測量出三個量中的兩個量，求第三量。
       由測知的電壓、電流求電阻，根據基本公式（1），導出公式為：
                 R=V/I                                                                             （2）
       公式（2）表明的是量值的函數關系。（2）式是物理公式，其中的量都是真值。
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       把物理公式（2）中的量加腳標M，于是（2）式變成計值公式：
                 R_M = V_M/I_M                                                                    （3）
      （3）式減（2）式，就是電阻的測得值減電阻的真值R，就是求電阻的誤差.
                 R_M – R = V_M / I_M – V/I                                                    （4）
      （4）式左邊除以R,右邊除以V/I
                 (R_M–R)/R = (V_M/V)(I/I_M)- 1
                 ΔR/R = (V+ΔV)/V [I/(I+ΔI) ] -1
                 δR = (1+δV)[1/(1+δI)] -1
                 δR = 1+δV- δI-1
                 δR = δV- δI                                                                       （5）
       公式（5）是誤差量之間的關系。電阻的誤差，是電壓的測量誤差與電流的測量誤差的函數。            
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       以上用微差法，顯得啰嗦，但物理意義清晰，體現誤差的定義與本質。學過微分學、泰勒展開，就要用。注意，理解物理公式的量是真值，原來公式是真值的公式；測量使量值改變，改變量就是測量的誤差。
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       量值的函數關系：
                 R=V/I                                                                              （2）
       加腳標o表示未受測量影響的客觀量值，即真值
                 R_o=V_o/I_o                                                                        （6）            

        對函數R進行泰勒展開
                   R(V,I) = R(V_o,I_o) + (?R/?V)ΔV+ (?R/?I)ΔI
                           = R(V_o,I_o) + (1/I_o) ΔV – (V_o /I_o²) ΔI
                   R(V,I) - R(V_o,I_o) = (1/I_o) ΔV – (V_o /I_o²) ΔI
                   ΔR = (1/I_o) ΔV – (V_o /I_o²) ΔI                                           （7）
       （7）式是絕對誤差形式的誤差函數。
                   ΔR/R_o= ΔV/V_o– ΔI/I_o
                   δR = δV – δI                                                                    （8）
       （8）式是相對誤差形式的誤差函數。
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       誤差定義為測得值與真值之差。標準量必須是真值，這樣才能有確定的誤差概念，才能建立誤差理論。如今，VIM定義誤差為測得值減參考值，參考值可能有多種，這就搞亂了誤差理論。
       測知誤差，可以用不同的標準。標準有誤差，這樣確定的誤差值就有誤差。但誤差的誤差必須可以忽略。
       我所指的誤差，都是以真值為標準的。
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史錦順 發表于 2017-4-24 11:03
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                                              兩類線性-
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您的意思是，誤差函數的關系式的一般形式為A=B-C,即線性函數，在線性函數中y = a + bx   ，這個a和b都必須是常數嘛？我舉個例子，以電壓電流法測一個電阻的阻值，量值函數為R=U/I，明顯的非線性函數，誤差函數是A=R1-U/I？這是線性函數嘛？您指的誤差函數是什么樣的函數？誤差理論中誤差為測試值和真值的差，校準/檢定證書中的誤差為測試值和標稱值的差，您指的應該是后者吧？即例中誤差函數是A=R1-U/I中的R1為電阻的標稱值？

吳下阿蒙 發表于 2017-4-19 16:45
額。。。。正態分布，三角分布，矩形分布和線性函數應該沒有半點關系的吧。。。這么說，有點不負責任哦= ...

這個我也說不清楚，我數學不好，只是好像記得聽課的時候老師說檢定規程的函數關系只要當作線性的，用1059.1來處理沒有問題。

zeroline 發表于 2017-4-19 16:01
1059.1是針對具有線性的函數的，我的理解是1059.1里面的什么正態分布，三角分布，矩形分布等的。你的函數符 ...

分布指的是隨便變量的分布，線性與否是模型的數學公式，兩碼事。比如y=a+b，這個是線性模型，其中a和b是隨機變量，可能服從某種分布

連乘連除的函數也可以當作線性的處理，因為取ln后就是只有加減的關系了，1059里有這個介紹的，用相對不確定度來計算合成標準不確定度

zeroline 發表于 2017-4-19 16:01
1059.1是針對具有線性的函數的，我的理解是1059.1里面的什么正態分布，三角分布，矩形分布等的。你的函數符 ...

額。。。。正態分布，三角分布，矩形分布和線性函數應該沒有半點關系的吧。。。這么說，有點不負責任哦=。=！

1059.1是針對具有線性的函數的，我的理解是1059.1里面的什么正態分布，三角分布，矩形分布等的。你的函數符合這些就是線性的，呵呵，至于函數符合不符合我就不知道了。但是計量檢定規程的函數一定都是線性的，據說這是專家寫的規程，已經經過認證，所以你就放心的用吧。還有1059.2蒙特卡洛法就是針對非線性的函數來評定不確定度的，具體也說不清楚，反正大概就是這樣。

劉彥剛 發表于 2017-4-14 03:08

謝謝了。。又得補知識了。。。受傷的是，之前很多模型都評錯了=。=！更受傷的事，竟然沒人發現=。=囧。。。

這個問題本論壇以前有主題討論過，可以搜一下

大家好大家好大家好