感謝樓主分享

史錦順 發(fā)表于 2014-1-26 08:03
回復(fù) 16# lzhbiao

平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差的證明

不錯(cuò)！

回復(fù) 21# 史錦順


   其實(shí)您還是提到很多對(duì)我有啟發(fā)的東西，您說(shuō)有些問(wèn)題，有些以前我還真還沒(méi)關(guān)注，但我看后我都仔細(xì)分析了一下，絕非簡(jiǎn)單下的結(jié)論。您要是堅(jiān)信您的是真理，就不必怕討論。

回復(fù) 20# 285166790

        你認(rèn)為我什么都錯(cuò)了。我知道了。你有你的看法，我有我的看法，看來(lái)難于交流。你愛怎么看就怎么看，愛怎么寫就怎么寫，我不奉陪了。反對(duì)我的人很多，也不怕多你一個(gè)。贊成我的人不多，但還是有的。我得跟與我大體有共同語(yǔ)言的人交流；或者雖然反對(duì)我，但立論有據(jù)，我還是要回答的。您是一般性地反對(duì)我，對(duì)不起，我就不回答了。再見吧。

我認(rèn)真看了您的帖子，也順便學(xué)習(xí)了不少東西。下面來(lái)說(shuō)說(shuō)我對(duì)您那些質(zhì)疑內(nèi)容的看法。先說(shuō)說(shuō)概率論，任何數(shù)學(xué)的起源自然是來(lái)自于生活實(shí)踐，所以測(cè)量工作出現(xiàn)在先，概率論出現(xiàn)在后也是正常的。不過(guò)呢，現(xiàn)在的數(shù)學(xué)理論是基于大量實(shí)踐工作已經(jīng)被證明的東西，我們當(dāng)然可以直接使用其中的公式來(lái)解決問(wèn)題，甚至可以說(shuō)，沒(méi)有數(shù)學(xué)公式作為基礎(chǔ)，任何推導(dǎo)都是沒(méi)有依據(jù)的。在此我說(shuō)明不確定度的定義可以是測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差，或是一個(gè)實(shí)實(shí)在在的“區(qū)間半寬度” ?！皡^(qū)間半寬度” 其計(jì)算方法來(lái)自于概率論中的”區(qū)間估計(jì)“的計(jì)算公式，那么在這個(gè)公式就是除以√N(yùn)的，這個(gè)區(qū)間是期望為中心的區(qū)間，也就是我們常說(shuō)的最佳估計(jì)的值的可能區(qū)間。概率論提到，單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差只能反映樣本的分散性，所以并不能和”區(qū)間“掛鉤。而我們計(jì)量工作目的要得到的就是這個(gè)“置信區(qū)間”，然后才能再做進(jìn)一步通過(guò)這個(gè)區(qū)間判斷測(cè)量結(jié)果是否能落到想要的范圍內(nèi)，由此判斷儀器是否合格。如果給出是不確定度是用測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差表示的，測(cè)量結(jié)果是算數(shù)平均值，那它的標(biāo)準(zhǔn)差也是應(yīng)當(dāng)除以√N(yùn) ，這也是有公式的。你說(shuō)的以單次的標(biāo)準(zhǔn)差作為計(jì)算結(jié)果，和不確定度定義的要求不符合，那顯然是不行的。所以說(shuō)，這個(gè)區(qū)間計(jì)算公式是完全根據(jù)定義和概率論計(jì)算公式來(lái)的，除非您對(duì)不確定度的定義有異議，或?qū)Ω怕收摴接挟愖h，否則沒(méi)有問(wèn)題。至于您說(shuō)的頻率測(cè)量的問(wèn)題，它的概率分布是隨著時(shí)間改變的，JJF1059.1里提及了這一情況應(yīng)當(dāng)使用阿倫方差。

回復(fù) 1# 史錦順

     介紹給285166790網(wǎng)友。

好帖子要頂起來(lái)

回復(fù) 16# lzhbiao


      兩類測(cè)量的區(qū)分，從測(cè)量計(jì)量這個(gè)領(lǐng)域來(lái)說(shuō)，是十分必要的。區(qū)分后，對(duì)基礎(chǔ)測(cè)量（常量測(cè)量），要用平均值的西格瑪，就是說(shuō)，按貝塞爾公式算得的西格瑪要除以根號(hào)N,若有異常數(shù)據(jù)可以剔除；對(duì)統(tǒng)計(jì)測(cè)量（快變量測(cè)量）要用單值的西格瑪，就是不能除以根號(hào)N。對(duì)異常數(shù)據(jù)，不能剔除，要查明原因。如果是操作失誤，要重新測(cè)量；如果異常數(shù)據(jù)繼續(xù)出現(xiàn)，要認(rèn)為被測(cè)對(duì)象有問(wèn)題。
     物體質(zhì)量測(cè)量的情況，與其他測(cè)量不同，因?yàn)楸粶y(cè)物體的質(zhì)量通常是不變的。用各種分辨力不同、準(zhǔn)確度不同的天平測(cè)量，都是基礎(chǔ)測(cè)量（常量測(cè)量）。
     以上講的是“測(cè)量”，以認(rèn)知被測(cè)量的量值為目的。
-
     計(jì)量（包括對(duì)儀器的檢定、校準(zhǔn)，以及對(duì)儀器的出廠檢驗(yàn)、驗(yàn)收檢驗(yàn)）的目的是判別測(cè)量?jī)x器的合格性，這時(shí)測(cè)量?jī)x器是“對(duì)象”（在測(cè)量時(shí)測(cè)量?jī)x器是手段）。判別兩類測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)，要把測(cè)量時(shí)的判別法更原則化些，那就是看手段與對(duì)象哪個(gè)誤差范圍大。因此，兩類測(cè)量的區(qū)分標(biāo)準(zhǔn)，在更概括的高度上表為：
     對(duì)象偏差（誤差、變化）范圍 << 手段偏差（誤差、變化）范圍   是基礎(chǔ)測(cè)量（常量測(cè)量）                （1）
     手段偏差（誤差、變化）范圍 << 對(duì)象偏差（誤差、變化）范圍    是統(tǒng)計(jì)測(cè)量（變量測(cè)量）                （2）
     條件（1）（2）在測(cè)量（以認(rèn)知量值為目的）情況下，轉(zhuǎn)化為看被測(cè)量是常量還是變量（這種表達(dá)通俗、易掌握）。
     計(jì)量的對(duì)象是測(cè)量?jī)x器，手段是計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)，必須符合條件（2），而絕不是條件（1），因此，計(jì)量是統(tǒng)計(jì)測(cè)量。于是，第一，計(jì)量時(shí)要用單值的西格瑪，即用貝塞爾公式算得的西格瑪不能除以根號(hào)N；第二，計(jì)量不能剔除異常數(shù)據(jù)。要查明原因，如果不是操作錯(cuò)誤（重測(cè)即知），要判定被檢儀器不合格。我認(rèn)為，出了異常數(shù)據(jù)，一舍了之，是不嚴(yán)格的。本人從事測(cè)量計(jì)量工作35年，從來(lái)沒(méi)舍棄過(guò)異常數(shù)據(jù)。出現(xiàn)過(guò)幾次異常數(shù)據(jù)，都把這看成是天賜良機(jī)，一定要找出原因，竟因此而有五次發(fā)現(xiàn)重要問(wèn)題。以前的帖中，我一一介紹過(guò)詳情，這里就不重復(fù)了。

非常有學(xué)問(wèn)，看后覺得還有點(diǎn)搞不懂，是不是常量（如量塊）和波動(dòng)不大（如電壓）就為常量測(cè)量，變化大的（如時(shí)間）就為統(tǒng)計(jì)測(cè)量。同樣用不同準(zhǔn)確度等級(jí)的電子天平（分辨力差別很大）去稱量同一物體（被測(cè)量），怎樣區(qū)分常量測(cè)量和統(tǒng)計(jì)測(cè)量呢？

　　除了常數(shù)以外，客觀現(xiàn)實(shí)中的被測(cè)量，“變”是永恒的話題，因此變與不變只不過(guò)是個(gè)變化量大小的問(wèn)題。任何一個(gè)實(shí)際量都會(huì)隨著時(shí)空的不斷變化而變化著，一個(gè)砝碼也是一樣。
　　當(dāng)測(cè)量方案（包括測(cè)量設(shè)備）的可靠性（不確定度）遠(yuǎn)大于被測(cè)量隨時(shí)空的變化而產(chǎn)生變化量時(shí)，被測(cè)量的變化量將無(wú)法察覺，被測(cè)量就是個(gè)“常量”。但如果不斷地提高檢測(cè)方案（包括測(cè)量設(shè)備）的可靠性，檢測(cè)方案的不確定度將接近甚至遠(yuǎn)小于被測(cè)量隨時(shí)空變化而產(chǎn)生的變化量時(shí)，被測(cè)量的變化量將被凸顯出來(lái)，被測(cè)量將成為“變量”，此時(shí)用常規(guī)的“常量測(cè)量”方法測(cè)量將是困難的，而不得不使用所謂的“統(tǒng)計(jì)測(cè)量”方法。
　　因此，我認(rèn)為史老師提出的“常量測(cè)量”和“統(tǒng)計(jì)測(cè)量”如果作為測(cè)量方法分類的一種形式還是有道理的，但把被測(cè)量分為不變的“常量”和變化的“統(tǒng)計(jì)量”卻并無(wú)必要。因?yàn)槿魏巍傲俊倍际请S時(shí)空不斷變化而變化著的量，“常量”和“統(tǒng)計(jì)量”之間并不存在截然的界限，識(shí)別被測(cè)量是“常量”還是“統(tǒng)計(jì)量”，完全取決于測(cè)量方案的不確定度與被測(cè)量隨時(shí)空變化而變化的那個(gè)變化量之間的差距孰大孰小，因此這個(gè)問(wèn)題說(shuō)到底還是測(cè)量方案的正確選擇問(wèn)題。

回復(fù) 13# moonkai

   
    “你說(shuō)（用）秤來(lái)秤（稱）東西，那個(gè)東西質(zhì)量不變，其實(shí)也不對(duì)，我們公司的電子分析天平秤M1級(jí)砝碼的時(shí)候，能達(dá)到E-7克，因?yàn)殡娮犹炱降木群芨咭矔?huì)跳動(dòng)的。但是用普通電子秤就不會(huì)跳動(dòng)了，所以你兩個(gè)測(cè)量概念的提出好像有點(diǎn)問(wèn)題。至少你舉的例子，不足以說(shuō)明你的這個(gè)概念成立?！?/font>
-

  被測(cè)量本身的質(zhì)量不變，它就是常量，對(duì)它的測(cè)量就是常量測(cè)量（我又把它稱為基礎(chǔ)測(cè)量）。用電子天平測(cè)量M1級(jí)的砝碼，砝碼是被測(cè)量，砝碼本身的質(zhì)量是不變的，電子天平示值的變化，那是測(cè)得值在變，表明的是電子天平的穩(wěn)定性與隨機(jī)誤差，變化是測(cè)量?jī)x器的變化，不是被測(cè)量的變化。如果把砝碼換成酒精，由于酒精烝發(fā)，質(zhì)量就變化了；如果加上不均勻的吹風(fēng)，質(zhì)量均勻減小，且又疊加上隨機(jī)變化，就成變量測(cè)量了（我叫它統(tǒng)計(jì)測(cè)量）。

質(zhì)量測(cè)量的情況，絕大多數(shù)是常量測(cè)量。常量測(cè)量的目的是求被測(cè)量的量值，測(cè)得值的變化是手段的缺欠，西格瑪要除以根號(hào)N,表明已減小隨機(jī)誤差。

以上講的是測(cè)量物體質(zhì)量的情況。      

-

如果是用E1級(jí)砝碼考核天平的重現(xiàn)性，此時(shí)砝碼是測(cè)量手段，而天平是考核對(duì)象，這時(shí)的測(cè)量是統(tǒng)計(jì)測(cè)量，要用單值的西格瑪來(lái)表示天平的性能，不能用平均值的西格瑪。用貝塞爾公式算出的西格瑪，不再除以根號(hào)N.

回復(fù) 12# 史錦順


    史老，你說(shuō)秤來(lái)秤?xùn)|西，那個(gè)東西質(zhì)量不變，其實(shí)也不對(duì)，我們公司的電子分析天平秤M1級(jí)砝碼的時(shí)候，能達(dá)到E-7克，因?yàn)殡娮犹炱降木群芨咭矔?huì)跳動(dòng)的。但是用普通電子秤就不會(huì)跳動(dòng)了，所以你兩個(gè)測(cè)量概念的提出好像有點(diǎn)問(wèn)題。至少你舉的例子，不足以說(shuō)明你的這個(gè)概念成立。

回復(fù) 11# moonkai

      兩類測(cè)量的概念，是我提出來(lái)的，并沒(méi)有被廣泛認(rèn)可，更沒(méi)有得到國(guó)家計(jì)量主管部門的采納，現(xiàn)在是學(xué)術(shù)討論，僅僅是提出個(gè)人看法。我認(rèn)為：兩類測(cè)量是客觀存在。用秤量物體的重量就是常量測(cè)量；因?yàn)楸粶y(cè)量不變，是常數(shù)。用準(zhǔn)確度千分之一的數(shù)字電壓表去測(cè)量市電電壓，就是統(tǒng)計(jì)測(cè)量，因?yàn)閿?shù)字電壓表的讀數(shù)不停地變化。檢定測(cè)量?jī)x器，此時(shí)被檢儀器是對(duì)象，而標(biāo)準(zhǔn)是手段，手段（標(biāo)準(zhǔn)）的變化遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于被檢儀器的變化，因此是統(tǒng)計(jì)測(cè)量。統(tǒng)計(jì)測(cè)量不論測(cè)量次數(shù)N是多少，都不能除以根號(hào)N.如果除以根號(hào)N,就虛夸了被檢儀器的指標(biāo)。
      至于當(dāng)前進(jìn)行的檢定裝置的重復(fù)性考核，用被檢儀器來(lái)進(jìn)行，是不合理的。國(guó)家質(zhì)檢總局已兩次通知，簡(jiǎn)化重復(fù)性考核與不確定度評(píng)定，共26項(xiàng)。有網(wǎng)友問(wèn)質(zhì)檢總局，“簡(jiǎn)化了，是否可以不進(jìn)行”，質(zhì)檢總局回答說(shuō)：“可以”。以上情況，供你參考。

你們說(shuō)的常量測(cè)量和統(tǒng)計(jì)測(cè)量，是否就是測(cè)量的重復(fù)性和測(cè)量的復(fù)現(xiàn)性？

我從一個(gè)初學(xué)者的角度來(lái)談?wù)勎业南敕?，我今年?zhǔn)備考一級(jí)，剛剛學(xué)了教材，請(qǐng)大家指教。用貝塞爾公式算出的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差S(X),也就是大家說(shuō)的西格瑪，表示了測(cè)量數(shù)據(jù)的離散性，用這種方法獲得的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差其實(shí)是有限次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量的得到的標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值，它可以用來(lái)評(píng)定測(cè)量的重復(fù)性，也可以用來(lái)評(píng)定測(cè)量的復(fù)現(xiàn)性。
    先說(shuō)測(cè)量的重復(fù)性，根據(jù)《JJF1001通用計(jì)量術(shù)語(yǔ)及定義》，是指在相同條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行連續(xù)多次測(cè)量所得結(jié)果之間的一致性。測(cè)量結(jié)果的重復(fù)性是測(cè)量不確定度的一個(gè)分量，它是獲得測(cè)量結(jié)果時(shí)，各種隨機(jī)影響因素的綜合反映，包括了所用的計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)、配套儀器、環(huán)境條件等因素以及實(shí)際被測(cè)量的隨機(jī)變化。由于被測(cè)對(duì)象也會(huì)對(duì)測(cè)量結(jié)果的分散性有影響，特別是測(cè)量對(duì)象是非實(shí)物量具的測(cè)量?jī)x器時(shí)（就像史老說(shuō)的時(shí)間頻率測(cè)量）。因此測(cè)量結(jié)果的分散性比計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)本身所引入的分散性稍大。評(píng)定重復(fù)性時(shí)，通常N取10.在測(cè)量結(jié)果的不確定度評(píng)定中，當(dāng)測(cè)量結(jié)果由單次測(cè)量得到時(shí)，S(X)直接就是由重復(fù)性引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量。當(dāng)測(cè)量結(jié)果由N次重復(fù)測(cè)量的平均值得到時(shí)，重復(fù)性引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量就是S(X)/√N(yùn)。
    再來(lái)說(shuō)測(cè)量復(fù)現(xiàn)性，測(cè)量復(fù)現(xiàn)性是指在改變了的測(cè)量條件下，同一被測(cè)量的測(cè)量結(jié)果之間的一致性。改變了的測(cè)量條件，可以是：測(cè)量原理、測(cè)量方法、觀測(cè)者、測(cè)量?jī)x器、計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)、測(cè)量地點(diǎn)、環(huán)境及使用條件、測(cè)量時(shí)間。改變的可以是這些條件中的中的一個(gè)或多個(gè)。但是測(cè)量重復(fù)性，是指不改變測(cè)量條件，同一被測(cè)量的測(cè)量結(jié)果之間是一致性。
    對(duì)時(shí)間頻率測(cè)量來(lái)說(shuō)，我聽了史老的分析，我也覺得用算術(shù)平均值表示測(cè)量結(jié)果時(shí)，測(cè)量不確定度直接用S(X)比用S(X)/√N(yùn)要合理，直觀從大小來(lái)看，S(X)比較大，用s（x)/√n,數(shù)值會(huì)趨向0.

科學(xué)是在不斷發(fā)展變化的，一個(gè)道理一個(gè)理論也不是放之四海皆準(zhǔn)。史老提出的問(wèn)題有道理，規(guī)矩版主敢于質(zhì)疑，大家意見交鋒，問(wèn)題越討論越清楚，好好好！

回復(fù) 6# 規(guī)矩灣錦苑

               答規(guī)矩灣錦苑問(wèn)

                                                                                                 史錦順

-

規(guī)矩灣錦苑的帖子，語(yǔ)氣平和。盡管有些不同意見，但主要內(nèi)容是對(duì)問(wèn)題不甚理解，想問(wèn)問(wèn)。我試著答復(fù)如下。有不同看法，再討論。

-

【規(guī)矩灣錦苑問(wèn)】

（一）關(guān)于單值的西格瑪與單次測(cè)量的西格瑪

在測(cè)量領(lǐng)域里的，量的“值”自然是通過(guò)測(cè)量而獲得，史老師所講的“單值”如果不是通過(guò)單次測(cè)量的測(cè)量結(jié)果，那么就請(qǐng)老師講一講“單值”的來(lái)歷。
      【史答】

測(cè)量計(jì)量工作者，要養(yǎng)成習(xí)慣，不進(jìn)行多次測(cè)量，就不出數(shù)據(jù)。多測(cè)幾次，可以減小測(cè)量?jī)x器的隨機(jī)誤差，可以避免偶然性錯(cuò)誤。而更重要的是，凡需要給出統(tǒng)計(jì)表征量西格瑪?shù)牡胤?，要進(jìn)行N次測(cè)量，我認(rèn)為N不能小于10。我搞電子計(jì)量時(shí)，都是取N=10。1975年后搞頻率測(cè)量與計(jì)量，統(tǒng)計(jì)表征量用阿侖方差。規(guī)定N取100，只能照辦。好在都是測(cè)量?jī)x器自動(dòng)處理。

你讓我講“單值的來(lái)歷”，這太簡(jiǎn)單了。來(lái)了100個(gè)，是一個(gè)一個(gè)接著來(lái)的，總共100個(gè)單值。N個(gè)數(shù)，每個(gè)都是單值，還問(wèn)什么來(lái)歷。你的誤解是：只有測(cè)一次，那個(gè)值才是單值。不，測(cè)量得到的值，可能很多，而每個(gè)都是單值。

用貝塞爾公式計(jì)算得到的西格瑪，就是單值的西格瑪！計(jì)算靠N個(gè)值，但是，σ 是單值的西格瑪。

σ(平)=σ/√N 是平均值的西格瑪。

  對(duì)變量A進(jìn)行N次測(cè)量。用平均值表示A。而變量A的分散性是σ。σ的數(shù)學(xué)期望是常數(shù)。
       -

【規(guī)矩灣錦苑問(wèn)】

（二）關(guān)于統(tǒng)計(jì)測(cè)量與常量測(cè)量

所謂“快變量測(cè)量”，快慢本來(lái)就是個(gè)相對(duì)概念。時(shí)間段壓縮，再慢也是快的；時(shí)間段拉伸，再快也是慢的，因此統(tǒng)計(jì)測(cè)量與常量測(cè)量本絕對(duì)的分界線。說(shuō)到底還是檢測(cè)環(huán)境條件的約束，對(duì)檢測(cè)時(shí)空的約束。將時(shí)間限制在足夠短的時(shí)間段內(nèi)測(cè)量，再快的“快變量”都可視為“常量”。所以本人贊同6樓lyx老師的觀點(diǎn)：不大贊同史先生專立一類“統(tǒng)計(jì)測(cè)量”的觀點(diǎn)，認(rèn)為這應(yīng)該就是“測(cè)量”與“統(tǒng)計(jì)”這兩項(xiàng)各有相應(yīng)領(lǐng)域歸屬的技術(shù)的組合應(yīng)用，從“測(cè)量”技術(shù)的角度而言，并沒(méi)有大不同。　　對(duì)于“頻率測(cè)量”本人確實(shí)不懂，我相信論壇中懂頻率測(cè)量的量友并不是大多數(shù)，相對(duì)而言從事或見過(guò)長(zhǎng)度測(cè)量和力學(xué)測(cè)量的人可能更多些。為了讓大家明白你的“統(tǒng)計(jì)測(cè)量”原理，能不能請(qǐng)史老師舉出長(zhǎng)度測(cè)量或力學(xué)測(cè)量的例子呢？
    【史答】

先生說(shuō)得對(duì)，快慢是相對(duì)的。但快慢的程度，是十分重要的。

我所指的快慢，是相對(duì)于測(cè)量一回的時(shí)間而言的。取一個(gè)數(shù)據(jù)是一次測(cè)量，設(shè)時(shí)間為τ（時(shí)頻界稱采樣時(shí)間）。測(cè)量N次，取平均值，算測(cè)量一回。所用時(shí)間大致是Nτ, 在Nτ時(shí)段內(nèi)有可發(fā)現(xiàn)的變化的是快變量，否則是慢變量。慢變量測(cè)量可按常量測(cè)量處理。

例如，頻率計(jì)量有一項(xiàng)是測(cè)量晶振的日老化率（規(guī)定測(cè)量7周天，每天測(cè)量?jī)苫?，沒(méi)回測(cè)三次，τ=10秒）在一回測(cè)量的時(shí)段（30秒）內(nèi)的變化可略（示值的變化是測(cè)量?jī)x器的隨機(jī)誤差），被測(cè)量視為常量，按常量測(cè)量處理。

測(cè)量頻率源（信號(hào)源、晶振、原子頻標(biāo)）的頻率的短穩(wěn)，采樣時(shí)間為τ=1ms；τ=10ms；τ=0.1s；τ=1s；τ=10s。每回測(cè)量100次，每個(gè)頻率值不同，這就是快變量。快變量測(cè)量是統(tǒng)計(jì)測(cè)量，測(cè)量?jī)x器的隨機(jī)誤差范圍必須小于被測(cè)量變化范圍的1/3。示值的變化表現(xiàn)的是被測(cè)量的變化，測(cè)量才有效。

以上不是老史的理論設(shè)計(jì)，而是當(dāng)前我國(guó)與國(guó)際的通常做法。因此，兩類測(cè)量是客觀存在。由于兩類測(cè)量的處理方式的巨大差異（1 如何選測(cè)量?jī)x器；2 能否除以根號(hào)N；3 能否舍棄離群數(shù)據(jù)；4 計(jì)量活動(dòng)中測(cè)量的性質(zhì)與處理），兩類測(cè)量的劃分在許多領(lǐng)域是必要的。

至于力學(xué)與長(zhǎng)度計(jì)量，我不懂，不敢瞎說(shuō)。隨著測(cè)量?jī)x器的進(jìn)步，也必將出現(xiàn)統(tǒng)計(jì)測(cè)量。用激光比長(zhǎng)儀在普通場(chǎng)所測(cè)量一米長(zhǎng)的鋁棒，就是統(tǒng)計(jì)測(cè)量。鋁的線脹系數(shù)是23E-6，用鋁材制造的恒溫箱，其支架的溫度隨箱內(nèi)溫度變化。設(shè)電子恒溫控制的溫箱，溫度的隨機(jī)變化范圍是0.5℃，則激光比長(zhǎng)儀測(cè)得的一米長(zhǎng)的鋁棒橫梁的長(zhǎng)度，其隨機(jī)變化范圍大致是12E-6。激光比長(zhǎng)儀的誤差范圍是0.5E-6可以忽略。這就是統(tǒng)計(jì)測(cè)量。鋁橫梁長(zhǎng)度的隨機(jī)變化，要用單值的西格瑪表征。

-

【規(guī)矩灣錦苑問(wèn)】

（三）關(guān)于統(tǒng)計(jì)測(cè)量必須用單值的西格瑪

史老師已經(jīng)認(rèn)可“如果是基礎(chǔ)測(cè)量（被測(cè)量是常量），用平均值的西格瑪σ/√N(yùn)是對(duì)的”，在這點(diǎn)上大家達(dá)到了統(tǒng)一。　　關(guān)于“統(tǒng)計(jì)測(cè)量”，史老師能不能舉例說(shuō)明“必須”用的那個(gè)“單值的西格瑪”是如何得到的呢？為了簡(jiǎn)化描述，例如假設(shè)統(tǒng)計(jì)測(cè)量的次數(shù)為10次，這個(gè)“小”統(tǒng)計(jì)測(cè)量的“單值的西格瑪”如何計(jì)算？如果做10組這樣的統(tǒng)計(jì)測(cè)量，共得100個(gè)測(cè)得值，這個(gè)“大”統(tǒng)計(jì)測(cè)量的“單值的西格瑪”又如何計(jì)算？

【史答】

1 基礎(chǔ)測(cè)量，用平均值的西格瑪是必須的。我從來(lái)沒(méi)反對(duì)過(guò)。說(shuō)我“認(rèn)可”，是極易引起誤解的話，似乎我曾反對(duì)過(guò)，現(xiàn)在“認(rèn)可”了。不，沒(méi)出現(xiàn)過(guò)這種情況。

2 關(guān)于統(tǒng)計(jì)測(cè)量，大數(shù)N、小數(shù)N

我在頻率的測(cè)量計(jì)量中，出過(guò)大量的單值西格瑪數(shù)據(jù)。

辦法是：100個(gè)頻率差值為一次測(cè)量，計(jì)算單值的σ(τ)，τ是一個(gè)頻率值的采樣時(shí)間。

以上是規(guī)程要求。

我的特殊作法（宇航設(shè)備檢驗(yàn)）：將以上測(cè)量進(jìn)行10次，稱一回測(cè)量。每回測(cè)量得10個(gè)西格瑪。取10個(gè)西格瑪?shù)钠骄底鰹閱沃捣稚⑿裕ǚ€(wěn)定性）測(cè)量結(jié)果。

-

史先生的理論：
      第二類  統(tǒng)計(jì)測(cè)量
       測(cè)得到的多個(gè)值，每個(gè)值（什么值？測(cè)得值還是真值？看上下文是測(cè)得值哦，這里容易導(dǎo)致偷換概念）都是被測(cè)量的實(shí)際值（實(shí)際值是真值還是測(cè)得值？）；（真值還是測(cè)得值？）存在期望值，用單個(gè)值（真值還是測(cè)得值？）的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ表征；有標(biāo)稱值（目標(biāo)值），講究準(zhǔn)確度。

試著翻譯1：測(cè)得到的多個(gè)值，每個(gè)測(cè)得值都是被測(cè)量的測(cè)得值，測(cè)得值存在期望值， （測(cè)得值離散性）用單個(gè)測(cè)得值的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ表征，有標(biāo)稱值（目標(biāo)值），講究準(zhǔn)確度。試著翻譯2：測(cè)得到的多個(gè)值，每個(gè)測(cè)得值都是被測(cè)量的測(cè)得值，真值存在期望值， （真值離散性 ）用單個(gè)測(cè)得值的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ表征，有標(biāo)稱值（目標(biāo)值），講究準(zhǔn)確度。
試著翻譯3：測(cè)得到的多個(gè)值，每個(gè)測(cè)得值都是被測(cè)量的真值，測(cè)得值存在期望值， （測(cè)得值離散性 ）用單個(gè)測(cè)得值的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ表征，有標(biāo)稱值（目標(biāo)值），講究準(zhǔn)確度。
試著翻譯4：測(cè)得到的多個(gè)值，每個(gè)測(cè)得值都是被測(cè)量的真值，真值存在期望值， （真值離散性 ）用單個(gè)測(cè)得值的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ表征，有標(biāo)稱值（目標(biāo)值），講究準(zhǔn)確度。


       統(tǒng)計(jì)測(cè)量有一個(gè)分支是發(fā)散型統(tǒng)計(jì)測(cè)量（最典型的是頻率穩(wěn)定度測(cè)量）。測(cè)得到的多個(gè)值，每個(gè)值都是實(shí)際值；存在發(fā)散困難，方差無(wú)數(shù)學(xué)期望這是什么語(yǔ)法，無(wú)方差還是無(wú)數(shù)學(xué)期望，還是指二者全無(wú)？，貝塞爾公式不成立；有標(biāo)稱值（這個(gè)標(biāo)稱值和上面的”方差無(wú)數(shù)學(xué)期望“是一脈相承嗎？）（目標(biāo)值），講究準(zhǔn)確度。要用自偏差（啥叫自偏差啊，先生能給個(gè)明確的定義否？）（或阿侖偏差，注意，阿侖偏差要除以根號(hào)2）。
      
試著翻譯1： 統(tǒng)計(jì)測(cè)量有一個(gè)分支是發(fā)散型統(tǒng)計(jì)測(cè)量（最典型的是頻率穩(wěn)定度測(cè)量）。測(cè)得到的多個(gè)值，每個(gè)值都是測(cè)得值；存在發(fā)散困難，無(wú)方差數(shù)學(xué)期望,貝塞爾公式不成立；有標(biāo)稱值（目標(biāo)值），講究準(zhǔn)確度。要用自偏差（或阿侖偏差，注意，阿侖偏差要除以根號(hào)2）。
試著翻譯2： 統(tǒng)計(jì)測(cè)量有一個(gè)分支是發(fā)散型統(tǒng)計(jì)測(cè)量（最典型的是頻率穩(wěn)定度測(cè)量）。測(cè)得到的多個(gè)值，每個(gè)值都是測(cè)得值；存在發(fā)散困難，無(wú)方差有數(shù)學(xué)期望,貝塞爾公式不成立；有標(biāo)稱值（目標(biāo)值），講究準(zhǔn)確度。要用自偏差（或阿侖偏差，注意，阿侖偏差要除以根號(hào)2）。
試著翻譯3： 統(tǒng)計(jì)測(cè)量有一個(gè)分支是發(fā)散型統(tǒng)計(jì)測(cè)量（最典型的是頻率穩(wěn)定度測(cè)量）。測(cè)得到的多個(gè)值，每個(gè)值都是測(cè)得值；存在發(fā)散困難，有方差無(wú)數(shù)學(xué)期望,貝塞爾公式不成立；有標(biāo)稱值（目標(biāo)值），講究準(zhǔn)確度。要用自偏差（或阿侖偏差，注意，阿侖偏差要除以根號(hào)2）。

回復(fù) 5# 史錦順

　　（一）關(guān)于單值的西格瑪與單次測(cè)量的西格瑪
　　在測(cè)量領(lǐng)域里的，量的“值”自然是通過(guò)測(cè)量而獲得，史老師所講的“單值”如果不是通過(guò)單次測(cè)量的測(cè)量結(jié)果，那么就請(qǐng)老師講一講“單值”的來(lái)歷。
　　在多次測(cè)量（n次測(cè)量）中存在兩個(gè)西格瑪：“單值的西格瑪”和“平均值的西格瑪”，你說(shuō)的這個(gè)“多次測(cè)量”正是指的對(duì)測(cè)量方法優(yōu)劣進(jìn)行研究的“重復(fù)性實(shí)驗(yàn)”，通過(guò)實(shí)驗(yàn)可以得到“單值的σ ”和“平均值的σ ”。當(dāng)使用所研究的測(cè)量方法，直接將測(cè)得值作為測(cè)量結(jié)果時(shí)，表示對(duì)測(cè)量次數(shù)不限制，測(cè)量一次也可以，此時(shí)必須使用“單值的σ ”。如果實(shí)際測(cè)量N次取平均值作為測(cè)量結(jié)果，那么此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差就是“平均值的σ ” σ(平)=σ/√N(yùn)。如果將n次實(shí)驗(yàn)的測(cè)得值取平均值作為測(cè)量結(jié)果，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差雖然也是“平均值的σ ”，但應(yīng)該是σ(平)=σ/√n。
　　（二）關(guān)于統(tǒng)計(jì)測(cè)量與常量測(cè)量
　　所謂“快變量測(cè)量”，快慢本來(lái)就是個(gè)相對(duì)概念。時(shí)間段壓縮，再慢也是快的；時(shí)間段拉伸，再快也是慢的，因此統(tǒng)計(jì)測(cè)量與常量測(cè)量本絕對(duì)的分界線。說(shuō)到底還是檢測(cè)環(huán)境條件的約束，對(duì)檢測(cè)時(shí)空的約束。將時(shí)間限制在足夠短的時(shí)間段內(nèi)測(cè)量，再快的“快變量”都可視為“常量”。
　　對(duì)于“頻率測(cè)量”本人確實(shí)不明白，我相信論壇中從事頻率測(cè)量的量友并不是大多數(shù)，相對(duì)而言從事和見過(guò)長(zhǎng)度測(cè)量和力學(xué)測(cè)量的人可能更多些。為了讓大家明白你的“統(tǒng)計(jì)測(cè)量”原理，能不能請(qǐng)史老師舉出長(zhǎng)度測(cè)量或力學(xué)測(cè)量的例子呢？
　　（三）關(guān)于統(tǒng)計(jì)測(cè)量必須用單值的西格瑪
　　史老師已經(jīng)認(rèn)可“如果是基礎(chǔ)測(cè)量（被測(cè)量是常量），用平均值的西格瑪σ/√N(yùn)是對(duì)的”。關(guān)于“統(tǒng)計(jì)測(cè)量”，史老師能不能舉例說(shuō)明“必須”用的那個(gè)“單值的西格瑪”是如何得到的呢？為了簡(jiǎn)化描述，例如假設(shè)統(tǒng)計(jì)測(cè)量的次數(shù)為10次，這個(gè)“小”統(tǒng)計(jì)測(cè)量的“單值的西格瑪”如何計(jì)算？如果做10組這樣的統(tǒng)計(jì)測(cè)量，共得100個(gè)測(cè)得值，這個(gè)“大”統(tǒng)計(jì)測(cè)量的“單值的西格瑪”又如何計(jì)算？

回復(fù) 2# 規(guī)矩灣錦苑

（一）單值的西格瑪，不是單次測(cè)量的西格瑪

請(qǐng)你注意我的用詞，是“單值的西格瑪”，而你的基本意思是“單次測(cè)量的西格瑪”。

在我看來(lái)，我們討論兩個(gè)西格瑪，不要扯進(jìn)單次測(cè)量的問(wèn)題。我們討論的是精密測(cè)量問(wèn)題，是排除“一次測(cè)量”的。因?yàn)椤耙淮螠y(cè)量”，只在低檔次的、低精度的、粗略的測(cè)量行為中出現(xiàn)，在精密測(cè)量中是不允許的。說(shuō)單次測(cè)量用“單值西格瑪”，實(shí)際是混淆視聽；只測(cè)量一次的場(chǎng)合，十分粗糙，沒(méi)必要講究西格瑪。在GUM中，就不談單次測(cè)量的西格瑪。JJF起草的中國(guó)專家，講了評(píng)定的測(cè)量次數(shù)與應(yīng)用的測(cè)量次數(shù)，是脫離實(shí)際的。人們都是評(píng)了就用，很難想象評(píng)定與應(yīng)用分兩種場(chǎng)合。如果分兩種場(chǎng)合，評(píng)定者不會(huì)給出評(píng)定時(shí)的測(cè)量次數(shù)，讓用戶怎么計(jì)算？在統(tǒng)計(jì)測(cè)量的情況下，一次測(cè)量是無(wú)效測(cè)量。量值在變，只測(cè)一次不行！

在多次測(cè)量中（不是一次測(cè)量），存在兩個(gè)西格瑪：“單值的西格瑪”（用貝塞爾計(jì)算的）和“平均值的西格瑪”。常量測(cè)量，可以用平均值的西格瑪。統(tǒng)計(jì)測(cè)量，測(cè)得值各個(gè)是實(shí)際值（誤差可略，實(shí)際值就是真值），量值的分散性必須用單值的分散性表征?！皶簳r(shí)不懂，你慢慢體會(huì)去！”（中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院研究員陳成仁網(wǎng)上講課用語(yǔ)。）

-

（二）統(tǒng)計(jì)測(cè)量的特點(diǎn)

【規(guī)矩灣錦苑】

測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差要不要除以√N(yùn)，和“常量測(cè)量”與“統(tǒng)計(jì)測(cè)量”毫無(wú)瓜葛，只看給出的測(cè)量結(jié)果通過(guò)多少次測(cè)量取平均值，只與最終給出測(cè)量結(jié)果的測(cè)量次數(shù)N有關(guān)……

【史評(píng)】這是錯(cuò)話。

一個(gè)人見聞?dòng)邢蓿鄙倌承┓矫娴闹R(shí)，本是常事，不會(huì)有人說(shuō)什么，但不知道的事情，不要亂說(shuō)。先生要好好體會(huì)體會(huì)“統(tǒng)計(jì)測(cè)量（快變量測(cè)量）”這一客觀存在。

我講一下頻率測(cè)量計(jì)量的實(shí)際情況。

頻率測(cè)量的大多數(shù)場(chǎng)合是統(tǒng)計(jì)測(cè)量。頻率源的穩(wěn)定性用阿侖方差來(lái)表達(dá)。測(cè)量100次，而取單值的西格瑪。頻率值當(dāng)然取平均值。因?yàn)檫@是變量測(cè)量，測(cè)量N次，而西格瑪不準(zhǔn)除以根號(hào)N.

如果按不確定度的A類評(píng)定。測(cè)量100次，就可以除以根號(hào)100，那就虛夸指標(biāo)10倍。宣貫不確定度論的大員們，在許多場(chǎng)合說(shuō)一不二。就是不敢碰頻率測(cè)量計(jì)量這個(gè)領(lǐng)域的事。因?yàn)轭l率界有馬鳳鳴為主要起草人的《JJF1180-2007》，該規(guī)范用定量的準(zhǔn)確度，用阿侖方差，就是不用“不確定度”。老史反對(duì)不確定度論，實(shí)踐基礎(chǔ)是頻率測(cè)量計(jì)量，法規(guī)根據(jù)就是《JJF1180-2007》!

不過(guò)，我要替規(guī)矩灣先生說(shuō)句話。弄不懂有“統(tǒng)計(jì)測(cè)量”這一說(shuō)，世界上大有人在。那些提出不確定度論的美國(guó)人，就不懂“統(tǒng)計(jì)測(cè)量”。最明顯的例子是GUM（4.4.3）上的溫度測(cè)量。就是一筆混沌帳。溫度測(cè)量的結(jié)果，那么大的分散性，竟說(shuō)不清是溫度計(jì)的，還是熱源的，簡(jiǎn)直是胡鬧！

時(shí)代在前進(jìn)，科學(xué)在發(fā)展，像不確定度論這樣的蒙混，沒(méi)前途！

-

（三）統(tǒng)計(jì)測(cè)量必須用單值的西格瑪

【規(guī)矩灣錦苑】

測(cè)量N次取平均值，就要用平均值的西格瑪σ/√N(yùn)。

【史評(píng)】

  測(cè)量N次，取平均值，是必然的。

1 如果是基礎(chǔ)測(cè)量（被測(cè)量是常量），“用平均值的西格瑪σ/√N(yùn)”是對(duì)的。

2 如果是統(tǒng)計(jì)測(cè)量（被測(cè)量是快變化量），量值的分散性，必須用單值的西格瑪，不許除以根號(hào)N。在時(shí)頻界，這一點(diǎn)早已不是哪個(gè)人的學(xué)術(shù)主張，而是計(jì)量規(guī)范的規(guī)定，因?yàn)楸仨氂冒龇讲?，而阿侖偏差就是單值的西格瑪。老史不過(guò)是把這一點(diǎn)挑明。頻率界的作法是對(duì)的。其他各界，只要達(dá)到一定水平，也必然如此。因?yàn)榈览硎窍嗤ǖ?。孵雞的溫箱的溫度穩(wěn)定性，一定用統(tǒng)計(jì)測(cè)量，表征量用單值的西格瑪，如果按常量測(cè)量處理，按平均值的西格瑪要求，種蛋都成“壞蛋”了！

-

回復(fù) 3# 星空漫步

先生注意到變量測(cè)量同常量測(cè)量的區(qū)別，這是重要的。

有一種情況，就是測(cè)量?jī)x器的西格瑪與被測(cè)量的西格瑪大致差不多，這種情況沒(méi)法處理，必須回避。解決的辦法是選擇測(cè)量?jī)x器。選測(cè)量?jī)x器的西格瑪比被測(cè)量的西格瑪小到1/3以下，測(cè)量?jī)x器的影響就可以忽略了。被測(cè)量變化與儀器隨機(jī)誤差都是隨機(jī)變量，均方合成，測(cè)量?jī)x器的影響僅1/18（1加1/9后開方）。當(dāng)前，時(shí)頻界這樣處理問(wèn)題已成常規(guī)。每個(gè)研制者、計(jì)量者、測(cè)量者都這樣處理。

我所稱的“統(tǒng)計(jì)測(cè)量”就是指快變量的情況。一個(gè)源，而輸出的量值在變。這在電學(xué)領(lǐng)域有電壓、電流、功率等量；在無(wú)線電電子學(xué)中、放射性中都有多種變量。溫度測(cè)量計(jì)量也基本上是變量，只是處理得不好，以致有GUM測(cè)溫度的混沌帳（分不清溫度源與溫度計(jì)）。在時(shí)頻界，因?yàn)闇y(cè)量?jī)x器與標(biāo)準(zhǔn)的等級(jí)差別大，常量測(cè)量與統(tǒng)計(jì)測(cè)量不區(qū)分就沒(méi)法工作。因此，時(shí)頻界是處理得很好的，也是抵制不確定度論的。時(shí)頻界得過(guò)諾貝爾獎(jiǎng)的就有五人。又有專用的阿侖方差，不確定度論插不進(jìn)手。特別是，不管測(cè)量100次（秒以下穩(wěn)定度）、30次（小時(shí)穩(wěn)定度）都是用單值的西格瑪，而不用平均值的西格瑪。即使取平均值當(dāng)量值的表征量，也是如此。因?yàn)閱沃档奈鞲瘳敳攀亲兞糠稚⑿缘奶匦?，即特征量。平均值的西格瑪?shù)臄?shù)學(xué)期望值是零，沒(méi)法當(dāng)變量的表征量。

-

單次測(cè)量用單值西格瑪σ大家都沒(méi)有異議。
如果被測(cè)量是常量的話，N次測(cè)量的平均可以使用σ(平)=σ/√N(yùn)，此時(shí)的σ所反映的是測(cè)量?jī)x器的重復(fù)性精度。樓上兩位的分歧在于變量的多次測(cè)量是否可以按常量多次測(cè)量一樣，簡(jiǎn)單地直接用σ(平)=σ/√N(yùn)。

在此我個(gè)人贊成史老的意見。
我認(rèn)為變量的多次測(cè)量不能按常量多次測(cè)量一樣，簡(jiǎn)單地直接用σ(平)=σ/√N(yùn)，這樣算出來(lái)的σ(平)含義不明。

我的理解是：
既然是變量，那么用同一儀器對(duì)各變量分別做多次測(cè)量時(shí)，盡管表征儀器重復(fù)性的σ值相同，但由于各變量的分布中心是不同的，所以簡(jiǎn)單地用σ(平)=σ/√N(yùn)，不能反映變量均值的離散性，因?yàn)檫@里面少了變量間的離散性。所以此時(shí)要想求各變量的均值離散性，恐怕需要對(duì)各變量分別做N次測(cè)量，最后利用N測(cè)量的各變量各自的均值，計(jì)算均值間的離散，即此時(shí)的單值σ(N)。用各變量N次測(cè)量的均值所計(jì)算出來(lái)的σ(N)，與2樓直接計(jì)算出來(lái)的σ(平)=σ/√N(yùn)，結(jié)果是兩回事。全體變量總的離散性恐怕要=σ(變量均值)+σ(儀器)。

個(gè)人意見，僅供參考。歡迎高手指正！

　　史老師的開場(chǎng)白說(shuō)的非常在理，早在讀書時(shí)，計(jì)量專業(yè)的老師就告訴我們：“測(cè)量得到N個(gè)數(shù)值，用貝塞爾公式算得的σ（實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差），是單值的西格瑪。取N個(gè)數(shù)值的平均值，平均值的分散性用σ(平)表示，σ(平)=σ/√N(yùn) ?！?br /> 　　這句話明明白白地告訴我們，σ是通過(guò)n次重復(fù)性實(shí)驗(yàn)得到的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差。如果以單次測(cè)得值作為測(cè)量結(jié)果，它（單值）的標(biāo)準(zhǔn)差就是n次重復(fù)性實(shí)驗(yàn)得到的σ。如果“取N個(gè)數(shù)值的平均值”，即實(shí)際以N次測(cè)量的算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果，這個(gè)測(cè)量結(jié)果的“分散性用σ(平)表示，σ(平)=σ/√N(yùn) ”（注：一定要區(qū)分重復(fù)性實(shí)驗(yàn)次數(shù)n與實(shí)際給出測(cè)量結(jié)果時(shí)測(cè)量次數(shù)N的區(qū)別）。因此，測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差要不要除以√N(yùn)，和“常量測(cè)量”與“統(tǒng)計(jì)測(cè)量”毫無(wú)瓜葛，只看給出的測(cè)量結(jié)果通過(guò)多少次測(cè)量取平均值，只與最終給出測(cè)量結(jié)果的測(cè)量次數(shù)N有關(guān)，當(dāng)N=1時(shí)，就是單次測(cè)得值作為測(cè)量結(jié)果（單值）的標(biāo)準(zhǔn)差σ。
　　史老師已經(jīng)認(rèn)可了在經(jīng)典測(cè)量（“常量測(cè)量”）中，“多次測(cè)量，取平均值的西格瑪除以根號(hào)N，表明增加測(cè)量次數(shù)，減小了隨機(jī)誤差。這是正確的作法”，但從帖子的內(nèi)容來(lái)看尚不認(rèn)可“統(tǒng)計(jì)測(cè)量”中測(cè)量次數(shù)的影響。其實(shí)很簡(jiǎn)單，假設(shè)n次測(cè)量作為一個(gè)（一組）統(tǒng)計(jì)測(cè)量給出測(cè)量結(jié)果A1，A1的標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)定為σ的話，我們作N組這樣的測(cè)量，將得到A1、A2、……AN共N個(gè)測(cè)量結(jié)果，那么以A(均)＝（A1＋A2＋……＋AN）/N為最終統(tǒng)計(jì)測(cè)量的結(jié)果，A(均)的標(biāo)準(zhǔn)差必為σ/√N(yùn)，說(shuō)明σ(平)=σ/√N(yùn)照樣適用于“統(tǒng)計(jì)測(cè)量”。
　　所以，“常量測(cè)量”時(shí)單次測(cè)量算作一個(gè)測(cè)量方案，“統(tǒng)計(jì)測(cè)量”時(shí)取n次測(cè)量的平均值算作一個(gè)測(cè)量方案，它們的標(biāo)準(zhǔn)差如果都記為σ的話，各自作N次相同的測(cè)量方案取平均值為最終測(cè)量結(jié)果，無(wú)論是常量測(cè)量還是統(tǒng)計(jì)測(cè)量，測(cè)量一次，用單值的西格瑪σ，測(cè)量N次取平均值，就要用平均值的西格瑪σ/√N(yùn)。