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史錦順 發表于 2014-1-26 08:03
回復 16# lzhbiao

平均值標準偏差的證明

不錯！

回復 21# 史錦順


   其實您還是提到很多對我有啟發的東西，您說有些問題，有些以前我還真還沒關注，但我看后我都仔細分析了一下，絕非簡單下的結論。您要是堅信您的是真理，就不必怕討論。

回復 20# 285166790

        你認為我什么都錯了。我知道了。你有你的看法，我有我的看法，看來難于交流。你愛怎么看就怎么看，愛怎么寫就怎么寫，我不奉陪了。反對我的人很多，也不怕多你一個。贊成我的人不多，但還是有的。我得跟與我大體有共同語言的人交流；或者雖然反對我，但立論有據，我還是要回答的。您是一般性地反對我，對不起，我就不回答了。再見吧。

我認真看了您的帖子，也順便學習了不少東西。下面來說說我對您那些質疑內容的看法。先說說概率論，任何數學的起源自然是來自于生活實踐，所以測量工作出現在先，概率論出現在后也是正常的。不過呢，現在的數學理論是基于大量實踐工作已經被證明的東西，我們當然可以直接使用其中的公式來解決問題，甚至可以說，沒有數學公式作為基礎，任何推導都是沒有依據的。在此我說明不確定度的定義可以是測量結果的標準差，或是一個實實在在的“區間半寬度” 。“區間半寬度” 其計算方法來自于概率論中的”區間估計“的計算公式，那么在這個公式就是除以√N的，這個區間是期望為中心的區間，也就是我們常說的最佳估計的值的可能區間。概率論提到，單次測量的標準差只能反映樣本的分散性，所以并不能和”區間“掛鉤。而我們計量工作目的要得到的就是這個“置信區間”，然后才能再做進一步通過這個區間判斷測量結果是否能落到想要的范圍內，由此判斷儀器是否合格。如果給出是不確定度是用測量結果的標準差表示的，測量結果是算數平均值，那它的標準差也是應當除以√N ，這也是有公式的。你說的以單次的標準差作為計算結果，和不確定度定義的要求不符合，那顯然是不行的。所以說，這個區間計算公式是完全根據定義和概率論計算公式來的，除非您對不確定度的定義有異議，或對概率論公式有異議，否則沒有問題。至于您說的頻率測量的問題，它的概率分布是隨著時間改變的，JJF1059.1里提及了這一情況應當使用阿倫方差。

回復 1# 史錦順

     介紹給285166790網友。

好帖子要頂起來

回復 16# lzhbiao


      兩類測量的區分，從測量計量這個領域來說，是十分必要的。區分后，對基礎測量（常量測量），要用平均值的西格瑪，就是說，按貝塞爾公式算得的西格瑪要除以根號N,若有異常數據可以剔除；對統計測量（快變量測量）要用單值的西格瑪，就是不能除以根號N。對異常數據，不能剔除，要查明原因。如果是操作失誤，要重新測量；如果異常數據繼續出現，要認為被測對象有問題。
     物體質量測量的情況，與其他測量不同，因為被測物體的質量通常是不變的。用各種分辨力不同、準確度不同的天平測量，都是基礎測量（常量測量）。
     以上講的是“測量”，以認知被測量的量值為目的。
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     計量（包括對儀器的檢定、校準，以及對儀器的出廠檢驗、驗收檢驗）的目的是判別測量儀器的合格性，這時測量儀器是“對象”（在測量時測量儀器是手段）。判別兩類測量的標準，要把測量時的判別法更原則化些，那就是看手段與對象哪個誤差范圍大。因此，兩類測量的區分標準，在更概括的高度上表為：
     對象偏差（誤差、變化）范圍 << 手段偏差（誤差、變化）范圍   是基礎測量（常量測量）                （1）
     手段偏差（誤差、變化）范圍 << 對象偏差（誤差、變化）范圍    是統計測量（變量測量）                （2）
     條件（1）（2）在測量（以認知量值為目的）情況下，轉化為看被測量是常量還是變量（這種表達通俗、易掌握）。
     計量的對象是測量儀器，手段是計量標準，必須符合條件（2），而絕不是條件（1），因此，計量是統計測量。于是，第一，計量時要用單值的西格瑪，即用貝塞爾公式算得的西格瑪不能除以根號N；第二，計量不能剔除異常數據。要查明原因，如果不是操作錯誤（重測即知），要判定被檢儀器不合格。我認為，出了異常數據，一舍了之，是不嚴格的。本人從事測量計量工作35年，從來沒舍棄過異常數據。出現過幾次異常數據，都把這看成是天賜良機，一定要找出原因，竟因此而有五次發現重要問題。以前的帖中，我一一介紹過詳情，這里就不重復了。

非常有學問，看后覺得還有點搞不懂，是不是常量（如量塊）和波動不大（如電壓）就為常量測量，變化大的（如時間）就為統計測量。同樣用不同準確度等級的電子天平（分辨力差別很大）去稱量同一物體（被測量），怎樣區分常量測量和統計測量呢？

　　除了常數以外，客觀現實中的被測量，“變”是永恒的話題，因此變與不變只不過是個變化量大小的問題。任何一個實際量都會隨著時空的不斷變化而變化著，一個砝碼也是一樣。
　　當測量方案（包括測量設備）的可靠性（不確定度）遠大于被測量隨時空的變化而產生變化量時，被測量的變化量將無法察覺，被測量就是個“常量”。但如果不斷地提高檢測方案（包括測量設備）的可靠性，檢測方案的不確定度將接近甚至遠小于被測量隨時空變化而產生的變化量時，被測量的變化量將被凸顯出來，被測量將成為“變量”，此時用常規的“常量測量”方法測量將是困難的，而不得不使用所謂的“統計測量”方法。
　　因此，我認為史老師提出的“常量測量”和“統計測量”如果作為測量方法分類的一種形式還是有道理的，但把被測量分為不變的“常量”和變化的“統計量”卻并無必要。因為任何“量”都是隨時空不斷變化而變化著的量，“常量”和“統計量”之間并不存在截然的界限，識別被測量是“常量”還是“統計量”，完全取決于測量方案的不確定度與被測量隨時空變化而變化的那個變化量之間的差距孰大孰小，因此這個問題說到底還是測量方案的正確選擇問題。

回復 13# moonkai

   
    “你說（用）秤來秤（稱）東西，那個東西質量不變，其實也不對，我們公司的電子分析天平秤M1級砝碼的時候，能達到E-7克，因為電子天平的精度很高也會跳動的。但是用普通電子秤就不會跳動了，所以你兩個測量概念的提出好像有點問題。至少你舉的例子，不足以說明你的這個概念成立。”
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  被測量本身的質量不變，它就是常量，對它的測量就是常量測量（我又把它稱為基礎測量）。用電子天平測量M1級的砝碼，砝碼是被測量，砝碼本身的質量是不變的，電子天平示值的變化，那是測得值在變，表明的是電子天平的穩定性與隨機誤差，變化是測量儀器的變化，不是被測量的變化。如果把砝碼換成酒精，由于酒精烝發，質量就變化了；如果加上不均勻的吹風，質量均勻減小，且又疊加上隨機變化，就成變量測量了（我叫它統計測量）。

質量測量的情況，絕大多數是常量測量。常量測量的目的是求被測量的量值，測得值的變化是手段的缺欠，西格瑪要除以根號N,表明已減小隨機誤差。

以上講的是測量物體質量的情況。      

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如果是用E1級砝碼考核天平的重現性，此時砝碼是測量手段，而天平是考核對象，這時的測量是統計測量，要用單值的西格瑪來表示天平的性能，不能用平均值的西格瑪。用貝塞爾公式算出的西格瑪，不再除以根號N.

回復 12# 史錦順


    史老，你說秤來秤東西，那個東西質量不變，其實也不對，我們公司的電子分析天平秤M1級砝碼的時候，能達到E-7克，因為電子天平的精度很高也會跳動的。但是用普通電子秤就不會跳動了，所以你兩個測量概念的提出好像有點問題。至少你舉的例子，不足以說明你的這個概念成立。

回復 11# moonkai

      兩類測量的概念，是我提出來的，并沒有被廣泛認可，更沒有得到國家計量主管部門的采納，現在是學術討論，僅僅是提出個人看法。我認為：兩類測量是客觀存在。用秤量物體的重量就是常量測量；因為被測量不變，是常數。用準確度千分之一的數字電壓表去測量市電電壓，就是統計測量，因為數字電壓表的讀數不停地變化。檢定測量儀器，此時被檢儀器是對象，而標準是手段，手段（標準）的變化遠遠小于被檢儀器的變化，因此是統計測量。統計測量不論測量次數N是多少，都不能除以根號N.如果除以根號N,就虛夸了被檢儀器的指標。
      至于當前進行的檢定裝置的重復性考核，用被檢儀器來進行，是不合理的。國家質檢總局已兩次通知，簡化重復性考核與不確定度評定，共26項。有網友問質檢總局，“簡化了，是否可以不進行”，質檢總局回答說：“可以”。以上情況，供你參考。

你們說的常量測量和統計測量，是否就是測量的重復性和測量的復現性？

我從一個初學者的角度來談談我的想法，我今年準備考一級，剛剛學了教材，請大家指教。用貝塞爾公式算出的實驗標準偏差S(X),也就是大家說的西格瑪，表示了測量數據的離散性，用這種方法獲得的實驗標準偏差其實是有限次獨立重復測量的得到的標準偏差的估計值，它可以用來評定測量的重復性，也可以用來評定測量的復現性。
    先說測量的重復性，根據《JJF1001通用計量術語及定義》，是指在相同條件下，對同一被測量進行連續多次測量所得結果之間的一致性。測量結果的重復性是測量不確定度的一個分量，它是獲得測量結果時，各種隨機影響因素的綜合反映，包括了所用的計量標準、配套儀器、環境條件等因素以及實際被測量的隨機變化。由于被測對象也會對測量結果的分散性有影響，特別是測量對象是非實物量具的測量儀器時（就像史老說的時間頻率測量）。因此測量結果的分散性比計量標準本身所引入的分散性稍大。評定重復性時，通常N取10.在測量結果的不確定度評定中，當測量結果由單次測量得到時，S(X)直接就是由重復性引入的標準不確定度分量。當測量結果由N次重復測量的平均值得到時，重復性引入的標準不確定度分量就是S(X)/√N。
    再來說測量復現性，測量復現性是指在改變了的測量條件下，同一被測量的測量結果之間的一致性。改變了的測量條件，可以是：測量原理、測量方法、觀測者、測量儀器、計量標準、測量地點、環境及使用條件、測量時間。改變的可以是這些條件中的中的一個或多個。但是測量重復性，是指不改變測量條件，同一被測量的測量結果之間是一致性。
    對時間頻率測量來說，我聽了史老的分析，我也覺得用算術平均值表示測量結果時，測量不確定度直接用S(X)比用S(X)/√N要合理，直觀從大小來看，S(X)比較大，用s（x)/√n,數值會趨向0.

科學是在不斷發展變化的，一個道理一個理論也不是放之四海皆準。史老提出的問題有道理，規矩版主敢于質疑，大家意見交鋒，問題越討論越清楚，好好好！

回復 6# 規矩灣錦苑

               答規矩灣錦苑問

                                                                                                 史錦順

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規矩灣錦苑的帖子，語氣平和。盡管有些不同意見，但主要內容是對問題不甚理解，想問問。我試著答復如下。有不同看法，再討論。

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【規矩灣錦苑問】

（一）關于單值的西格瑪與單次測量的西格瑪

在測量領域里的，量的“值”自然是通過測量而獲得，史老師所講的“單值”如果不是通過單次測量的測量結果，那么就請老師講一講“單值”的來歷。
      【史答】

測量計量工作者，要養成習慣，不進行多次測量，就不出數據。多測幾次，可以減小測量儀器的隨機誤差，可以避免偶然性錯誤。而更重要的是，凡需要給出統計表征量西格瑪的地方，要進行N次測量，我認為N不能小于10。我搞電子計量時，都是取N=10。1975年后搞頻率測量與計量，統計表征量用阿侖方差。規定N取100，只能照辦。好在都是測量儀器自動處理。

你讓我講“單值的來歷”，這太簡單了。來了100個，是一個一個接著來的，總共100個單值。N個數，每個都是單值，還問什么來歷。你的誤解是：只有測一次，那個值才是單值。不，測量得到的值，可能很多，而每個都是單值。

用貝塞爾公式計算得到的西格瑪，就是單值的西格瑪！計算靠N個值，但是，σ 是單值的西格瑪。

σ(平)=σ/√N 是平均值的西格瑪。

  對變量A進行N次測量。用平均值表示A。而變量A的分散性是σ。σ的數學期望是常數。
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【規矩灣錦苑問】

（二）關于統計測量與常量測量

所謂“快變量測量”，快慢本來就是個相對概念。時間段壓縮，再慢也是快的；時間段拉伸，再快也是慢的，因此統計測量與常量測量本絕對的分界線。說到底還是檢測環境條件的約束，對檢測時空的約束。將時間限制在足夠短的時間段內測量，再快的“快變量”都可視為“常量”。所以本人贊同6樓lyx老師的觀點：不大贊同史先生專立一類“統計測量”的觀點，認為這應該就是“測量”與“統計”這兩項各有相應領域歸屬的技術的組合應用，從“測量”技術的角度而言，并沒有大不同。　　對于“頻率測量”本人確實不懂，我相信論壇中懂頻率測量的量友并不是大多數，相對而言從事或見過長度測量和力學測量的人可能更多些。為了讓大家明白你的“統計測量”原理，能不能請史老師舉出長度測量或力學測量的例子呢？
    【史答】

先生說得對，快慢是相對的。但快慢的程度，是十分重要的。

我所指的快慢，是相對于測量一回的時間而言的。取一個數據是一次測量，設時間為τ（時頻界稱采樣時間）。測量N次，取平均值，算測量一回。所用時間大致是Nτ, 在Nτ時段內有可發現的變化的是快變量，否則是慢變量。慢變量測量可按常量測量處理。

例如，頻率計量有一項是測量晶振的日老化率（規定測量7周天，每天測量兩回，沒回測三次，τ=10秒）在一回測量的時段（30秒）內的變化可略（示值的變化是測量儀器的隨機誤差），被測量視為常量，按常量測量處理。

測量頻率源（信號源、晶振、原子頻標）的頻率的短穩，采樣時間為τ=1ms；τ=10ms；τ=0.1s；τ=1s；τ=10s。每回測量100次，每個頻率值不同，這就是快變量。快變量測量是統計測量，測量儀器的隨機誤差范圍必須小于被測量變化范圍的1/3。示值的變化表現的是被測量的變化，測量才有效。

以上不是老史的理論設計，而是當前我國與國際的通常做法。因此，兩類測量是客觀存在。由于兩類測量的處理方式的巨大差異（1 如何選測量儀器；2 能否除以根號N；3 能否舍棄離群數據；4 計量活動中測量的性質與處理），兩類測量的劃分在許多領域是必要的。

至于力學與長度計量，我不懂，不敢瞎說。隨著測量儀器的進步，也必將出現統計測量。用激光比長儀在普通場所測量一米長的鋁棒，就是統計測量。鋁的線脹系數是23E-6，用鋁材制造的恒溫箱，其支架的溫度隨箱內溫度變化。設電子恒溫控制的溫箱，溫度的隨機變化范圍是0.5℃，則激光比長儀測得的一米長的鋁棒橫梁的長度，其隨機變化范圍大致是12E-6。激光比長儀的誤差范圍是0.5E-6可以忽略。這就是統計測量。鋁橫梁長度的隨機變化，要用單值的西格瑪表征。

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【規矩灣錦苑問】

（三）關于統計測量必須用單值的西格瑪

史老師已經認可“如果是基礎測量（被測量是常量），用平均值的西格瑪σ/√N是對的”，在這點上大家達到了統一。　　關于“統計測量”，史老師能不能舉例說明“必須”用的那個“單值的西格瑪”是如何得到的呢？為了簡化描述，例如假設統計測量的次數為10次，這個“小”統計測量的“單值的西格瑪”如何計算？如果做10組這樣的統計測量，共得100個測得值，這個“大”統計測量的“單值的西格瑪”又如何計算？

【史答】

1 基礎測量，用平均值的西格瑪是必須的。我從來沒反對過。說我“認可”，是極易引起誤解的話，似乎我曾反對過，現在“認可”了。不，沒出現過這種情況。

2 關于統計測量，大數N、小數N

我在頻率的測量計量中，出過大量的單值西格瑪數據。

辦法是：100個頻率差值為一次測量，計算單值的σ(τ)，τ是一個頻率值的采樣時間。

以上是規程要求。

我的特殊作法（宇航設備檢驗）：將以上測量進行10次，稱一回測量。每回測量得10個西格瑪。取10個西格瑪的平均值做為單值分散性（穩定性）測量結果。

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史先生的理論：
      第二類  統計測量
       測得到的多個值，每個值（什么值？測得值還是真值？看上下文是測得值哦，這里容易導致偷換概念）都是被測量的實際值（實際值是真值還是測得值？）；（真值還是測得值？）存在期望值，用單個值（真值還是測得值？）的標準偏差σ表征；有標稱值（目標值），講究準確度。

試著翻譯1：測得到的多個值，每個測得值都是被測量的測得值，測得值存在期望值， （測得值離散性）用單個測得值的標準偏差σ表征，有標稱值（目標值），講究準確度。試著翻譯2：測得到的多個值，每個測得值都是被測量的測得值，真值存在期望值， （真值離散性 ）用單個測得值的標準偏差σ表征，有標稱值（目標值），講究準確度。
試著翻譯3：測得到的多個值，每個測得值都是被測量的真值，測得值存在期望值， （測得值離散性 ）用單個測得值的標準偏差σ表征，有標稱值（目標值），講究準確度。
試著翻譯4：測得到的多個值，每個測得值都是被測量的真值，真值存在期望值， （真值離散性 ）用單個測得值的標準偏差σ表征，有標稱值（目標值），講究準確度。


       統計測量有一個分支是發散型統計測量（最典型的是頻率穩定度測量）。測得到的多個值，每個值都是實際值；存在發散困難，方差無數學期望這是什么語法，無方差還是無數學期望，還是指二者全無？，貝塞爾公式不成立；有標稱值（這個標稱值和上面的”方差無數學期望“是一脈相承嗎？）（目標值），講究準確度。要用自偏差（啥叫自偏差啊，先生能給個明確的定義否？）（或阿侖偏差，注意，阿侖偏差要除以根號2）。
      
試著翻譯1： 統計測量有一個分支是發散型統計測量（最典型的是頻率穩定度測量）。測得到的多個值，每個值都是測得值；存在發散困難，無方差數學期望,貝塞爾公式不成立；有標稱值（目標值），講究準確度。要用自偏差（或阿侖偏差，注意，阿侖偏差要除以根號2）。
試著翻譯2： 統計測量有一個分支是發散型統計測量（最典型的是頻率穩定度測量）。測得到的多個值，每個值都是測得值；存在發散困難，無方差有數學期望,貝塞爾公式不成立；有標稱值（目標值），講究準確度。要用自偏差（或阿侖偏差，注意，阿侖偏差要除以根號2）。
試著翻譯3： 統計測量有一個分支是發散型統計測量（最典型的是頻率穩定度測量）。測得到的多個值，每個值都是測得值；存在發散困難，有方差無數學期望,貝塞爾公式不成立；有標稱值（目標值），講究準確度。要用自偏差（或阿侖偏差，注意，阿侖偏差要除以根號2）。

回復 5# 史錦順

　　（一）關于單值的西格瑪與單次測量的西格瑪
　　在測量領域里的，量的“值”自然是通過測量而獲得，史老師所講的“單值”如果不是通過單次測量的測量結果，那么就請老師講一講“單值”的來歷。
　　在多次測量（n次測量）中存在兩個西格瑪：“單值的西格瑪”和“平均值的西格瑪”，你說的這個“多次測量”正是指的對測量方法優劣進行研究的“重復性實驗”，通過實驗可以得到“單值的σ ”和“平均值的σ ”。當使用所研究的測量方法，直接將測得值作為測量結果時，表示對測量次數不限制，測量一次也可以，此時必須使用“單值的σ ”。如果實際測量N次取平均值作為測量結果，那么此時標準差就是“平均值的σ ” σ(平)=σ/√N。如果將n次實驗的測得值取平均值作為測量結果，此時標準差雖然也是“平均值的σ ”，但應該是σ(平)=σ/√n。
　　（二）關于統計測量與常量測量
　　所謂“快變量測量”，快慢本來就是個相對概念。時間段壓縮，再慢也是快的；時間段拉伸，再快也是慢的，因此統計測量與常量測量本絕對的分界線。說到底還是檢測環境條件的約束，對檢測時空的約束。將時間限制在足夠短的時間段內測量，再快的“快變量”都可視為“常量”。
　　對于“頻率測量”本人確實不明白，我相信論壇中從事頻率測量的量友并不是大多數，相對而言從事和見過長度測量和力學測量的人可能更多些。為了讓大家明白你的“統計測量”原理，能不能請史老師舉出長度測量或力學測量的例子呢？
　　（三）關于統計測量必須用單值的西格瑪
　　史老師已經認可“如果是基礎測量（被測量是常量），用平均值的西格瑪σ/√N是對的”。關于“統計測量”，史老師能不能舉例說明“必須”用的那個“單值的西格瑪”是如何得到的呢？為了簡化描述，例如假設統計測量的次數為10次，這個“小”統計測量的“單值的西格瑪”如何計算？如果做10組這樣的統計測量，共得100個測得值，這個“大”統計測量的“單值的西格瑪”又如何計算？

回復 2# 規矩灣錦苑

（一）單值的西格瑪，不是單次測量的西格瑪

請你注意我的用詞，是“單值的西格瑪”，而你的基本意思是“單次測量的西格瑪”。

在我看來，我們討論兩個西格瑪，不要扯進單次測量的問題。我們討論的是精密測量問題，是排除“一次測量”的。因為“一次測量”，只在低檔次的、低精度的、粗略的測量行為中出現，在精密測量中是不允許的。說單次測量用“單值西格瑪”，實際是混淆視聽；只測量一次的場合，十分粗糙，沒必要講究西格瑪。在GUM中，就不談單次測量的西格瑪。JJF起草的中國專家，講了評定的測量次數與應用的測量次數，是脫離實際的。人們都是評了就用，很難想象評定與應用分兩種場合。如果分兩種場合，評定者不會給出評定時的測量次數，讓用戶怎么計算？在統計測量的情況下，一次測量是無效測量。量值在變，只測一次不行！

在多次測量中（不是一次測量），存在兩個西格瑪：“單值的西格瑪”（用貝塞爾計算的）和“平均值的西格瑪”。常量測量，可以用平均值的西格瑪。統計測量，測得值各個是實際值（誤差可略，實際值就是真值），量值的分散性必須用單值的分散性表征。“暫時不懂，你慢慢體會去！”（中國計量科學研究院研究員陳成仁網上講課用語。）

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（二）統計測量的特點

【規矩灣錦苑】

測量結果的標準差要不要除以√N，和“常量測量”與“統計測量”毫無瓜葛，只看給出的測量結果通過多少次測量取平均值，只與最終給出測量結果的測量次數N有關……

【史評】這是錯話。

一個人見聞有限，缺少某些方面的知識，本是常事，不會有人說什么，但不知道的事情，不要亂說。先生要好好體會體會“統計測量（快變量測量）”這一客觀存在。

我講一下頻率測量計量的實際情況。

頻率測量的大多數場合是統計測量。頻率源的穩定性用阿侖方差來表達。測量100次，而取單值的西格瑪。頻率值當然取平均值。因為這是變量測量，測量N次，而西格瑪不準除以根號N.

如果按不確定度的A類評定。測量100次，就可以除以根號100，那就虛夸指標10倍。宣貫不確定度論的大員們，在許多場合說一不二。就是不敢碰頻率測量計量這個領域的事。因為頻率界有馬鳳鳴為主要起草人的《JJF1180-2007》，該規范用定量的準確度，用阿侖方差，就是不用“不確定度”。老史反對不確定度論，實踐基礎是頻率測量計量，法規根據就是《JJF1180-2007》!

不過，我要替規矩灣先生說句話。弄不懂有“統計測量”這一說，世界上大有人在。那些提出不確定度論的美國人，就不懂“統計測量”。最明顯的例子是GUM（4.4.3）上的溫度測量。就是一筆混沌帳。溫度測量的結果，那么大的分散性，竟說不清是溫度計的，還是熱源的，簡直是胡鬧！

時代在前進，科學在發展，像不確定度論這樣的蒙混，沒前途！

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（三）統計測量必須用單值的西格瑪

【規矩灣錦苑】

測量N次取平均值，就要用平均值的西格瑪σ/√N。

【史評】

  測量N次，取平均值，是必然的。

1 如果是基礎測量（被測量是常量），“用平均值的西格瑪σ/√N”是對的。

2 如果是統計測量（被測量是快變化量），量值的分散性，必須用單值的西格瑪，不許除以根號N。在時頻界，這一點早已不是哪個人的學術主張，而是計量規范的規定，因為必須用阿侖方差，而阿侖偏差就是單值的西格瑪。老史不過是把這一點挑明。頻率界的作法是對的。其他各界，只要達到一定水平，也必然如此。因為道理是相通的。孵雞的溫箱的溫度穩定性，一定用統計測量，表征量用單值的西格瑪，如果按常量測量處理，按平均值的西格瑪要求，種蛋都成“壞蛋”了！

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回復 3# 星空漫步

先生注意到變量測量同常量測量的區別，這是重要的。

有一種情況，就是測量儀器的西格瑪與被測量的西格瑪大致差不多，這種情況沒法處理，必須回避。解決的辦法是選擇測量儀器。選測量儀器的西格瑪比被測量的西格瑪小到1/3以下，測量儀器的影響就可以忽略了。被測量變化與儀器隨機誤差都是隨機變量，均方合成，測量儀器的影響僅1/18（1加1/9后開方）。當前，時頻界這樣處理問題已成常規。每個研制者、計量者、測量者都這樣處理。

我所稱的“統計測量”就是指快變量的情況。一個源，而輸出的量值在變。這在電學領域有電壓、電流、功率等量；在無線電電子學中、放射性中都有多種變量。溫度測量計量也基本上是變量，只是處理得不好，以致有GUM測溫度的混沌帳（分不清溫度源與溫度計）。在時頻界，因為測量儀器與標準的等級差別大，常量測量與統計測量不區分就沒法工作。因此，時頻界是處理得很好的，也是抵制不確定度論的。時頻界得過諾貝爾獎的就有五人。又有專用的阿侖方差，不確定度論插不進手。特別是，不管測量100次（秒以下穩定度）、30次（小時穩定度）都是用單值的西格瑪，而不用平均值的西格瑪。即使取平均值當量值的表征量，也是如此。因為單值的西格瑪才是變量分散性的特性，即特征量。平均值的西格瑪的數學期望值是零，沒法當變量的表征量。

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單次測量用單值西格瑪σ大家都沒有異議。
如果被測量是常量的話，N次測量的平均可以使用σ(平)=σ/√N，此時的σ所反映的是測量儀器的重復性精度。樓上兩位的分歧在于變量的多次測量是否可以按常量多次測量一樣，簡單地直接用σ(平)=σ/√N。

在此我個人贊成史老的意見。
我認為變量的多次測量不能按常量多次測量一樣，簡單地直接用σ(平)=σ/√N，這樣算出來的σ(平)含義不明。

我的理解是：
既然是變量，那么用同一儀器對各變量分別做多次測量時，盡管表征儀器重復性的σ值相同，但由于各變量的分布中心是不同的，所以簡單地用σ(平)=σ/√N，不能反映變量均值的離散性，因為這里面少了變量間的離散性。所以此時要想求各變量的均值離散性，恐怕需要對各變量分別做N次測量，最后利用N測量的各變量各自的均值，計算均值間的離散，即此時的單值σ(N)。用各變量N次測量的均值所計算出來的σ(N)，與2樓直接計算出來的σ(平)=σ/√N，結果是兩回事。全體變量總的離散性恐怕要=σ(變量均值)+σ(儀器)。

個人意見，僅供參考。歡迎高手指正！

　　史老師的開場白說的非常在理，早在讀書時，計量專業的老師就告訴我們：“測量得到N個數值，用貝塞爾公式算得的σ（實驗標準偏差），是單值的西格瑪。取N個數值的平均值，平均值的分散性用σ(平)表示，σ(平)=σ/√N 。”
　　這句話明明白白地告訴我們，σ是通過n次重復性實驗得到的實驗標準偏差。如果以單次測得值作為測量結果，它（單值）的標準差就是n次重復性實驗得到的σ。如果“取N個數值的平均值”，即實際以N次測量的算術平均值作為測量結果，這個測量結果的“分散性用σ(平)表示，σ(平)=σ/√N ”（注：一定要區分重復性實驗次數n與實際給出測量結果時測量次數N的區別）。因此，測量結果的標準差要不要除以√N，和“常量測量”與“統計測量”毫無瓜葛，只看給出的測量結果通過多少次測量取平均值，只與最終給出測量結果的測量次數N有關，當N=1時，就是單次測得值作為測量結果（單值）的標準差σ。
　　史老師已經認可了在經典測量（“常量測量”）中，“多次測量，取平均值的西格瑪除以根號N，表明增加測量次數，減小了隨機誤差。這是正確的作法”，但從帖子的內容來看尚不認可“統計測量”中測量次數的影響。其實很簡單，假設n次測量作為一個（一組）統計測量給出測量結果A1，A1的標準差設定為σ的話，我們作N組這樣的測量，將得到A1、A2、……AN共N個測量結果，那么以A(均)＝（A1＋A2＋……＋AN）/N為最終統計測量的結果，A(均)的標準差必為σ/√N，說明σ(平)=σ/√N照樣適用于“統計測量”。
　　所以，“常量測量”時單次測量算作一個測量方案，“統計測量”時取n次測量的平均值算作一個測量方案，它們的標準差如果都記為σ的話，各自作N次相同的測量方案取平均值為最終測量結果，無論是常量測量還是統計測量，測量一次，用單值的西格瑪σ，測量N次取平均值，就要用平均值的西格瑪σ/√N。