計量論壇

標題: 討論：誤差與偏差的異同 [打印本頁]

作者: 史錦順 時間: 2019-5-9 15:53
標題: 討論：誤差與偏差的異同
本帖最后由史錦順于 2019-5-9 16:02 編輯

討論：誤差與偏差的異同

史錦順

（一）基本知識：貝塞爾公式的推導
《史法測量計量學》摘引

-
（二）求測量值的平均值與期望值的距離
   令：
                  d[sub]i [/sub]= M[sub]i[/sub] – E    （隨機誤差）                            （1）
                  ν[sub]i [/sub]= M[sub]i[/sub] – M[sub]平[/sub] （殘差）                                  （2）
   記D是測得值的平均值與期望值的距離
                  D = (1/N)∑d[sub]i [/sub]                                                 （3）
   將D平方再開方（史法）。
                  D[sup]2[/sup] = (1/N[sup]2[/sup])(∑d[sub]i[/sub])[sup]2[/sup]
                     = (1/N[sup]2[/sup]) [∑(d[sub]i[/sub])[sup]2[/sup]+2∑d[sub]i[/sub]d[sub]j[/sub](i≠j) ]
   由于正態曲線（鐘形線）的對稱性，∑d[sub]i[/sub]d[sub]j[/sub]≈0。有
                  D[sup]2[/sup] = (1/N[sup]2[/sup]) (∑(d[sub]i[/sub])[sup]2[/sup])             （4）
   《史法測量計量學》已證明，如（一）之（7.8式）：
                  ∑d[sub]i[/sub][sup]2 [/sup]= [N/(N-1)]∑ν[sub]i[/sub][sup]2[/sup]                      （5）
   將（5）代入（4）式，有
                  D[sup]2[/sup] = (1/N[sup]2[/sup]) [N/(N-1)]∑ν[sub]i[/sub][sup]2
[/sup]                      = (1/N) [(∑ν[sub]i[/sub][sup]2 [/sup])/(N-1)]
                     = (1/N) σ[sup]2
   [/sup]得到：
                  D = σ / √N                                  （6）
   （6）是單值的正態分布曲線的結果。

   單值(M[sub]i[/sub])的正態分布的鐘形曲線，有下列參量:
   1 測量值系列 M[sub]i[/sub]；
   2 測量值的平均值 M[sub]平[/sub]；
   3 標準偏差；
   4 平均值對期望值的偏離D = σ / √N；
   5 以平均值為中心、以3σ為半寬的區間包含概率是99.73%.
-
   討論題：基礎測量（被測量是常量）與統計測量（被測量是隨機變量），測量結果的表達，應有那些不同？
-

作者: 都成 時間: 2019-5-9 16:44
本帖最后由都成于 2019-5-9 16:49 編輯

請史老就基礎測量（被測量是常量）與統計測量（被測量是隨機變量）先各列舉五個實例。

作者: 史錦順 時間: 2019-5-11 15:01
本帖最后由史錦順于 2019-5-11 15:13 編輯

-
【史錦順說明】主文有重要修改，重發如下。
-

討論：誤差與偏差的異同

史錦順

（一）基本知識：貝塞爾公式的推導
《史法測量計量學》摘引

誤差計算2 .bmp (2.52 MB, 下載次數: 720)

作者: 史錦順 時間: 2019-5-11 15:19
本帖最后由史錦順于 2019-5-11 15:49 編輯

（接上）

（二）求測量值的平均值與期望值的距離
   令：
                  d[sub]i[/sub] = M[sub]i[/sub] – E    （隨機誤差）             （1）
                  ν[sub]i[/sub] = M[sub]i [/sub]– M[sub]平 [/sub]  （殘差）                   （2）
   記D是測得值的平均值與期望值的距離（統計值）
                  D =(1/N)∑d[sub]i[/sub]                            （3）
   將D平方再開方（史法）。
                  D[sup]2[/sup] = (1/N[sup]2[/sup])(∑di)[sup]2[/sup]
                     = (1/N[sup]2[/sup]) [∑(d[sub]i[/sub])[sup]2[/sup]+2∑d[sub]i[/sub]d[sub]j[/sub](i≠j) ]
   由于正態曲線（鐘形線）的對稱性，∑d[sub]i[/sub]d[sub]j[/sub]≈0。有
                  D[sup]2[/sup] = (1/N[sup]2[/sup]) (∑(d[sub]i[/sub])[sup]2[/sup])                   （4）
   《史法測量計量學》已證明，如（一）之（7.8式）：
                  ∑d[sub]i[/sub][sup]2[/sup] = [N/(N-1)]∑ν[sub]i[/sub] [sup]2[/sup] ]                   （5）
   將（5）代入（4）式，有
                  D[sup]2[/sup] = (1/N[sup]2[/sup]) [N/(N-1)]∑ν[sub]i[/sub][sup]2[/sup]
                     = (1/N) [(∑ν[sub]i[/sub][sup]2[/sup] )/(N-1)]
                     = (1/N) σ[sup]2
[/sup]    得到：
                  D = σ / √N                                                             （6）
   （6）是單值的正態分布曲線的結果。

   單值(M )的正態分布的鐘形曲線，有下列參量:
   1 測量值系列 Mi；
   2 測量值的平均值 M[sub]平[/sub]；
   3 標準偏差 σ；
   4 量值平均值對期望值的偏離統計值 D = σ / √N；
   5  σ是標準偏差。3σ才是偏差范圍。因此平均值對期望值的偏離范圍是3D；
   6  以平均值為中心、以3σ為半寬的區間包含測量值（Mi）概率是99.73%；
   7  以平均值為中心、以3σ/√N 為半寬的區間包含期望值（E）的概率是99.73%.
-
   討論題：基礎測量（被測量是常量）與統計測量（被測量即講究的對象是隨機變量），測量結果的表達，應有哪些不同？

作者: njlyx 時間: 2019-5-12 14:53
【由于正態曲線（鐘形線）的對稱性，∑didj≈0 】？……其中的"求和"范圍(項數)有多大？如果是"無窮大"，成立；如果"足夠大"（由此"足夠大"項數樣本值"統計"出的"概率密度"已非常接近那個"鐘形曲線"---如果不做"額外"要求，此"足夠大"項數不說數千、也可能要大幾百！），大概成立；如果項數只不過平常多見的數十項，若不要求"額外"的條件，是不能成立的！……這個"額外"條件就是:這些樣本值之間相互"獨立"---"互不相關"。……這些在"概率統計"理論中有明確論斷。

作者: 15950240181 時間: 2019-5-12 15:40
老師好,向老師學習中.已經收藏,待慢慢消化.

作者: 都成 時間: 2019-5-12 19:28

史錦順發表于 2019-5-11 15:19
（接上）

（二）求測量值的平均值與期望值的距離

請史老就基礎測量（被測量是常量）與統計測量（被測量是隨機變量）先各列舉五個實例很難嗎？這么久了沒有看到。
那好，不舉基礎測量的了，只舉五個統計測量的實例。記得您說計量（檢定/校準）是統計測量，舉例來看看。

作者: yeses 時間: 2019-5-14 07:38

都成發表于 2019-5-12 19:28
請史老就基礎測量（被測量是常量）與統計測量（被測量是隨機變量）先各列舉五個實例很難嗎？這么久了沒有 ...

常量和隨機變量的概念問題還真需要議一議。

作者: 都成 時間: 2019-5-14 08:12

yeses 發表于 2019-5-14 07:38
常量和隨機變量的概念問題還真需要議一議。

這是史老的獨家觀點，是需要好好議一議，我們一起來。可是五六天過去了連個實例都舉不出來，怎么議？

補充內容 (2019-5-14 11:55):
到時也請“njlyx”先生來參議。

作者: njlyx 時間: 2019-5-14 22:09

都成發表于 2019-5-14 08:12
這是史老的獨家觀點，是需要好好議一議，我們一起來。可是五六天過去了連個實例都舉不出來，怎么議？

補 ...

如果絕對"較真"，所有被測"量"都具有"隨機"散布在一定范圍內的無窮多個"量值"，即都是所謂"隨機量"。

如果被測"量"的"量值"散布范圍"小"到實用可以忽略不計，便成了具有"唯一量值"的所謂"常量"。

所謂"常量"與所謂"隨機量"的"測量"是有區別的--

對于"常量"，"測量"一次就能得到有用的"測量結果"；"測量"多次，可以得到"更好"的（"不確定度"更小的）"測量結果"；

對于"隨機量"，只"測量"一次的"測量結果"是沒有"用"的，必須"測量"足夠多次，才能得到有用的"測量結果"。

無論是"常量"，還是"隨機量"，都可基于多次"測量"而進行"統計"。……不贊成史先生的"基礎測量"/"統計測量"分類。

作者: 都成 時間: 2019-5-16 11:54

njlyx 發表于 2019-5-14 22:09
如果絕對"較真"，所有被測"量"都具有"隨機"散布在一定范圍內的無窮多個"量值"，即都是所謂"隨機量"。

...

您說的很對。
關于史先生的"基礎測量"/"統計測量"分類我也不同意，三年前就討論過，他始終堅持，這是他的相關理論的基礎，至關重要。這里他又提出了“基礎測量（被測量是常量）與統計測量（被測量即講究的對象是隨機變量）”的討論，我先讓他舉幾個實例，可不知什么原因遲遲舉不出來，要是很難就算了。

作者: njlyx 時間: 2019-5-16 16:29
本帖最后由 njlyx 于 2019-5-16 16:48 編輯

都成發表于 2019-5-16 11:54
您說的很對。
關于史先生的"基礎測量"/"統計測量"分類我也不同意，三年前就討論過，他始終堅持，這是他的 ...

   如果不計較“基礎測量（被測量是常量）與統計測量（被測量即講究的對象是隨機變量）”（未能理解“被測量即講究的對象是隨機變量”的確切含義？）的“分類”必要性與命名適宜性，討論【被測量是“常量”與被測量為“隨機變量”時，測量結果的表達，應有哪些不同？】，我認為是有意義的！

在經典“測量誤差理論”體系中——

(1.1) 被測量X是“常量”時，“測量結果”是一個“測得值”D，附加“可能誤差范圍”E，即 X=D±E

      (1.1.1)  如果只測量1次，“測量結果”為  X=D1 ± Ey，其中，D1 為這1次測量的“示值”，Ey為所用測量儀器的示值誤差“極值”；

      (1.1.2)  如果“重復”測量n次，“測量結果”為  X=Da ± Ea，其中，Da=(D1+D2+...+Dn)/n，為這n次測量的“示值”的平均值；Ea=√[ Eys^2+（Eyr^2）/ n]，Eys為所用測量儀器的示值誤差“極值”Ey的“系統分量”，Eyr為所用測量儀器的示值誤差“極值”Ey的“隨機分量”——Ey=√[ Eys^2+Eyr^2]； Ea≤Ey。

(1.2) 如被測量X是“隨機變量”，“測量結果”至少要有兩個“測得值”： “平均值” Xa 的“測得值”d、“標準偏差”σ的“測得值”s，并附加“它們的可能誤差范圍”Ed、Es，即
            Xa =d±Ed ； σ=s ± E s。
      這樣的“測量結果”必須要多次“重復”測量才能得到！.....如果“重復”測量n次，則常取 d =(D1+D2+...+Dn)/n，為這n次測量的“示值”的平均值；Ed=√[ Eys^2+（Eyr^2）/ n]，Eys為所用測量儀器示值誤差“極值”Ey的“系統分量”，Eyr為所用測量儀器示值誤差“極值”Ey的“隨機分量”——Ey=√[ Eys^2+Eyr^2]； Ed≤Ey；  s=√｛[（D1-d）^2+（D2-d）^2+...+（Dn-d）^2]/(n-1)}——即n次測量“示值”的所謂“實驗標準偏差”；  E s通常忽略不給出。

作者: yeses 時間: 2019-5-17 07:39
在概率論中，隨機變量僅僅指其值存在于一個概率區間的未知量，其所有可能取值構成一個隨機分布，由數學期望和方差二個參數來表達（當然還有概率密度函數）。當一個隨機變量的方差小到為0的時候，它就成了常量。常量是已知量，具有確切的數值。

被測量因為真值未知，所以都是隨機變量，即使其值客觀上處于恒定狀態。

隨機變量并不是僅指其數值客觀上處于隨時間隨機變化狀態。

作者: njlyx 時間: 2019-5-17 11:40
將"客觀存在"與人類"認知"有意攪在一起可能引起很多混亂。……即便不能"絕對"分清（世上少有"絕對"正確的事），也應適當的"實用"區分。……所謂"常量"，還是宜以"其客觀取值實用近似唯一"為"準"，不論人們是否已經"知道"了它的"值"。 "不確定量"與"隨機量"是可以有所區分的，前者著眼人們對它的"認識狀態"，后者表達它的"客觀取值情況"。雖然"絕對"的"常量"并不存在，但"實用"常量不會因為張三還不知道它的"值"而改"性"（在張三眼里，它還是個"不確定量"--不知道它的"值"究竟是多少？但張三"知道"它的"值"只會是3、4中的某一個，不會早3暮4。）

作者: yeses 時間: 2019-5-17 13:51
A知道C的成績是90分，90分就是常量。
B不知道C的成績，C的成績對于B來說就是隨機變量，可用C所在班級的全部成績統計出一個數學期望和方差來近似表達。

作者: njlyx 時間: 2019-5-17 15:12
將"隨機量"的"樣本值"與"常量"混為一談了……

作者: njlyx 時間: 2019-5-17 15:53
A知道C的成績是90分，"C的成績"對于A而言，是個"確定量"；B不知道C的成績，"C的成績"對于B來說，就是個"不確定量"；對于這個"不確定量"，B如果知道"C所在班級的全部成績的統計特征值：數學期望、方差、…“，可由此獲得"C的成績"這個"不確定量"的"概率取值范圍"，因為"C的成績"是"所在班級成績"這個"隨機量（總體）"的一個"樣本"值。

作者: njlyx 時間: 2019-5-17 16:03
一旦"評分"完成，"C的成績"就是一個"常量"了，無關A、B是否知道，它都是90分，不會變成其它分數。除非要"重新評分"，它才可能會變成一個"隨機量"。

作者: yeses 時間: 2019-5-18 06:52
樣本值就是常量，90分說破天都是常量。

概率本身就是主觀的東西，A知道了90分，概率就是100%；B不知道實際分數，才有概率問題。

用大量已知事件（100%概率）做統計，去評價一個未知事件的概率，這就是概率論的思維方式。

作者: yeses 時間: 2019-5-18 07:04

njlyx 發表于 2019-5-17 16:03
一旦"評分"完成，"C的成績"就是一個"常量"了，無關A、B是否知道，它都是90分，不會變成其它分數。除非要"重 ...

照這個邏輯，真值（測量實施時刻的真值）是常量。

但測量完成后測量結果也是常量，這樣誤差（最終唯一結果與真值之差）也是常量了。

作者: yeses 時間: 2019-5-18 07:11
本帖最后由 yeses 于 2019-5-18 07:28 編輯

njlyx 發表于 2019-5-17 15:53
A知道C的成績是90分，"C的成績"對于A而言，是個"確定量"；B不知道C的成績，"C的成績"對于B來說，就是個"不 ...

掌握的資料不同，給出的測量結果和不確定度評價就不同。

A：測量結果90分，不確定度0分。
B：用全班成績的平均作為近似測量結果，用方差作為不確定度評價。

樣本值都是常量，不可能用不確定的未知量作為統計樣本。就是說，過去把統計出的方差賦予每個常量嚴格說是錯誤的，這種做法實際是重新把每個樣本看作是未知不確定，但最后導致了一個悖論：最終測量結果---一個確定的常數---其方差不是0---還得把這個常數也重新看作是未知不確定---不然哪來不確定度？測量理論的邏輯糾纏不清了，這就是很多人難以理解不確定度概念的原因！

作者: njlyx 時間: 2019-5-18 11:50

yeses 發表于 2019-5-18 07:04
照這個邏輯，真值（測量實施時刻的真值）是常量。

但測量完成后測量結果也是常量，這樣誤差（最終唯一結 ...

"常量"是基于"量"的"客觀屬性"定義的，現行的"（測量）不確定度"是對"量"的"客觀屬性"和人類"認識能力"的"綜合"指標。………"常量"有"(測量)不確定度"很正常---人類由于"認識能力/測量能力"的局限，或不知道這"常量"的具體值是多少？或得到它的一個"測得值"時也不知道相應"測量誤差"的具體值是多少？

當被測量實用近似為"常量"時，什么"量"可能是"隨機量"呢？-----"測量系統"的"測量誤差"可能是"隨機量"，多次"重復測量"時其"取值"（樣本值）可能是"隨機變化"的，但人們不知道這些"樣本值"究竟具體是多少？相應的 "測得值"也可能是個"隨機量"，多次"重復測量"時它"取值"（樣本值）也是"隨機變化"的，人們可以得到一系列"參差不齊"的具體"樣本值"。由這兩個"隨機量"的"（測量）不確定度"可以"合成"被測"常量"的"測量不確定度"（此時，"測得值"這個"隨機量"也"測量系統"的"測量誤差"這個"隨機量"的"相關系數"應該大于0！）---這是"測量系統"的"測量誤差"有"隨機誤差分量"的情況！

如果"測量系統"的"測量誤差"沒有"隨機誤差分量"，只有"系統誤差"分量，那么，當被測量實用近似為"常量"時，便不會出現"隨機量"了！……只有兩個"不知道確切值"的"常量"---"被測量"、"測量誤差"，和一個知道確切值的"常量"---"測得值"。

作者: yeses 時間: 2019-5-18 12:01

njlyx 發表于 2019-5-18 11:50
"常量"是基于"量"的"客觀屬性"定義的，現行的"（測量）不確定度"是對"量"的"客觀屬性"和人類"認識能力"的 ...

閱卷完成后90分的客觀屬性是常量，但B因為不知道學生的姓名而用全班的期望和方差作為其成績的估計值，我們不能說他的做法不正確吧？---那么，豈不是常量變成了隨機變量？

作者: njlyx 時間: 2019-5-18 13:29

yeses 發表于 2019-5-18 12:01
閱卷完成后90分的客觀屬性是常量，但B因為不知道學生的姓名而用全班的期望和方差作為其成績的估計值，我 ...

你這是將兩個實際不同的"量"混為一談了： "C同學的成績"與"C同學所在班級任一個同學的成績"是兩個不同的"量"，前者只有一個可能的"取值"，是"常量"，后者有若干可能的"取值"，可算是所謂"隨機變量"。…………你為了"化解"【"常量"沒有"散布"，"方差"為0，怎么會有"測量不確定度"？】詰問，將"常量"與"確知其值的量"劃了等號，會干擾人們的若干"常識"，不妥。

"常量"的"（測量）不確定度"源于"測量能力"的"不足"---包括"測量儀器"本身性能"參量"的"隨機性"（是些"隨機量"）以及 "校準能力"的"不足"。

作者: 規矩灣錦苑 時間: 2019-5-19 01:07
　　常量也好，隨機量也好，都是被測量，“保持不變”和“在一定范圍內變化著”是兩種被測量的基本特性。
　　但我認為被測“常量”應該是特定的“一個”量，“一個”量的量值在規定的時空條件下，是客觀存在且保持不變的恒定的量，測量結果與這個客觀存在保持不變的量的“真值”之差就叫做“誤差”，這個誤差以固定不變的“系統誤差”形式存在著。因此，對于保持不變的“一個常量”的測量結果應該給出測得值（誤差）和依據獲得測得值的全部信息評估得到的測量不確定度。被測常量的例子例如一個球形工件的直徑，一個回路的電壓，一種材質的抗拉強度，某軸外圓的圓度誤差等都屬于單一被測測量的測量問題。
　　被測“隨機量”則是指具有相似特性的“一堆”量。在規定的時空條件下，被測的這“一堆”量，因每個樣本的個性差異而使測量結果在一定的范圍內“隨機”變化著，人們可以求得“一堆”量的平均值和實驗標準差。平均值代表了一堆量的“期望”，是“眾望所歸”，但每個樣本量都或多或少偏離這個“期望”，在一定的“包含”概率下，偏離的區間半寬就是“隨機誤差”。人們只知道一堆量中有的偏大，有的偏小，但都不會逃出以這個半寬確定的區間范圍。因此，被測量為“一堆隨機量”時，我們給出的測量結果是算數平均值及其實驗標準偏差。被測隨機量的例子例如某個國家人的壽命，某條線路乘客數量，某個城市的交通擁堵時間，某班級每個學生可能的考試成績等等，均為一堆被測量的測量結果問題。
　　至于史老師所講的“誤差”與“偏差”的異同問題，我認為已經得到了大家共同認可，誤差和偏差絕對值相等而符號相反，偏差其實與修正值具有相同的作用。需要提醒的是在幾何量計量中，設計人員提出的計量要求以公稱值（名義值）為參考對象，規定了上下兩個允許誤差值，即上下兩個極限，分別稱為上偏差和下偏差。

作者: yeses 時間: 2019-5-19 12:09

njlyx 發表于 2019-5-18 13:29
你這是將兩個實際不同的"量"混為一談了： "C同學的成績"與"C同學所在班級任一個同學的成績"是兩個不同的" ...

"C同學的成績"與"C同學所在班級任一個同學的成績"是兩個不同的"量"，很對，一個測量結果的誤差和其他任意一個重復測量結果的誤差也是二個不同的量，照這個邏輯，一個測量結果的誤差就屬于常量了。

關于常量是確定量還是恒定量，請翻閱概率論吧。

作者: njlyx 時間: 2019-5-19 16:39

yeses 發表于 2019-5-19 12:09
"C同學的成績"與"C同學所在班級任一個同學的成績"是兩個不同的"量"，很對，一個測量結果的誤差和其他任 ...

沒弄明白此處的"推論"。

存異吧。

作者: 規矩灣錦苑 時間: 2019-5-21 02:57
　　"C同學的成績"是一個確定對象的成績，應視為常量。"C同學所在班級任一個同學的成績"對于每一個他（她）自己而言，也是一個確定對象，因此也是常量。前者可稱為“保持不變的”系統誤差，后者可稱為“以可預見方式變化的”系統誤差，關鍵點都是直指單個被測對象。
　　但，如果“任一個同學”并不特指哪一個，而是泛指這個班級的每一個同學，作為這個班整體，每個對象就不是確定的，而是指具有統計規律的這個整體，這就是“統計量”了。此時就正如葉老師所說的，"C同學的成績"與"C同學所在班級任一個同學的成績"是兩個不同的"量"，很對，一個測量結果的誤差和其他任意一個重復測量結果的誤差也是二個不同的量。
　　一個特定被測對象的量是特定的，測量結果也是特定的，誤差就一定是一個特定的值，也就一定屬于系統誤差的性質。所以系統誤差的定義前提條件是“在重復測量中保持不變或以可預見方式變化”。正因為保持不變和可預見，測量次數也就無關緊要，即便測量一次也還是那個“保持不變”的誤差值，也還是“可以預見”的誤差值。
　　一群對象的整體作為被測量，測量結果存在于帶有分散性的區間內，所以，只有統計量才會有隨機誤差。因此，隨機誤差的定義前提條件是“在重復測量中按不可預見方式變化”，即誤差必為經多次測量且是以不可預見方式變化著的。而單個被測量的單次測量只有系統誤差而沒有隨機誤差。

作者: 史錦順 時間: 2019-7-1 16:41
本帖最后由史錦順于 2019-7-1 17:01 編輯

            論貝塞爾公式成立的條件
                           ——答njlyx先生
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                                                                                                                                                                                                史錦順
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      5月12日（5層樓）njlyx 質疑∑didj≈0是否成立。我寫了個回帖，當時沒有發。因為覺得此事重大，要十分慎重。
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   njlyx在5#說
   【由于正態曲線（鐘形線）的對稱性，∑didj≈0 】？……其中的"求和"范圍(項數)有多大？如果是"無窮大"，成立；如果"足夠大"（由此"足夠大"項數樣本值"統計"出的"概率密度"已非常接近那個"鐘形曲線"---如果不做"額外"要求，此"足夠大"項數不說數千、也可能要大幾百！），大概成立；如果項數只不過平常多見的數十項，若不要求"額外"的條件，是不能成立的！……這個"額外"條件就是:這些樣本值之間相互"獨立"---"互不相關"。……這些在"概率統計"理論中有明確論斷。】
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   先生過慮了。證明貝塞爾公式，以及我的證明：“平均值與期望值距離的公式”，都要求有“∑d[sub]i[/sub]d[sub]j[/sub]的量值”這個條件。倘如先生所言，通常的測量幾十次貝塞爾公式不能成立，誤差理論與統計理論，就都沒有實際意義了。
   事實絕非如此。二百多年來，測量計量學與稍晚一些的數理統計理論，對貝塞爾公式的應用是成功的，貝塞爾公式的正確性是沒有疑問的。先生的問號，說明先生對貝塞爾公式正確性的懷疑。
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   精密測量（多次測量）的測量次數，不少于20次就可以了。一般應在30次左右（頻率穩定度要求測量100次）。至于有些人搞的測量6次是太少了。那是一些人為推行其某種統計法提倡的，而其根據又是貝塞爾公式。所謂“極差法”，由于取值過少，獲得值差別很大，除個別破壞性試驗（代價太高）外，不該應用。
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      njlyx又指出：“如果項數只不過平常多見的數十項，若不要求"額外"的條件，是不能成立的！……這個"額外"條件就是:這些樣本值之間相互"獨立"---"互不相關"。……這些在"概率統計"理論中有明確論斷。”
   當時我想計算幾個實例看看。竟然與我從前所想的截然相反。因為以前是看書記住的公式，現在實例竟然相反，十分驚奇；顧及我多次寫文章，都是“近似為零”，一筆帶過而并未細想，如今經njlyx先生點出，情況甚至比他講的更嚴重：數據越多，與零的偏離越大，……如何向人交代？老史一時驚出一身冷汗，茫茫然十多天。
   倘僅是個人錯誤，影響有限，承認錯誤也就是了。但貝塞爾公式可是測量計量學、統計學的基礎，不可或缺、不可動搖。……
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   經過一番反復思考，立基于“誤差的絕對性與上限性”法則，終于弄清：僅僅需要修改一下已知的條件的說明，而所有的結論不變。因此，貝塞爾公式正確無疑；老史最新的理論成果（平均值與期望值的距離D公式）也是成立的。D公式的提出，意義在于：統計測量僅僅需要一組測量（組數M=1，而測量次數N≥20，這恰恰與人們的實際操作一致，而與GUM的條文不同）。
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1 誤差量的特點
      誤差量的特點是其“絕對性”與“上限性”。
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2 誤差量舍棄的條件
      人們證明數學公式或物理公式，包括解方程，等號兩邊要相等，這是誰也不能違反的規律。數學公式與物理公式常常是理想公式，實踐中要加一些近似條件，變成實用公式又稱工程公式，才能應用。例如，標準方差的核心項是測量值減期望值，期望值必須測量無窮次，這沒法操作。二百年前，貝塞爾先生，把“無窮次”，變成有限次“N”,這就實用化了。
      理論公式變成實際公式，必須滿足如下條件1）夠用；2）忽略量是微小量，可以忽略；3）忽略量雖然大，但滿足變換的物理意義的特殊要求，也可以；于是條件2）變成了條件3）。本文重點闡述。
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   人們對條件1）與條件2）是很熟悉的。這條規律就是忽略的量必須是近于零的小量（與保存量相比）。
   誤差量公式的證明，與此不同。不是公式兩邊的數值相等，而是左端（總量一側），必須大于（或等于，下同）右側各分量的合成結果

   例1  A、B二量差的誤差范圍，等于A、B二量誤差范圍之和。

   定理一：二量和的誤差范圍，等于二量的誤差范圍之和。
   證明
   （1.1）物理公式
            Y=A+B
   （1.2）計值公式
   對物理公式加標號，m表測得值（下同）
            Y[sub]m[/sub]=A[sub]m[/sub]+B[sub]m[/sub]
   （1.3）測量方程
   聯立物理公式與計值公式
            Y[sub]m[/sub]-Y=A[sub]m[/sub]-A+B[sub]m[/sub]-B
（1.4）誤差范圍關系
用r表誤差元，R表誤差范圍（下同）
由測量方程
         r[sub]Y[/sub]=r[sub]A[/sub]+r[sub]B
[/sub]       │r[sub]Y[/sub]│[sub]max[/sub]=│r[sub]A[/sub]+ r[sub]B[/sub]│[sub]max
[/sub]                =│r[sub]A[/sub]│[sub]max[/sub]+│r[sub]B[/sub]│[sub]max
[/sub] 誤差元的絕對值的最大可能值是誤差范圍，故有：
         R[sub]Y[/sub]=R[sub]A[/sub]+R[sub]B[/sub]
定理一得證。

（2）差的誤差公式
   定理二：二量差的誤差范圍，等于二量的誤差范圍之和（不是差）。
   證明
   （2.1）物理公式
            Y=C-B
   （2.2）計值公式
            Y[sub]m[/sub] = C[sub]m[/sub]-B[sub]m[/sub].
   （2.3）測量方程
   聯立物理公式與計值公式
            Y[sub]m[/sub]-Y = C[sub]m[/sub]-C – (B[sub]m[/sub]-B)
   （2.4）誤差范圍關系
   由測量方程
            r[sub]Y[/sub]=r[sub]C[/sub]-r[sub]B[/sub]                                              （1）
         │r[sub]Y[/sub]│[sub]max[/sub]=│r[sub]C[/sub]- r[sub]B[/sub]│[sub]max[/sub]                =│r[sub]C[/sub]│[sub]max[/sub]+│r[sub]B[/sub]│[sub]max
[/sub]    誤差元的絕對值的最大可能值是誤差范圍，故有：
         R[sub]Y[/sub]=R[sub]C[/sub]+R[sub]B[/sub]
   定理二得證。

   對定理二的說明。由于r[sub]C[/sub]、r[sub]B[/sub]都是測量儀器的誤差，測量者只知道其規格為│r[sub]C[/sub]│、│r[sub]B[/sub]│。
   由（1）式可能有
   │r[sub]Y[/sub]│1 =│r[sub]C[/sub]│-│r[sub]B[/sub]│    （r[sub]C[/sub]＞r[sub]B[/sub]）                   （2）
   │r[sub]Y[/sub]│2 =│r[sub]B[/sub]│-│r[sub]C[/sub]│    （r[sub]B[/sub]＞r[sub]C[/sub]）                   （3）
   │r[sub]Y[/sub]│3 =│r[sub]B[/sub]│+│r[sub]C[/sub]│                                  （4）
   由于誤差范圍是“最大可能值”，即誤差量的上限性，取（2）（3）都可能是總結果偏小，都不允許。（4）則滿足上限性條件，是正確取值。
   由（2）（3）（4）可知
只要原式比取值式小，則取值式（4）都符合誤差范圍定義，都是成立的。就是說，原式減取值式之差是“負值”，則取值式就是合理的、成立的。附加條件是該負值的絕對值不大于取值式（因取值是各個取樣值的平方和，通常不存在正種現象）。
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   由上分析可知，貝塞爾公式的證明中，不是要求∑di  d[sub]j[/sub]≈0，而是要求證明

               ∑d[sub]i [/sub]d[sub]j[/sub] ＜ 0

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   貝塞爾公式的證明
   要證明
         (∑di)[sup]2[/sup]  = ∑di[sup]2[/sup] + ∑didj
之右端第二項可以忽略，只需要證明∑didj ＜ 0
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   由于正態分布曲線的對稱性，有
         ∑di = Δ
         （∑di）[sup]2[/sup]  = Δ[sup]2[/sup]
         ∑di[sup]2[/sup] + ∑didj = Δ[sup]2[/sup]                            （5）
         ∑didj =Δ[sup]2[/sup] -∑di[sup]2[/sup]                               （6）
      由于Δ[sup]2[/sup]是二階小量，而∑di[sub]2[/sub]是取樣值，是大量，因此（6）式一定是個大負值。由此，∑didj必為負值。由于誤差量的上限性，所加負值可略，因此可取：
         (∑di)[sup]2[/sup]  = ∑di[sup]2
[/sup]-

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作者: 史錦順 時間: 2019-7-3 08:42
本帖最后由史錦順于 2019-7-3 08:48 編輯

史錦順發表于 2019-7-1 16:41
論貝塞爾公式成立的條件
——答njlyx先生
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   對25[sup]#[/sup]的一點說明

               ∑d[sub]i[/sub][sup]2[/sup] + ∑d[sub]i[/sub]d[sub]j [/sub]= Δ[sup]2[/sup]                            （5）
   對（5）式，以∑d[sub]i[/sub][sup]2[/sup] 代替等式左端，就是以可容忍的顯著量，代替可略小量Δ[sup]2[/sup]，這樣做，符合誤差范圍“上限性”法則，因而是可以的。也是充分的。（不是充要條件。因為代表量可取(1/K)∑d[sub]i[/sub][sup]2[/sup]）

   如果取(1/K)∑d[sub]i[/sub][sup]2[/sup]為代表量

      ∑ν[sub]i[/sub][sup]2 [/sup]= ∑d[sub]i[/sub][sup]2 [/sup]-(1/NK) ∑d[sub]i[/sub][sup]2

[/sup]       ∑ν[sub]i[/sub][sup]2 [/sup]= [(N-1/K)/N] ∑d[sub]i[/sub][sup]2
[/sup]       [1/N] ∑d[sub]i[/sub][sup]2[/sup] = [1/(N-1/K)] ∑ν[sub]i[/sub][sup]2

[/sup]       取（N-1）與取（N-1/K）都是允許的。由于N不小于20 ，古人已選取K=1,足夠。

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作者: 史錦順 時間: 2019-7-6 21:45
本帖最后由史錦順于 2019-7-6 21:54 編輯

史錦順發表于 2019-7-3 08:42
對25的一點說明

∑d + ∑dd= Δ （5）

   對關系式（1）
               (∑d[sub]i[/sub])[sup]2 [/sup] = ∑d[sub]i[/sub][sup]2  [/sup]                   （1）
的理解，可以從隨機誤差（基礎測量稱誤差，而統計測量稱偏差，下同）合成的角度來想一想，就不會感到突然了。原來，（1）式竟是人們最熟悉的隨機誤差合成公式。

      d[sub]i[/sub]是隨機誤差元，共有N個。N個隨機誤差元之和（∑d[sub]i[/sub]）的誤差范圍R是多大呢？就是各個隨機誤差元的“方和根”：
               R=√(∑d[sub]i[/sub][sup]2[/sup])                         （2）
即
               R[sup]2[/sup] = ∑d[sub]i[/sub][sup]2
[/sup]    誤差范圍是誤差元絕對值的最大可能值。
               R = │(∑d[sub]i[/sub])│[sub]max[/sub]
   求絕對值的方法之一是平方后再開根（初等數學規定根式為正值）
               R =√(∑d[sub]i[/sub])[sup]2 [/sup]                            （3）
   比較（2）（3），即知
               (∑d[sub]i[/sub])[sup]2[/sup] = ∑d[sub]i[/sub][sup]2[/sup]                         （1）
   可見，（1）式乃隨機誤差理論的常見公式。用在公式證明中，不該為怪。
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作者: njlyx 時間: 2019-7-7 18:03

史錦順發表于 2019-7-6 21:45
對關系式（1）
(∑d) = ∑d （1）
的理解，可以從隨機誤 ...

   如果d1~dN是"標量"，譬如，它們是一個"實數"誤差序列{d1,d2,…，dN}的各個具體"誤差"(您稱為"誤差元")，應該不存在形如(1)式的"等式"及"不等式"，無論這誤差序列{d1,d2,…，dN}是否是所謂"隨機誤差"。………有關Bessel"實驗標準偏差(校正)估計公式"推導中"認為""交叉乘積和近似為零"的"說法"，如您驗證的那樣：是不成立的【我原"以為"的那個"說法"，同樣是"想當然"了，事實并非如此！特在此認錯】。您取"和平方值"等于"平方和"某個"分(/倍)數"的"認識"好像說的通？
   如果序列{d1,d2,…，dN}的d1~dN是有"若干分量"的"矢量"，則有形似(1)式的"不等式"("矢量和的模平方"≤"矢量模平方的和"，僅當各分"矢量"相互"正交"時取"="號)…好像就稱為"Bessel不等式"(待考)？………一個n"元素"的實數"序列"可以"對應"一個n維"矢量"……

補充內容 (2019-7-7 20:26):
說明：  此貼表述內容不確切，申明作廢！  并特此道歉！

作者: njlyx 時間: 2019-7-7 18:13

njlyx 發表于 2019-7-7 18:03
如果d1~dN是"標量"，譬如，它們是一個"實數"誤差序列{d1,d2,…，dN}的各個具體"誤差"(您稱為"誤差元 ...

更正：【"矢量和的模平方"≤"矢量模平方的和"，僅當各分"矢量"相互"正交"時取"="號)】的說法不確切。

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