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計量論壇

標(biāo)題: 偏差區(qū)間的包含概率的計算 [打印本頁]

作者: 史錦順 時間: 2017-12-31 09:40
標(biāo)題: 偏差區(qū)間的包含概率的計算
本帖最后由史錦順于 2017-12-31 10:00 編輯

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                                 偏差區(qū)間的包含概率的計算
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                                                                                             史錦順
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1 兩類測量的兩種方差
1.1 兩類測量
   對常量的測量稱為基礎(chǔ)測量。經(jīng)典誤差理論的應(yīng)用范圍是基礎(chǔ)測量。基礎(chǔ)測量的條件是被測量的變化范圍遠小于測量儀器的誤差范圍。被測量有慢變化，但在測量時段內(nèi)，變化可略，也是基礎(chǔ)測量。
   在基礎(chǔ)測量中，隨機變化的誤差，稱隨機誤差；在測量的時段內(nèi)為恒值的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。測量者進行重復(fù)測量，即可認知隨機誤差；但因測量場合沒有計量標(biāo)準，無法確定系統(tǒng)誤差。在計量場合，有計量標(biāo)準，不僅可以測知隨機誤差范圍，也可以測知系統(tǒng)誤差。隨機誤差范圍與系統(tǒng)誤差范圍，在有計量標(biāo)準的條件下，都可以通過測量來確定。
   測量儀器的長期穩(wěn)定度、環(huán)境條件等的影響量，體現(xiàn)在儀器機理設(shè)計中，并經(jīng)過實踐考驗證實，儀器方能定型生產(chǎn)。生產(chǎn)廠在給出儀器性能指標(biāo)時，是包含這部分內(nèi)容的。就是說，儀器的性能指標(biāo)，是指工作性能指標(biāo)，包括使用條件（如溫度范圍等）、指標(biāo)保證時段（通常為一年。也可給出三個月、半年、一年、三年的時段限制）。
   計量只管當(dāng)時的隨機誤差與系統(tǒng)誤差，不涉及長穩(wěn)與環(huán)境溫度。如果在長穩(wěn)與環(huán)境溫度方面出問題（非人工破壞或保管、使用不當(dāng)），責(zé)任由生產(chǎn)廠負責(zé)。
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1.2 兩種方差
   在基礎(chǔ)測量中，儀器示值的隨機變化，是儀器自身的性能（外界影響也是通過儀器而體現(xiàn)出來的），與被測量無關(guān)，是儀器的隨機誤差。
   測量值的方差的平方根是儀器的隨機誤差。多次測量，取平均值，可以減小隨機誤差。測量的隨機誤差范圍是3σ[sub]平[/sub]。
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   在統(tǒng)計測量中，儀器的誤差可略，儀器示值的隨機變化，是被測量的隨機變化引起的。
   測量值的方差的平方根是被測統(tǒng)計變量的隨機偏差。多次測量，取平均值。平均值是隨機變量的最佳代表值。各個測量值都是被測統(tǒng)計變量的真值（儀器誤差可略），測量結(jié)果是平均值加減偏差范圍。以平均值為中心的、以偏差范圍（3σ）為半寬的區(qū)間，對被測統(tǒng)計變量的包含概率是99.7%.
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2 高斯正態(tài)分布的理論
2.1 有偏正態(tài)分布
   高斯有偏正態(tài)分布的幾率密度函數(shù)為
               p(Y) = {1/ [σ√(2π)]} exp [– (Y-μ)[sup]2 [/sup]/ (2σ[sup]2[/sup])]                         （1）
2.2 無偏正態(tài)分布
   令ξ = Y-μ，則
               Eξ =E(Y-μ)=EY – μ=0
   ξ是期望值為0的純隨機變量。
   高斯無偏正態(tài)分布的幾率密度函數(shù)為
               p(ξ) = {1/ [σ√(2π)]} exp [– ξ[sup]2[/sup] / (2σ[sup]2[/sup])]                               （2）
2.3 標(biāo)準正態(tài)分布
   再令σ=1，并令x=ξ，則稱標(biāo)準正態(tài)分布。標(biāo)準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為
               p(x) = [1/√(2π)] exp [– x[sup]2[/sup] / 2]                                              （3）
   正態(tài)分布的“概率函數(shù)”為
               φ(x)= [1/√(2π)]∫(-∞→x) [exp (– t[sup]2[/sup] / 2)] dt                            （4）
   《數(shù)學(xué)手冊》（1980版）給出的是公式（3）與公式（4）的數(shù)值表。本文據(jù)此計算。
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3 正常情況下，統(tǒng)計變量偏差區(qū)間包含概率的計算
   定義1 偏差
   統(tǒng)計變量的量值與期望值之差。
   定義2 偏差范圍
   偏差范圍是偏差絕對值的一定概率意義上的最大可能值。
   定義3 統(tǒng)計變量的量值區(qū)間
                  [M[sub]平[/sub]-3σ，M[sub]平[/sub]，M[sub]平[/sub]+ 3σ]
   用平均值代表被測的統(tǒng)計變量，是正確的，就是正常情況。所謂包含概率，就是以平均值為中心的、以偏差范圍為半寬的區(qū)間，包含各個統(tǒng)計變量的概率。
3.1 包含概率的規(guī)律
   1）規(guī)律1  由概率函數(shù)定義，從-∞到k的概率是φ(k)，
               p(-∞→+k) =φ(k)                                                                （5）
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   2）規(guī)律2  從-∞到k的概率是φ(k)，從k到+∞的包含概率是1-φ(k)。由于分布密度函數(shù)的對稱性，從-∞到-k的包含概率與k到+∞的概率相等，都是1-φ(k)。有
      從-∞到-k的包含概率為
               p(-∞→-k) = 1-φ(k)
               φ(-k) = 1-φ(k)                                                                   （6）
   3）規(guī)律3  以平均值為中心的對稱區(qū)間的包含概率
               p(-k→+k) = p(-∞→+k) – p(-∞→-k )
                     =φ(k) -φ(-k)
                     =φ(k) – [1-φ(k)]
                     =2φ(k)-1                                                                      （7）
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3.2 包含概率的計算
3.2.1 區(qū)間 [M[sub]平[/sub]-σ，M[sub]平[/sub]，M[sub]平[/sub]+σ] ，簡記為[-σ，+σ]
      查表φ(1)=0.841345
      k=1，代入公式（7），包含概率為
               p[sub]σ[/sub] = 2φ(1)-1=0.841345×2-1=1.68269-1
                     = 0.683                                                                         （8）
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3.2.2 區(qū)間 [M[sub]平[/sub]-2σ，M[sub]平[/sub]，M[sub]平[/sub]+2σ] ，簡記為[-2σ，+2σ]
      查表φ(2)=0.977250，
      k=2，代入公式（7），包含概率為
               p[sub]2σ[/sub]= 2φ(2)-1=0.977250×2-1=1.9545-1
                  = 0.9545                                                                         （9）
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3.2.3 區(qū)間 [M[sub]平[/sub]-3σ，M[sub]平[/sub]，M[sub]平[/sub]+3σ] ，簡記為[-3σ，+3σ]
      查表φ(3)=0.998650
      k=3，代入公式（7），包含概率為
               p[sub]3σ[/sub]= 2φ(3)-1=0.998650×2-1=1.9973-1
                  = 0.9973                                                                         （10）
   以上（8）（9）（10）是以平均值為中心的正常情況，是測量計量工作者熟知的幾個重要數(shù)據(jù)。誤差理論主張取3σ為區(qū)間半寬，包含概率是99.73%；不確定度體系通常（默認）取2σ為區(qū)間半寬，包含概率是95.45%.
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4 非正常情況，即不取平均值而取其他單值時，區(qū)間包含概率的計算
   公式推導(dǎo) 設(shè)單值為Y[sub]平[/sub]+ nσ , 區(qū)間半寬為kσ, 則區(qū)間為[(n-k) σ，(n+k)σ],有
                  K[sub]1[/sub]=n-k
                  K[sub]2[/sub]=n+k
   當(dāng)K為負值時，由于概率密度函數(shù)的對稱性，從-∞到K(負值)的包含概率與-K到+∞的概率相等，都為1-φ(-K)。當(dāng)K為正值時，從-∞到K(正值)的包含概率就是φ(K)。
   從-∞到K[sub]2[/sub]的包含概率減去從-∞到K[sub]1[/sub]的包含概率，就是所求的區(qū)間[(n-k) σ，(n+k)σ]的包含概率。
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4.1 計算公式
4.1.1  (n-k)＜0，(n+k)＞0
               P =φ(n+k) – [1-φ(k-n)]                                                    （11）
4.1.2  (n-k) ≥0
               P=φ(n+k) -φ(n-k)                                                             （12）
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3.2 計算舉例
例1 取Y=Y[sub]平[/sub]+2σ，求半寬為3σ的區(qū)間的包含概率
   k=3，n=2 按公式（11）計算
               P =φ(n+k) – [1-φ(k-n)]
                  =φ(5)-[1-φ(1)]
                  ≈φ(1)=0.841345
                  ≈0.84
例2 取Y=Y[sub]平[/sub]+2σ，求半寬為2σ的區(qū)間的包含概率
   k=2，n=2 按公式（12）計算
               P=φ(n+k) -φ(n-k)
                  =φ(4)- φ(0)
                  ≈1-0.50
                  ≈0.5
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例3 取Y=Y[sub]平[/sub]+3σ，求半寬為3σ的區(qū)間的包含概率
   k=3，n=3 按公式（6）或（7）計算
               P=φ(n+k) – [1-φ(k-n)]
                  =φ(6) – [1-φ(0)]
                  =φ(0)
                  = 0.5
例4 取Y=Y[sub]平[/sub]+3σ，求半寬為2σ的區(qū)間的包含概率
   k=2，n=3 按公式（7）計算
               P=φ(n+k) -φ(n-k)
                  =φ(5) –φ(1)
                  =1-0.841345
                  = 0.16
   說明：以上φ(6)、φ(5) 、φ(4)都近似為1.
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   總結(jié)
   統(tǒng)計變量的分散性，是統(tǒng)計變量本身的特性，必須如實地描述、表達，不能人為地縮小。單值的標(biāo)準偏差σ，隨著測量次數(shù)增大而趨于一個常數(shù)，它是隨機變量分散性的表征量。平均值的標(biāo)準偏差σ[sub]平[/sub]，隨著測量次數(shù)增大而縮小，并趨于零。σ[sub]平[/sub]不是隨機變量的表征量。因此，表征隨機變量的分散性，必須用σ。
   用σ表達分散性，而取值必須取變量的平均值，才有通常人們熟知的“以2σ為半寬的區(qū)間的包含概率是95.45%”、“以3σ為半寬的區(qū)間的包含概率是99.73%”。如果不取平均值而取其他單值，則包含區(qū)間的概率就會大大降低，如例1到例4。就是說：
   1 統(tǒng)計測量，σ不能除以根號N。不論測量多少次。
   2 量值必須取平均值。
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附錄  統(tǒng)計測量，如果取σ[sub]平[/sub]，即σ除以根號N，會是什么結(jié)果
（1）由于σ[sub]平[/sub]=σ/√N，設(shè)N=25，則σ[sub]平[/sub]=σ/5。此時以3σ[sub]平[/sub]為半寬的區(qū)間為
                  [M[sub]平[/sub]-3σ[sub]平[/sub]，M[sub]平[/sub]，M[sub]平[/sub]+3σ[sub]平[/sub]]                                        （13）
   因σ[sub]平[/sub]=σ/5，代入（13）
                  [M[sub]平[/sub]-0.6σ，M[sub]平[/sub]，M[sub]平[/sub]+0.6σ]                                           （14）
   根據(jù)公式（7）
               p(-k→+k) = 2φ(k)-1
   k=0.6 查表 φ(0.6)=0.725747
               p(-0.6→+0.6) = 2φ(0.6)-1
                     = 2×0.725747 -1
                     =0.4515                                                                      （15）

（2）條件同上，此時以2σ[sub]平[/sub]為半寬的區(qū)間為
                  [M[sub]平[/sub]-2σ[sub]平[/sub]，M[sub]平[/sub]，M[sub]平[/sub]+2σ[sub]平[/sub]]                                           （16）
   因σ[sub]平[/sub]=σ/5，代入（16）
                  [M[sub]平[/sub]-0.4σ，M[sub]平[/sub]，M[sub]平[/sub]+0.4σ]                                              （17）
   根據(jù)公式（7）
               p(-k→+k) = 2φ(k)-1
   k=0.4 查表 φ(0.4)= 0.655422
               p(-0.6→+0.6) = 2φ(0.4)-1
                     = 2×0.655422 -1
                     =0.3108                                                                            （18）
   由以上計算可知，如果取σ[sub]平[/sub]，以3σ[sub]平[/sub]為半寬的區(qū)間，對隨機變量的包含概率是45.15%；以2σ[sub]平[/sub]為半寬的區(qū)間，對隨機變量的包含概率是31.08%. 包含概率太低了！
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   思考題
   在基礎(chǔ)測量（常量測量）中，要取σ[sub]平[/sub]，怎樣說明“包含區(qū)間”與“包含概率”的問題呢？
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作者: 史錦順 時間: 2017-12-31 11:23
本帖最后由史錦順于 2017-12-31 11:35 編輯

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   正態(tài)分布的“概率函數(shù)”數(shù)值簡表，摘自《數(shù)學(xué)手冊》（1980版）
            φ(x)= [1/√(2π)] ∫ (-∞→x) [exp (– t[sup]2[/sup] / 2)] dt
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x       φ(x)                   x       φ(x)                   x       φ(x)
0.0 0.500000             1.0    0.841345             2.0    0.977250
0.1 0.5398                   1.1    0.8643                2.1    0.9821
0.2 0.5793                   1.2    0.8849                2.2    0.9861
0.3 0.6179                   1.3    0.9032                2.3    0.9893
0.4 0.6554                   1.4    0.9192                2.4    0.9918
0.5 0.6515                   1.5    0.9332                2.5    0.9938
0.6 0.7257                   1.6    0.9452                2.6    0.9953
0.7 0.7580                   1.7    0.9554                2.7    0.9965
0.8 0.7881                   1.8    0.9641                2.8    0.9974
0.9 0.8159                   1.9    0.9713                2.9    0.9981
                                                                        3.0    0.998650
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作者: 史錦順 時間: 2017-12-31 16:13
本帖最后由史錦順于 2017-12-31 16:30 編輯

         答題有獎！——第一個答對與最佳答案，各獎勵金幣1000個。截止期限：一個月。
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   題目 1
   在基礎(chǔ)測量（常量測量）中，要取σ[sub]平[/sub]，怎樣說明“包含區(qū)間”與“包含概率”的問題呢？
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   注：老史現(xiàn)有金幣萬余枚，準備盡快獎勵出去，以促進思考和爭論。大家搶呀！
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作者: csln 時間: 2018-1-2 07:54
無語，σ平怎么可以這樣用，完全顛覆了σ平的物理意義，張冠李戴

作者: csln 時間: 2018-1-2 08:37
本帖最后由 csln 于 2018-1-2 08:45 編輯

一個隨機變量x，重復(fù)性測量條件下重復(fù)測量了有限次N次測量，xi的平均值xi平也是一個隨機變量，實驗標(biāo)準差s表征xi的分散性，s平表征xi平均值的分散性

對于總體標(biāo)準差σ，σ平?jīng)]有意義，不存在N為無窮大的n個平均值，N為無窮大時，只有一個xi平均值，自然也不存在用s平（N無窮大）來表征這一個值的分散性，或者說其物理意義是σ平=0，表征了這一個值的分散性是0

作者: 吳下阿蒙 時間: 2018-1-2 11:53
本帖最后由吳下阿蒙于 2018-1-2 11:56 編輯

史錦順發(fā)表于 2017-12-31 16:13
答題有獎！——第一個答對與最佳答案，各獎勵金幣1000個。截止期限：一個月。
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題目 1

我的胡亂的推理=。=

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