計(jì)量論壇

標(biāo)題: 測(cè)量計(jì)量三項(xiàng)公式的適用對(duì)象 [打印本頁]

作者: 史錦順 時(shí)間: 2017-11-7 10:44
標(biāo)題: 測(cè)量計(jì)量三項(xiàng)公式的適用對(duì)象
本帖最后由史錦順于 2017-11-7 10:56 編輯

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                           測(cè)量計(jì)量三項(xiàng)公式的適用對(duì)象
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                                                                                          史錦順
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   標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布公式、標(biāo)準(zhǔn)偏差公式、皮爾遜相關(guān)系數(shù)公式是測(cè)量計(jì)量領(lǐng)域的三項(xiàng)重要公式。這三項(xiàng)公式的適用對(duì)象是隨機(jī)變量與隨機(jī)誤差。對(duì)系統(tǒng)誤差，這三個(gè)公式都是不適用的。
   測(cè)量儀器的誤差，通常以系統(tǒng)誤差為主。這是基本的事實(shí)。在系統(tǒng)誤差上套用僅僅適用于隨機(jī)誤差的三項(xiàng)公式，是歧途。當(dāng)今，風(fēng)行于世的不確定度體系，混淆三項(xiàng)公式的適用對(duì)象，這里澄清之。
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1 正態(tài)分布的適用對(duì)象
   高斯給出的誤差概率密度函數(shù)為：
                  p(M) = {1/ [σ√(2π)]} exp [– (M-μ)[sup]2[/sup] / (2σ[sup]2[/sup])]                         （1）
   這就是著名的正態(tài)分布，或稱為正態(tài)分布。
   公式（3）以測(cè)得值M為自變量，測(cè)得值M與真值Z、系統(tǒng)誤差β相關(guān)聯(lián)，于是易于產(chǎn)生一種認(rèn)識(shí)，就是（3）式不是隨機(jī)誤差的規(guī)律，而是誤差量的特性的表達(dá)。這種觀點(diǎn)有一定的道理，就是正態(tài)分布曲線的偏倚，正是系統(tǒng)誤差的作用。其實(shí)，就所謂“分布”來說，僅僅是隨機(jī)誤差的特性，并沒有系統(tǒng)誤差的作用。
   公式（3）的變量是什么？表面是測(cè)得值M，本質(zhì)卻是隨機(jī)誤差ξ。
   隨機(jī)誤差元記為ξ，真值記為Z，系統(tǒng)誤差記為β
               M = Z + β +ξ
               ξ = M – Z – β = M- μ                                                             （2）
   （2）代入（1），
               p(ξ) = {1/ [σ√(2π)]} exp [–ξ[sup]2[/sup] / (2σ[sup]2[/sup])]                                  （3）
   由（3）式可知，正態(tài)分布規(guī)律的實(shí)質(zhì)，是隨機(jī)誤差的分布規(guī)律。
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2 貝塞爾公式的適用對(duì)象
   方差定義為：
               DX=lim(N→∞)(1/N)∑(X[sub]i[/sub]-EX)[sup]2[/sup]                                           （4）
   標(biāo)準(zhǔn)偏差為：
               σ =√[(1/N)∑(X[sub]i[/sub]-EX)[sup]2[/sup]]                                                       （5）
   貝塞爾公式為：
               σ = √[1/(N-1)∑(X[sub]i[/sub]-X[sub]平[/sub])[sup]2[/sup]]                                                    （6）
   方差定義式中有兩個(gè)極限符號(hào)，去掉外極限符號(hào)，是標(biāo)準(zhǔn)偏差；再去掉內(nèi)極限符號(hào)（E相當(dāng)于平均值的極限），即用平均值X[sub]平[/sub]代替期望值EX，得到便于應(yīng)用的貝塞爾公式（6）。
   貝塞爾公式是測(cè)量計(jì)量學(xué)的最基本的公式。應(yīng)用廣、影響大、威望高。但請(qǐng)注意，貝塞爾公式的應(yīng)用，在時(shí)域統(tǒng)計(jì)中，僅限于隨機(jī)誤差。對(duì)系統(tǒng)誤差，貝塞爾公式無效，不能用。為什么？
   仔細(xì)分析公式（6），可知，貝塞爾公式的核心元素是差值（X[sub]i[/sub]-X[sub]平[/sub]），
               X[sub]i[/sub] = Z+β+ξ[sub]i
[/sub]                X[sub]平[/sub]= (1/N)∑(Z+β+ξ[sub]i[/sub])
                  = (1/N) (NZ+Nβ+∑ξ[sub]i[/sub])
                  = Z+β+(1/N)∑ξ[sub]i
[/sub]    有
               X[sub]i [/sub]- X[sub]平[/sub]= (Z+β+ξi) – [Z+β+(1/N)∑ξ[sub]i[/sub]]
                        = ξ[sub]i[/sub] – ξ[sub]平[/sub]                                                                   （7）
   將（7）式代入（6）式，有：
               σ = √[1/(N-1)∑(ξ[sub]i[/sub] – ξ[sub]平[/sub])[sup]2[/sup]]                                                 （8）
   公式（8）與公式（6）等效。公式（8）說明，貝塞爾公式是隨機(jī)誤差的公式，它不包含系統(tǒng)誤差β的因素，對(duì)系統(tǒng)誤差無效。貝塞爾公式不能應(yīng)用于系統(tǒng)誤差。
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   實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得值X[sub]i[/sub]的位數(shù)可能很多。計(jì)算σ時(shí)，可以略去數(shù)據(jù)中的相同的大數(shù)，而只計(jì)算數(shù)據(jù)列的尾數(shù)。就是說，各數(shù)據(jù)減去同一個(gè)大常數(shù)，只用差值計(jì)算σ。
               X[sub]i[/sub] = D+x[sub]i
[/sub]                X[sub]平[/sub]= (1/N)∑(D+x[sub]i[/sub])
                  = (1/N) (ND+∑x[sub]i[/sub])
                  = D+(1/N)∑x[sub]i
[/sub]    有
               X[sub]i [/sub]- X[sub]平[/sub]= (D+x[sub]i[/sub]) – [D+(1/N)∑x[sub]i[/sub]]
                        = x[sub]i[/sub] – x[sub]平[/sub]                                                                （9）
   將（9）式代入（3）式，有：
               σ = √[1/(N-1)∑(x[sub]i [/sub]– x[sub]平[/sub])[sup]2[/sup]]                                              （10）
   公式（10）與公式（6）等效。實(shí)用中，（10）式很方便。
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   計(jì)量測(cè)量的統(tǒng)計(jì)是時(shí)域統(tǒng)計(jì)。在時(shí)域統(tǒng)計(jì)中，系統(tǒng)誤差為恒值。以上推導(dǎo)說明：貝塞爾公式與系統(tǒng)誤差無關(guān)。
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3 相關(guān)系數(shù)公式的適用對(duì)象
   相關(guān)系數(shù)公式為
               r = [1/(N-1)][∑(X[sub]i[/sub]-X[sub]平[/sub])(Y[sub]i[/sub]-Y[sub]平[/sub])] / (σ[sub]X[/sub]σ[sub]Y[/sub])                            （11）
   作如下變換
               X[sub]i [/sub]= Z[sub]X[/sub]+β[sub]X[/sub]+ξ[sub]X[/sub][sub]i
[/sub]                X[sub]平[/sub]= (1/N)∑(Z[sub]X[/sub]+β[sub]X[/sub]+ξ[sub]Xi[/sub])
                  = (1/N) (NZ[sub]X[/sub]+Nβ[sub]X[/sub]+∑ξ[sub]Xi[/sub])
                  = Z[sub]X[/sub]+β[sub]X[/sub]+(1/N)∑ξ[sub]Xi
[/sub]    有
               X[sub]i [/sub]- X[sub]平[/sub]= (Z[sub]X[/sub]+β[sub]X[/sub]+ξ[sub]Xi[/sub]) – [Z[sub]X[/sub]+β[sub]X[/sub]+(1/N)∑ξ[sub]Xi[/sub]]
                        = ξ[sub]Xi[/sub] – ξ[sub]X平[/sub]                                                                （12）
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   又
               Y[sub]i[/sub] = Z[sub]Y[/sub]+β[sub]Y[/sub]+ξ[sub]Yi
[/sub]                Y[sub]平[/sub]= (1/N)∑(Z[sub]Y[/sub]+β[sub]Y[/sub]+ξ[sub]Yi[/sub])
                  = (1/N) (NZ[sub]Y[/sub]+Nβ[sub]Y[/sub]+∑ξ[sub]Yi[/sub])
                  = Z[sub]Y[/sub]+β[sub]Y[/sub]+(1/N)∑ξ[sub]Yi
[/sub]    有
               Y[sub]i [/sub]- Y[sub]平[/sub]= (Z[sub]Y[/sub]+β[sub]Y[/sub]+ξ[sub]Yi[/sub]) – [Z[sub]Y[/sub]+β[sub]Y[/sub]+(1/N)∑ξ[sub]Yi[/sub]]
                        = ξ[sub]Yi[/sub] – ξ[sub]Y平[/sub]                                                                （13）
   將（12）式（13）式代入（11）式，得：
               r = [1/(N-1)][∑(ξ[sub]Xi [/sub]– ξ[sub]X平[/sub])(ξ[sub]Yi[/sub] – ξ[sub]Y平[/sub])] / (σ[sub]X[/sub]σ[sub]Y[/sub])             （14）
   公式（14）與公式（12）等效。
   由公式（14）可知，皮爾遜相關(guān)系數(shù)系數(shù)公式，僅僅適用于隨機(jī)誤差ξ，而與系統(tǒng)誤差β無關(guān)。皮爾遜公式對(duì)系統(tǒng)誤差的靈敏度為零，因而皮爾遜公式不能用于系統(tǒng)誤差。
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作者: db@qp 時(shí)間: 2017-11-7 11:26
好好學(xué)習(xí)，天天向上

作者: njlyx 時(shí)間: 2017-11-7 12:41
對(duì)"隨機(jī)"量的理解過于狹隘了---以為"隨機(jī)"量都應(yīng)該是"樣本"取值相互"獨(dú)立"的嗎？……對(duì)于有名校高等教育背景的專家而言，談"測(cè)量誤差"恐怕還是要了解一點(diǎn)"隨機(jī)過程"的。至于"統(tǒng)計(jì)"中的"貝塞爾公式"和"皮兒蓀相關(guān)系數(shù)公式"，其成立條件是假定"樣本之間相互獨(dú)立"，你若將取"樣"范圍限定在"同一個(gè)重復(fù)測(cè)量條件"內(nèi)，當(dāng)然只有所謂"隨機(jī)(測(cè)量)誤差"適用！但明白人不會(huì)像您以為的如此取"樣"來對(duì)所謂"系統(tǒng)(測(cè)量)誤差"使用這些公式！…在此問題上，"一人獨(dú)醒"可能是小概率事件。

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