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計量論壇

標題: 測量計量三項公式的適用對象 [打印本頁]

作者: 史錦順 時間: 2017-11-7 10:44
標題: 測量計量三項公式的適用對象
本帖最后由史錦順于 2017-11-7 10:56 編輯

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                           測量計量三項公式的適用對象
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                                                                                          史錦順
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   標準正態分布公式、標準偏差公式、皮爾遜相關系數公式是測量計量領域的三項重要公式。這三項公式的適用對象是隨機變量與隨機誤差。對系統誤差，這三個公式都是不適用的。
   測量儀器的誤差，通常以系統誤差為主。這是基本的事實。在系統誤差上套用僅僅適用于隨機誤差的三項公式，是歧途。當今，風行于世的不確定度體系，混淆三項公式的適用對象，這里澄清之。
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1 正態分布的適用對象
   高斯給出的誤差概率密度函數為：
                  p(M) = {1/ [σ√(2π)]} exp [– (M-μ)[sup]2[/sup] / (2σ[sup]2[/sup])]                         （1）
   這就是著名的正態分布，或稱為正態分布。
   公式（3）以測得值M為自變量，測得值M與真值Z、系統誤差β相關聯，于是易于產生一種認識，就是（3）式不是隨機誤差的規律，而是誤差量的特性的表達。這種觀點有一定的道理，就是正態分布曲線的偏倚，正是系統誤差的作用。其實，就所謂“分布”來說，僅僅是隨機誤差的特性，并沒有系統誤差的作用。
   公式（3）的變量是什么？表面是測得值M，本質卻是隨機誤差ξ。
   隨機誤差元記為ξ，真值記為Z，系統誤差記為β
               M = Z + β +ξ
               ξ = M – Z – β = M- μ                                                             （2）
   （2）代入（1），
               p(ξ) = {1/ [σ√(2π)]} exp [–ξ[sup]2[/sup] / (2σ[sup]2[/sup])]                                  （3）
   由（3）式可知，正態分布規律的實質，是隨機誤差的分布規律。
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2 貝塞爾公式的適用對象
   方差定義為：
               DX=lim(N→∞)(1/N)∑(X[sub]i[/sub]-EX)[sup]2[/sup]                                           （4）
   標準偏差為：
               σ =√[(1/N)∑(X[sub]i[/sub]-EX)[sup]2[/sup]]                                                       （5）
   貝塞爾公式為：
               σ = √[1/(N-1)∑(X[sub]i[/sub]-X[sub]平[/sub])[sup]2[/sup]]                                                    （6）
   方差定義式中有兩個極限符號，去掉外極限符號，是標準偏差；再去掉內極限符號（E相當于平均值的極限），即用平均值X[sub]平[/sub]代替期望值EX，得到便于應用的貝塞爾公式（6）。
   貝塞爾公式是測量計量學的最基本的公式。應用廣、影響大、威望高。但請注意，貝塞爾公式的應用，在時域統計中，僅限于隨機誤差。對系統誤差，貝塞爾公式無效，不能用。為什么？
   仔細分析公式（6），可知，貝塞爾公式的核心元素是差值（X[sub]i[/sub]-X[sub]平[/sub]），
               X[sub]i[/sub] = Z+β+ξ[sub]i
[/sub]                X[sub]平[/sub]= (1/N)∑(Z+β+ξ[sub]i[/sub])
                  = (1/N) (NZ+Nβ+∑ξ[sub]i[/sub])
                  = Z+β+(1/N)∑ξ[sub]i
[/sub]    有
               X[sub]i [/sub]- X[sub]平[/sub]= (Z+β+ξi) – [Z+β+(1/N)∑ξ[sub]i[/sub]]
                        = ξ[sub]i[/sub] – ξ[sub]平[/sub]                                                                   （7）
   將（7）式代入（6）式，有：
               σ = √[1/(N-1)∑(ξ[sub]i[/sub] – ξ[sub]平[/sub])[sup]2[/sup]]                                                 （8）
   公式（8）與公式（6）等效。公式（8）說明，貝塞爾公式是隨機誤差的公式，它不包含系統誤差β的因素，對系統誤差無效。貝塞爾公式不能應用于系統誤差。
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   實驗中，測得值X[sub]i[/sub]的位數可能很多。計算σ時，可以略去數據中的相同的大數，而只計算數據列的尾數。就是說，各數據減去同一個大常數，只用差值計算σ。
               X[sub]i[/sub] = D+x[sub]i
[/sub]                X[sub]平[/sub]= (1/N)∑(D+x[sub]i[/sub])
                  = (1/N) (ND+∑x[sub]i[/sub])
                  = D+(1/N)∑x[sub]i
[/sub]    有
               X[sub]i [/sub]- X[sub]平[/sub]= (D+x[sub]i[/sub]) – [D+(1/N)∑x[sub]i[/sub]]
                        = x[sub]i[/sub] – x[sub]平[/sub]                                                                （9）
   將（9）式代入（3）式，有：
               σ = √[1/(N-1)∑(x[sub]i [/sub]– x[sub]平[/sub])[sup]2[/sup]]                                              （10）
   公式（10）與公式（6）等效。實用中，（10）式很方便。
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   計量測量的統計是時域統計。在時域統計中，系統誤差為恒值。以上推導說明：貝塞爾公式與系統誤差無關。
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3 相關系數公式的適用對象
   相關系數公式為
               r = [1/(N-1)][∑(X[sub]i[/sub]-X[sub]平[/sub])(Y[sub]i[/sub]-Y[sub]平[/sub])] / (σ[sub]X[/sub]σ[sub]Y[/sub])                            （11）
   作如下變換
               X[sub]i [/sub]= Z[sub]X[/sub]+β[sub]X[/sub]+ξ[sub]X[/sub][sub]i
[/sub]                X[sub]平[/sub]= (1/N)∑(Z[sub]X[/sub]+β[sub]X[/sub]+ξ[sub]Xi[/sub])
                  = (1/N) (NZ[sub]X[/sub]+Nβ[sub]X[/sub]+∑ξ[sub]Xi[/sub])
                  = Z[sub]X[/sub]+β[sub]X[/sub]+(1/N)∑ξ[sub]Xi
[/sub]    有
               X[sub]i [/sub]- X[sub]平[/sub]= (Z[sub]X[/sub]+β[sub]X[/sub]+ξ[sub]Xi[/sub]) – [Z[sub]X[/sub]+β[sub]X[/sub]+(1/N)∑ξ[sub]Xi[/sub]]
                        = ξ[sub]Xi[/sub] – ξ[sub]X平[/sub]                                                                （12）
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   又
               Y[sub]i[/sub] = Z[sub]Y[/sub]+β[sub]Y[/sub]+ξ[sub]Yi
[/sub]                Y[sub]平[/sub]= (1/N)∑(Z[sub]Y[/sub]+β[sub]Y[/sub]+ξ[sub]Yi[/sub])
                  = (1/N) (NZ[sub]Y[/sub]+Nβ[sub]Y[/sub]+∑ξ[sub]Yi[/sub])
                  = Z[sub]Y[/sub]+β[sub]Y[/sub]+(1/N)∑ξ[sub]Yi
[/sub]    有
               Y[sub]i [/sub]- Y[sub]平[/sub]= (Z[sub]Y[/sub]+β[sub]Y[/sub]+ξ[sub]Yi[/sub]) – [Z[sub]Y[/sub]+β[sub]Y[/sub]+(1/N)∑ξ[sub]Yi[/sub]]
                        = ξ[sub]Yi[/sub] – ξ[sub]Y平[/sub]                                                                （13）
   將（12）式（13）式代入（11）式，得：
               r = [1/(N-1)][∑(ξ[sub]Xi [/sub]– ξ[sub]X平[/sub])(ξ[sub]Yi[/sub] – ξ[sub]Y平[/sub])] / (σ[sub]X[/sub]σ[sub]Y[/sub])             （14）
   公式（14）與公式（12）等效。
   由公式（14）可知，皮爾遜相關系數系數公式，僅僅適用于隨機誤差ξ，而與系統誤差β無關。皮爾遜公式對系統誤差的靈敏度為零，因而皮爾遜公式不能用于系統誤差。
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作者: db@qp 時間: 2017-11-7 11:26
好好學習，天天向上

作者: njlyx 時間: 2017-11-7 12:41
對"隨機"量的理解過于狹隘了---以為"隨機"量都應該是"樣本"取值相互"獨立"的嗎？……對于有名校高等教育背景的專家而言，談"測量誤差"恐怕還是要了解一點"隨機過程"的。至于"統計"中的"貝塞爾公式"和"皮兒蓀相關系數公式"，其成立條件是假定"樣本之間相互獨立"，你若將取"樣"范圍限定在"同一個重復測量條件"內，當然只有所謂"隨機(測量)誤差"適用！但明白人不會像您以為的如此取"樣"來對所謂"系統(測量)誤差"使用這些公式！…在此問題上，"一人獨醒"可能是小概率事件。

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