計量論壇

標題: 請問最小二乘法的標準試驗差中為何有b^2Sx^2一項 [打印本頁]

作者: solarup    時間: 2017-4-14 14:15
標題: 請問最小二乘法的標準試驗差中為何有b^2Sx^2一項
本帖最后由 solarup 于 2017-4-14 14:52 編輯

據(jù)一級計量注冊師基礎(chǔ)知識和事務一書,最小二乘法如果要擬合直線方程y=a+bx,其標準試驗差平方為
s[sub]p[/sub][sup]2[/sup](y[sub]j[/sub])=s[sub]a[/sub][sup]2[/sup]+x[sub]j[/sub][sup]2[/sup]s[sub]b[/sub][sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]s[sub]x[/sub][sup]2[/sup]+2x[sub]j[/sub]r(a,b)s[sub]a[/sub]s[sub]b[/sub]
這個公式我的直觀反映使用的是不確定度傳播率公式。
因為要擬合直線y=a+bx,應該不同的x[sub]j[/sub]有不同的實驗標準偏差,x[sub]j[/sub]是已知量,a和b是未知量,所以式中標準差或者協(xié)方差都是a和b的,這些我能理解。
但是對a求偏導為1,則a的偏導乘以其實驗標準偏差平方為右邊第一項s[sub]a[/sub][sup]2[/sup],對b求偏導應該看作a和xj為常數(shù),那么乘以其實驗標準偏差平方后應該是右邊第二項x[sub]j[/sub][sup]2[/sup]s[sub]b[/sub][sup]2[/sup],那么請問右邊第三項b[sup]2[/sup]s[sub]x[/sub][sup]2[/sup]何來?
如果需要這一項,根據(jù)導數(shù)公式,那么b和x應該都是一個因變量,但是為何第四項又直接對b求偏導而沒x[sub]j[/sub]的事情?
我實在想不明白了,請大家給我指點。謝謝
ps:a和b相關(guān)么?我不知道,但是我覺得可能相關(guān),所以這里要考慮其相關(guān)性,現(xiàn)實生活中可能相關(guān),也可能不相關(guān)。因為a是截距,b是斜率,斜率不同,一個模型截距也不同的情景還是有的。會有相反例子么?不知道這個理解是否正確?
ps:我又想了想,是不是我被不確定度傳播率公式套住了,其實這里并非一定要按照不確定度傳播率公式計算,而是需要考慮一個s[sub]x[/sub],所以才有這么一項。但是,為什么公式是這個樣子?實驗標準偏差公式不是貝塞爾公式么(這更不是極差較差公式吧)?這個公式怎么看都不是直接貝塞爾公式推導出來的,而是根據(jù)不確定度傳播率公式反推來的吧。因為需要考慮x[sub]j[/sub]重復性引入的不確定度,所以加了這個,不知道這樣想對么?

補充內(nèi)容 (2017-4-14 17:10):

文中r(a,b)是相關(guān)系數(shù)的估計值,手殘打成了協(xié)方差,兩個都是表示相關(guān)性的。不過當時確實寫錯了。
作者: 吳下阿蒙    時間: 2017-4-17 10:07
本帖最后由 吳下阿蒙 于 2017-4-17 10:17 編輯

從標準試驗差平方表達式來看
是將yj=a+bxj中a,b,xj做為三個未知量來看的,且a和b相關(guān),xj和a,b都不相關(guān)。前三個平方和就是三個未知量標準差平方乘以它們的靈敏系數(shù)的平方,最后的交叉量是a和b相關(guān)的交叉量,xj和a,b都不相關(guān),無交叉量。
理解的話,a和b都是由總數(shù)據(jù)根據(jù)最小二乘法計算得出的,有相關(guān)性是應該的。。xj為啥做為未知量表示不知道。。。我只是從表達式看出來的,表達式含義應該就是上面說的,但為啥這樣,還得求大神解答。。

PS:不確定度傳播公式貌似也不是自創(chuàng)的吧?好像也有來源,我好像在史老的文章中看到過,一個很泛用的公式。
作者: solarup    時間: 2017-4-17 16:34
吳下阿蒙 發(fā)表于 2017-4-17 10:07
從標準試驗差平方表達式來看
是將yj=a+bxj中a,b,xj做為三個未知量來看的,且a和b相關(guān),xj和a,b都不相關(guān) ...

不對吧,這個明顯不是把x[sub]j[/sub]當作未知量了。你看后面的協(xié)方差前面的系數(shù),明顯沒有x[sub]j[/sub]什么是,里面的x[sub]j[/sub]是對b的常量來著。
而且根據(jù)最小二乘法的意思,就是知道離散點(x[sub]j[/sub])去擬合一個不知道的
作者: 吳下阿蒙    時間: 2017-4-17 17:18
本帖最后由 吳下阿蒙 于 2017-4-17 17:20 編輯
solarup 發(fā)表于 2017-4-17 16:34
不對吧,這個明顯不是把x當作未知量了。你看后面的協(xié)方差前面的系數(shù),明顯沒有x什么是,里面的x是對b的常 ...


把這個3個都當未知量,然后把所有的交叉項都列出來,然后另xj和a相關(guān)性為0,xj和b的相關(guān)性為0,2xjr(a,b)sasb 就是a和
b的交叉項,其中a的靈敏系數(shù)為1,b的靈敏系數(shù)為xj,相關(guān)系數(shù)為r(a,b)。雖然不知道為啥這樣,但題中式子這么理解感覺最合適吧。。

作者: solarup    時間: 2017-4-17 17:27
吳下阿蒙 發(fā)表于 2017-4-17 17:18
把這個3個都當未知量,然后把所有的交叉項都列出來,然后另xj和a相關(guān)性為0,xj和b的相關(guān)性為0,2xjr(a,b) ...

我的意思就是這樣,如果真的x[sub]j[/sub]當作未知了,那么第三項應該還應該乘以一個b才對吧。
所以我在Ps里面寫懷疑x[sub]j[/sub]根本就不是因為當作未知量了,而是因為這個式子本身是不確定度的式子,用不確定度去說實驗標準偏差,而不確定度中不得不考慮x[sub]j[/sub]本身引入的不確定度分量,而這個分量的不確定度為bS[sub]x[/sub].所以才有這一項。
作者: 吳下阿蒙    時間: 2017-4-17 17:30
本帖最后由 吳下阿蒙 于 2017-4-17 17:37 編輯
solarup 發(fā)表于 2017-4-17 17:27
我的意思就是這樣,如果真的x當作未知了,那么第三項應該還應該乘以一個b才對吧。
所以我在Ps里面寫懷疑x ...


第三項是這b2sx2項嘛?這項xj的靈敏系數(shù)是b,靈敏系數(shù)的平方乘以sx的平方,沒毛病啊???還要再乘個b?

本人不確定度入門不久,剛看到非線性函數(shù)時不確定度評定的一些方案,其中Y=A*B ,其中A和B都是未知量時,大概和題中后面bxj類似,可以參考。

作者: solarup    時間: 2017-4-17 19:33
吳下阿蒙 發(fā)表于 2017-4-17 17:30
第三項是這b2sx2項嘛?這項xj的靈敏系數(shù)是b,靈敏系數(shù)的平方乘以sx的平方,沒毛病啊???還要再乘個b?
...

你誤會了,是我沒說清
我說的是,如果算實驗標準差,不需要算靈明度系數(shù),也不需要進行偏導數(shù)計算
但是這里是從不確定度傳播率公式來的,按照其公式,右側(cè)的第三項是要對偏導數(shù)進行乘積的,相當于這個實驗標準差式子右側(cè)第四項
但是從這個實驗標準差式子的右側(cè)第四項來看,只有a的偏導數(shù)1和b的偏導數(shù)xj相乘,沒有出現(xiàn)xj的偏導數(shù)系數(shù)b,所以我說豈不矛盾?
作者: 吳下阿蒙    時間: 2017-4-18 09:26
本帖最后由 吳下阿蒙 于 2017-4-18 09:59 編輯
solarup 發(fā)表于 2017-4-17 19:33
你誤會了,是我沒說清
我說的是,如果算實驗標準差,不需要算靈明度系數(shù),也不需要進行偏導數(shù)計算
但是這 ...


根據(jù)不確定度傳播公式,a和b的交叉項只包含:a的偏導數(shù)1,b的偏導數(shù)xj,a和b的相關(guān)系數(shù)r(a,b),并不包含xj的偏導數(shù)b的吧。完成展開的交叉項系數(shù)應該是:a和b的交叉項系數(shù)2xjr(a,b),a和xj的交叉項系數(shù)2br(a,xj),b和xj的交叉項系數(shù)xjbr(b,xj)。如果另后兩個相關(guān)系數(shù)為0,就是主樓的公式吧=。=我對不確定度傳播公式理解有誤?

3451221.bmp (968.47 KB, 下載次數(shù): 644)

3451221.bmp

作者: solarup    時間: 2017-4-18 10:01
本帖最后由 solarup 于 2017-4-18 10:02 編輯
吳下阿蒙 發(fā)表于 2017-4-18 09:26
根據(jù)不確定度傳播公司,a和b的交叉項只包含:a的靈敏系數(shù)1,b的靈敏系數(shù)xj,a和b的相關(guān)系數(shù)r(a,b),并 ...


我的意思是,既然標準偏差公式前三項表明,x[sub]j[/sub]是一個未知量(輸入量),那么選用傳播率公式的時候,xj相當于其中一個輸入量了。按照不確定度傳播率公式,應該考慮xj和a與b的相關(guān)性,計算其相關(guān)系數(shù),除非他們之間不存在相關(guān)性。,協(xié)方差為0。
a和b一個是截距,一個是斜率。a我不知道,b作為斜率肯定是和x[sub]j[/sub]相關(guān)的吧,怎么可能會是0呢(b值要由xj值得出呢)。可是這里第三項只有計算了a和b的相關(guān)性,計算偏導的時候應該既計算xj的偏導,又計算b的偏導,但是這里的相乘結(jié)果不是這樣。
作者: 吳下阿蒙    時間: 2017-4-18 10:18
本帖最后由 吳下阿蒙 于 2017-4-18 10:27 編輯
solarup 發(fā)表于 2017-4-18 10:01
我的意思是,既然標準偏差公式前三項表明,x是一個未知量(輸入量),那么選用傳播率公式的時候,xj相當 ...


這就不清楚,我只是根據(jù)你給出的公式來理解的。如果這個給出的公式?jīng)]問題,那么結(jié)論就是:a,b,xj都是未知量,且xj和a,b都不相關(guān)。至于為什么,我表示看不懂,抱歉=。=!標準差也能這樣算??不過樓主,您可以自己模擬個數(shù)據(jù)試一試,r(xj,a)和r(xj,b)可以根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式算出來=。=!請問能找到這個傳播公式的出處嘛?為啥標準差,不確定度的傳播都能用這個。。。
作者: solarup    時間: 2017-4-18 10:24
吳下阿蒙 發(fā)表于 2017-4-18 10:18
這就不清楚,我只是根據(jù)你給出的公式來理解的。如果這個給出的公式?jīng)]問題,那么結(jié)論就是:a,b,xj都是未 ...

我的個人理解:當我們的測量模型大多是理論值的時候,我們沒什么可以搞B類評定的了。沒說明書,沒資料,沒不確定度,啥都沒有,而剩下的A類就是重復性,重復性就是實驗標準差,于是乎這么來的。
說實話我就是找不到出處啊!但是怎么看這個就是不確定度傳播率公式吧。
其實我覺得按最小二乘法的思想來說,x[sub]j[/sub]絕對不是輸入量,是已知量,求直線不就是求a和b么。

作者: 吳下阿蒙    時間: 2017-4-18 10:44
solarup 發(fā)表于 2017-4-18 10:24
我的個人理解:當我們的測量模型大多是理論值的時候,我們沒什么可以搞B類評定的了。沒說明書,沒資料, ...

按公式看,xj存在sx,說明這個xj肯定不是單值,應該是一組值的平均值。樣本可能是這樣的的x1為5個數(shù)的平均值,x2為5個數(shù)的均值,x10為5個數(shù)的均值。然后x1~x10對應10個y1~y10,根據(jù)這個對應關(guān)系,使用最小二乘法,求出a和b,得y=a+bx。如此當不確定分析的話,yj=a+bxj,xj確實會引入一個重復性分量=。=!但xj和a,b好像是相關(guān)的?弱相關(guān),忽略不計?。。。。我怎么感覺想偏了。。


作者: solarup    時間: 2017-4-18 12:05
吳下阿蒙 發(fā)表于 2017-4-18 10:44
按公式看,xj存在sx,說明這個xj肯定不是單值,應該是一組值的平均值。樣本可能是這樣的的x1為5個數(shù)的平 ...

為啥咱兩個理解的x[sub]j[/sub]不一樣?難道我理解的是假的最小二乘法?先吃飯去,回來再研究。
作者: 吳下阿蒙    時間: 2017-4-19 09:13
本帖最后由 吳下阿蒙 于 2017-4-19 09:16 編輯
solarup 發(fā)表于 2017-4-18 10:24
我的個人理解:當我們的測量模型大多是理論值的時候,我們沒什么可以搞B類評定的了。沒說明書,沒資料, ...


說實話我就是找不到出處啊!但是怎么看這個就是不確定度傳播率公式吧。,向量和的三角形法則?模型基本一樣,角度正余弦和相關(guān)系數(shù)一樣是正負1。。
作者: solarup    時間: 2017-4-20 13:05
吳下阿蒙 發(fā)表于 2017-4-19 09:13
說實話我就是找不到出處啊!但是怎么看這個就是不確定度傳播率公式吧。,向量和的三角形法則 ...

請教,這里相關(guān)系數(shù)正負1有什么關(guān)系么?
嗯,我知道好像相關(guān)系數(shù)只是牽扯到合成不確定度不是方和根,而是不確定度求和。
不過相關(guān)系數(shù)是1協(xié)方差不見得是1吧?恕我魯愚,沒搞明白。
作者: solarup    時間: 2017-4-20 13:11
吳下阿蒙 發(fā)表于 2017-4-18 10:44
按公式看,xj存在sx,說明這個xj肯定不是單值,應該是一組值的平均值。樣本可能是這樣的的x1為5個數(shù)的平 ...

我覺得如果按照這樣看,y=a+bx的話,為什么是弱相關(guān)?應該是強相關(guān)吧。b是斜率,就是b=y/sqrt(x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]),x增大不是b減小么?這不是負強相關(guān)?而且上面你說是正負1,那么就是相關(guān)的意思,還是強相關(guān)。對,就是三角公式。
作者: 吳下阿蒙    時間: 2017-4-20 17:39
solarup 發(fā)表于 2017-4-20 13:11
我覺得如果按照這樣看,y=a+bx的話,為什么是弱相關(guān)?應該是強相關(guān)吧。b是斜率,就是b=y/sqrt(x+y),x增 ...

我只是基于公式的推測,也不是很理解。我說的正負1,是說它們的上下限都是正負1,和向量求和相似。。




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