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計量論壇

標題: 請問最小二乘法的標準試驗差中為何有b^2Sx^2一項 [打印本頁]

作者: solarup 時間: 2017-4-14 14:15
標題: 請問最小二乘法的標準試驗差中為何有b^2Sx^2一項
本帖最后由 solarup 于 2017-4-14 14:52 編輯

據(jù)一級計量注冊師基礎(chǔ)知識和事務一書，最小二乘法如果要擬合直線方程y=a+bx，其標準試驗差平方為
s[sub]p[/sub][sup]2[/sup](y[sub]j[/sub])=s[sub]a[/sub][sup]2[/sup]+x[sub]j[/sub][sup]2[/sup]s[sub]b[/sub][sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]s[sub]x[/sub][sup]2[/sup]+2x[sub]j[/sub]r(a,b)s[sub]a[/sub]s[sub]b[/sub]
這個公式我的直觀反映使用的是不確定度傳播率公式。
因為要擬合直線y=a+bx,應該不同的x[sub]j[/sub]有不同的實驗標準偏差，x[sub]j[/sub]是已知量，a和b是未知量，所以式中標準差或者協(xié)方差都是a和b的，這些我能理解。
但是對a求偏導為1，則a的偏導乘以其實驗標準偏差平方為右邊第一項s[sub]a[/sub][sup]2[/sup]，對b求偏導應該看作a和xj為常數(shù)，那么乘以其實驗標準偏差平方后應該是右邊第二項x[sub]j[/sub][sup]2[/sup]s[sub]b[/sub][sup]2[/sup]，那么請問右邊第三項b[sup]2[/sup]s[sub]x[/sub][sup]2[/sup]何來？
如果需要這一項，根據(jù)導數(shù)公式，那么b和x應該都是一個因變量，但是為何第四項又直接對b求偏導而沒x[sub]j[/sub]的事情？
我實在想不明白了，請大家給我指點。謝謝
ps：a和b相關(guān)么？我不知道，但是我覺得可能相關(guān)，所以這里要考慮其相關(guān)性，現(xiàn)實生活中可能相關(guān)，也可能不相關(guān)。因為a是截距，b是斜率，斜率不同，一個模型截距也不同的情景還是有的。會有相反例子么？不知道這個理解是否正確？
ps:我又想了想，是不是我被不確定度傳播率公式套住了，其實這里并非一定要按照不確定度傳播率公式計算，而是需要考慮一個s[sub]x[/sub]，所以才有這么一項。但是，為什么公式是這個樣子？實驗標準偏差公式不是貝塞爾公式么（這更不是極差較差公式吧）？這個公式怎么看都不是直接貝塞爾公式推導出來的，而是根據(jù)不確定度傳播率公式反推來的吧。因為需要考慮x[sub]j[/sub]重復性引入的不確定度，所以加了這個，不知道這樣想對么？

補充內(nèi)容 (2017-4-14 17:10):

文中r(a,b)是相關(guān)系數(shù)的估計值，手殘打成了協(xié)方差，兩個都是表示相關(guān)性的。不過當時確實寫錯了。

作者: 吳下阿蒙 時間: 2017-4-17 10:07
本帖最后由吳下阿蒙于 2017-4-17 10:17 編輯

從標準試驗差平方表達式來看
是將yj=a+bxj中a，b，xj做為三個未知量來看的，且a和b相關(guān)，xj和a，b都不相關(guān)。前三個平方和就是三個未知量標準差平方乘以它們的靈敏系數(shù)的平方，最后的交叉量是a和b相關(guān)的交叉量，xj和a，b都不相關(guān)，無交叉量。
理解的話，a和b都是由總數(shù)據(jù)根據(jù)最小二乘法計算得出的，有相關(guān)性是應該的。。xj為啥做為未知量表示不知道。。。我只是從表達式看出來的，表達式含義應該就是上面說的，但為啥這樣，還得求大神解答。。

PS:不確定度傳播公式貌似也不是自創(chuàng)的吧？好像也有來源，我好像在史老的文章中看到過，一個很泛用的公式。

作者: solarup 時間: 2017-4-17 16:34

吳下阿蒙發(fā)表于 2017-4-17 10:07
從標準試驗差平方表達式來看
是將yj=a+bxj中a，b，xj做為三個未知量來看的，且a和b相關(guān)，xj和a，b都不相關(guān) ...

不對吧，這個明顯不是把x[sub]j[/sub]當作未知量了。你看后面的協(xié)方差前面的系數(shù)，明顯沒有x[sub]j[/sub]什么是，里面的x[sub]j[/sub]是對b的常量來著。
而且根據(jù)最小二乘法的意思，就是知道離散點（x[sub]j[/sub]）去擬合一個不知道的

作者: 吳下阿蒙 時間: 2017-4-17 17:18
本帖最后由吳下阿蒙于 2017-4-17 17:20 編輯

solarup 發(fā)表于 2017-4-17 16:34
不對吧，這個明顯不是把x當作未知量了。你看后面的協(xié)方差前面的系數(shù)，明顯沒有x什么是，里面的x是對b的常 ...

把這個3個都當未知量，然后把所有的交叉項都列出來，然后另xj和a相關(guān)性為0，xj和b的相關(guān)性為0，2xjr(a,b)sasb 就是a和
b的交叉項，其中a的靈敏系數(shù)為1，b的靈敏系數(shù)為xj，相關(guān)系數(shù)為r(a,b)。雖然不知道為啥這樣，但題中式子這么理解感覺最合適吧。。

作者: solarup 時間: 2017-4-17 17:27

吳下阿蒙發(fā)表于 2017-4-17 17:18
把這個3個都當未知量，然后把所有的交叉項都列出來，然后另xj和a相關(guān)性為0，xj和b的相關(guān)性為0，2xjr(a,b) ...

我的意思就是這樣，如果真的x[sub]j[/sub]當作未知了，那么第三項應該還應該乘以一個b才對吧。
所以我在Ps里面寫懷疑x[sub]j[/sub]根本就不是因為當作未知量了，而是因為這個式子本身是不確定度的式子，用不確定度去說實驗標準偏差，而不確定度中不得不考慮x[sub]j[/sub]本身引入的不確定度分量，而這個分量的不確定度為bS[sub]x[/sub].所以才有這一項。

作者: 吳下阿蒙 時間: 2017-4-17 17:30
本帖最后由吳下阿蒙于 2017-4-17 17:37 編輯

solarup 發(fā)表于 2017-4-17 17:27
我的意思就是這樣，如果真的x當作未知了，那么第三項應該還應該乘以一個b才對吧。
所以我在Ps里面寫懷疑x ...

第三項是這b2sx2項嘛？這項xj的靈敏系數(shù)是b，靈敏系數(shù)的平方乘以sx的平方，沒毛病啊？？？還要再乘個b？

本人不確定度入門不久，剛看到非線性函數(shù)時不確定度評定的一些方案，其中Y=A*B ,其中A和B都是未知量時，大概和題中后面bxj類似，可以參考。

作者: solarup 時間: 2017-4-17 19:33

吳下阿蒙發(fā)表于 2017-4-17 17:30
第三項是這b2sx2項嘛？這項xj的靈敏系數(shù)是b，靈敏系數(shù)的平方乘以sx的平方，沒毛病啊？？？還要再乘個b？
...

你誤會了，是我沒說清
我說的是，如果算實驗標準差，不需要算靈明度系數(shù)，也不需要進行偏導數(shù)計算
但是這里是從不確定度傳播率公式來的，按照其公式，右側(cè)的第三項是要對偏導數(shù)進行乘積的，相當于這個實驗標準差式子右側(cè)第四項
但是從這個實驗標準差式子的右側(cè)第四項來看，只有a的偏導數(shù)1和b的偏導數(shù)xj相乘，沒有出現(xiàn)xj的偏導數(shù)系數(shù)b，所以我說豈不矛盾？

作者: 吳下阿蒙 時間: 2017-4-18 09:26
本帖最后由吳下阿蒙于 2017-4-18 09:59 編輯

solarup 發(fā)表于 2017-4-17 19:33
你誤會了，是我沒說清
我說的是，如果算實驗標準差，不需要算靈明度系數(shù)，也不需要進行偏導數(shù)計算
但是這 ...

根據(jù)不確定度傳播公式，a和b的交叉項只包含：a的偏導數(shù)1，b的偏導數(shù)xj，a和b的相關(guān)系數(shù)r（a，b），并不包含xj的偏導數(shù)b的吧。完成展開的交叉項系數(shù)應該是：a和b的交叉項系數(shù)2xjr（a，b），a和xj的交叉項系數(shù)2br（a，xj），b和xj的交叉項系數(shù)xjbr（b，xj）。如果另后兩個相關(guān)系數(shù)為0，就是主樓的公式吧=。=我對不確定度傳播公式理解有誤？

3451221.bmp (968.47 KB, 下載次數(shù): 644)

作者: solarup 時間: 2017-4-18 10:01
本帖最后由 solarup 于 2017-4-18 10:02 編輯

吳下阿蒙發(fā)表于 2017-4-18 09:26
根據(jù)不確定度傳播公司，a和b的交叉項只包含：a的靈敏系數(shù)1，b的靈敏系數(shù)xj，a和b的相關(guān)系數(shù)r（a，b），并 ...

我的意思是，既然標準偏差公式前三項表明，x[sub]j[/sub]是一個未知量（輸入量），那么選用傳播率公式的時候，xj相當于其中一個輸入量了。按照不確定度傳播率公式，應該考慮xj和a與b的相關(guān)性，計算其相關(guān)系數(shù)，除非他們之間不存在相關(guān)性。，協(xié)方差為0。
a和b一個是截距，一個是斜率。a我不知道，b作為斜率肯定是和x[sub]j[/sub]相關(guān)的吧，怎么可能會是0呢（b值要由xj值得出呢）。可是這里第三項只有計算了a和b的相關(guān)性，計算偏導的時候應該既計算xj的偏導，又計算b的偏導，但是這里的相乘結(jié)果不是這樣。

作者: 吳下阿蒙 時間: 2017-4-18 10:18
本帖最后由吳下阿蒙于 2017-4-18 10:27 編輯

solarup 發(fā)表于 2017-4-18 10:01
我的意思是，既然標準偏差公式前三項表明，x是一個未知量（輸入量），那么選用傳播率公式的時候，xj相當 ...

這就不清楚，我只是根據(jù)你給出的公式來理解的。如果這個給出的公式?jīng)]問題，那么結(jié)論就是：a，b，xj都是未知量，且xj和a，b都不相關(guān)。至于為什么，我表示看不懂，抱歉=。=！標準差也能這樣算？？不過樓主，您可以自己模擬個數(shù)據(jù)試一試，r（xj，a）和r（xj，b）可以根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式算出來=。=！請問能找到這個傳播公式的出處嘛？為啥標準差，不確定度的傳播都能用這個。。。

作者: solarup 時間: 2017-4-18 10:24

吳下阿蒙發(fā)表于 2017-4-18 10:18
這就不清楚，我只是根據(jù)你給出的公式來理解的。如果這個給出的公式?jīng)]問題，那么結(jié)論就是：a，b，xj都是未 ...

我的個人理解：當我們的測量模型大多是理論值的時候，我們沒什么可以搞B類評定的了。沒說明書，沒資料，沒不確定度，啥都沒有，而剩下的A類就是重復性，重復性就是實驗標準差，于是乎這么來的。
說實話我就是找不到出處啊！但是怎么看這個就是不確定度傳播率公式吧。
其實我覺得按最小二乘法的思想來說，x[sub]j[/sub]絕對不是輸入量，是已知量，求直線不就是求a和b么。

作者: 吳下阿蒙 時間: 2017-4-18 10:44

solarup 發(fā)表于 2017-4-18 10:24
我的個人理解：當我們的測量模型大多是理論值的時候，我們沒什么可以搞B類評定的了。沒說明書，沒資料， ...

按公式看，xj存在sx，說明這個xj肯定不是單值，應該是一組值的平均值。樣本可能是這樣的的x1為5個數(shù)的平均值，x2為5個數(shù)的均值，x10為5個數(shù)的均值。然后x1~x10對應10個y1~y10，根據(jù)這個對應關(guān)系，使用最小二乘法，求出a和b，得y=a+bx。如此當不確定分析的話，yj=a+bxj，xj確實會引入一個重復性分量=。=！但xj和a，b好像是相關(guān)的？弱相關(guān)，忽略不計？。。。。我怎么感覺想偏了。。

作者: solarup 時間: 2017-4-18 12:05

吳下阿蒙發(fā)表于 2017-4-18 10:44
按公式看，xj存在sx，說明這個xj肯定不是單值，應該是一組值的平均值。樣本可能是這樣的的x1為5個數(shù)的平 ...

為啥咱兩個理解的x[sub]j[/sub]不一樣？難道我理解的是假的最小二乘法？先吃飯去，回來再研究。

作者: 吳下阿蒙 時間: 2017-4-19 09:13
本帖最后由吳下阿蒙于 2017-4-19 09:16 編輯

solarup 發(fā)表于 2017-4-18 10:24
我的個人理解：當我們的測量模型大多是理論值的時候，我們沒什么可以搞B類評定的了。沒說明書，沒資料， ...

說實話我就是找不到出處啊！但是怎么看這個就是不確定度傳播率公式吧。，向量和的三角形法則？模型基本一樣，角度正余弦和相關(guān)系數(shù)一樣是正負1。。

作者: solarup 時間: 2017-4-20 13:05

吳下阿蒙發(fā)表于 2017-4-19 09:13
說實話我就是找不到出處啊！但是怎么看這個就是不確定度傳播率公式吧。，向量和的三角形法則 ...

請教，這里相關(guān)系數(shù)正負1有什么關(guān)系么？
嗯，我知道好像相關(guān)系數(shù)只是牽扯到合成不確定度不是方和根，而是不確定度求和。
不過相關(guān)系數(shù)是1協(xié)方差不見得是1吧？恕我魯愚，沒搞明白。

作者: solarup 時間: 2017-4-20 13:11

吳下阿蒙發(fā)表于 2017-4-18 10:44
按公式看，xj存在sx，說明這個xj肯定不是單值，應該是一組值的平均值。樣本可能是這樣的的x1為5個數(shù)的平 ...

我覺得如果按照這樣看，y=a+bx的話，為什么是弱相關(guān)？應該是強相關(guān)吧。b是斜率，就是b=y/sqrt(x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup])，x增大不是b減小么？這不是負強相關(guān)？而且上面你說是正負1，那么就是相關(guān)的意思，還是強相關(guān)。對，就是三角公式。

作者: 吳下阿蒙 時間: 2017-4-20 17:39

solarup 發(fā)表于 2017-4-20 13:11
我覺得如果按照這樣看，y=a+bx的話，為什么是弱相關(guān)？應該是強相關(guān)吧。b是斜率，就是b=y/sqrt(x+y)，x增 ...

我只是基于公式的推測，也不是很理解。我說的正負1，是說它們的上下限都是正負1，和向量求和相似。。

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