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計(jì)量論壇

標(biāo)題: 史氏測量計(jì)量學(xué)說(6) ——第5章誤差范圍與誤差合成 [打印本頁]

作者: 史錦順 時(shí)間: 2015-1-23 07:59
標(biāo)題: 史氏測量計(jì)量學(xué)說(6) ——第5章誤差范圍與誤差合成
本帖最后由史錦順于 2015-1-23 08:19 編輯

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                        史氏測量計(jì)量學(xué)說(6)
                                                ——第5章誤差范圍與誤差合成
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                                                                                                                                 史錦順
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（一）誤差量的特點(diǎn)
   誤差，表明測得值與實(shí)際值（被測量的真值）的差距。誤差是個(gè)泛指的概念，包括誤差元與誤差范圍兩個(gè)概念。
   誤差元等于測得值減真值。誤差元是誤差概念的基本單元，表明誤差的物理意義與計(jì)算方法，是誤差理論的基礎(chǔ)。但對(duì)一項(xiàng)測量計(jì)量的表達(dá)對(duì)象，誤差元是可正可負(fù)、有大有小的量，不便直接表達(dá)與應(yīng)用。
   誤差量的特點(diǎn)是它的上限性。取誤差元的絕對(duì)值，就去掉了誤差元的正負(fù)號(hào)；取誤差元的絕對(duì)值的一定概率（99%）意義下的最大可能值，就把誤差元的多個(gè)可能值，變成了一個(gè)值，這個(gè)值就是誤差范圍。
   誤差范圍體現(xiàn)了誤差量的特點(diǎn)，簡單、夠用；它被應(yīng)用于研制、計(jì)量、測量三大場合。研制是用計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)與物理機(jī)制建立儀器的誤差范圍；計(jì)量靠計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)檢驗(yàn)、公證儀器的誤差范圍；測量是利用誤差范圍。人們用經(jīng)過計(jì)量合格的測量儀器進(jìn)行測量，在得到測得值的同時(shí)，知道了該測得值的誤差范圍不超過測量儀器誤差范圍的指標(biāo)值，只要測量儀器的誤差范圍指標(biāo)滿足要求，人們就得到了夠格的測量結(jié)果，達(dá)到了測量的目的。
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      將誤差元變成誤差范圍，稱為誤差合成。誤差合成的任務(wù)就是兩條：去掉諸誤差元的正負(fù)號(hào)；找到諸誤差元共同作用產(chǎn)生的總誤差元的絕對(duì)值的最大可能值。
   一般量的特點(diǎn)是“雙限性”，就是不能過大，也不能過小。而誤差量不同，對(duì)誤差量的要求是不能過大，而越小越好。這是誤差量的“上限性”。因?yàn)檎`差元有正有負(fù)，所謂誤差大、誤差小，是只論絕對(duì)值，而不管正負(fù)號(hào)。
   考慮、選取誤差合成的方案，特別要注意誤差量的上限性。本書基于誤差量“上限性”的特點(diǎn)，提出“取絕對(duì)和好”的判斷。
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（二）誤差范圍與兩個(gè)區(qū)間
   通常的函數(shù)關(guān)系，是函數(shù)與自變量一一對(duì)應(yīng)。測量計(jì)量理論的函數(shù)關(guān)系，卻是一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)函數(shù)的一個(gè)區(qū)間。誤差范圍是函數(shù)區(qū)間的半寬。
   誤差元等于測得值減真值；誤差范圍是誤差元的絕對(duì)值的一定概率意義下的最大可能值。有這兩個(gè)定義，第4章推導(dǎo)了兩個(gè)區(qū)間的公式。
   研制、計(jì)量中用的測得值區(qū)間為：
                  Z-R ≤ M ≤ Z+R                                                                            （4.9）
   Z是被測量的量值（真值），M是測得值，R是誤差范圍。
   測量中用的被測量量值區(qū)間為：
                  M-R ≤ Z ≤ M+R                                                                         （4.15）
   以上兩個(gè)區(qū)間公式，即測得值公式與真值公式，是把誤差范圍的定義的最大值符號(hào)max去掉推導(dǎo)的結(jié)果，表明區(qū)間中全部量值點(diǎn)的關(guān)系，物理意義明確，表達(dá)完備。另有一種最常用的表達(dá)方式，那就是著眼點(diǎn)于區(qū)間邊界點(diǎn)，而得出的公式，有最簡潔的形式，而實(shí)際內(nèi)容，與上二式等效。推導(dǎo)時(shí)不去掉最大值符號(hào)max，著眼點(diǎn)于區(qū)間邊界，即只用等號(hào)。
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   A 測得值區(qū)間公式
   基本公式
                  │M – Z│max = R
   只著眼最大點(diǎn)，有
                  │M – Z│ = R                                                                                  （5.1）
   解絕對(duì)值方程（5.1）
   當(dāng)M＞Z時(shí)，有
                  M(大)=Z+R                                                                                  （5.2）
   當(dāng)M＜Z時(shí)，有
                  M(小)=Z-R                                                                                     （5.3）
   綜合（5.2）式、（5.3）式，有
                  M = Z±R                                                                                        （5.4）
   M(大)等于區(qū)間上邊界點(diǎn)，M(小)等于區(qū)間下邊界點(diǎn)。M的整個(gè)區(qū)間為：
                  Z-R ≤ M ≤ Z+R                                                                               （4.9）
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   B 真值區(qū)間公式
   基本公式
                  │M – Z│max = R
   只著眼最大點(diǎn)，有
                  │M – Z│ = R                                                                                  （5.1）
   解絕對(duì)值方程（5.1）
   當(dāng)M＞Z時(shí)，有
                  Z(小) = M-R                                                                                  （5.5）
   當(dāng)M＜Z時(shí)，有
                  Z(大) = M+R                                                                                  （5.6）
   綜合（5.5）式、（5.6）式，有
                  Z = M±R                                                                                        （5.7）
   Z(大)等于區(qū)間上邊界點(diǎn)，Z(小)等于區(qū)間下邊界點(diǎn)。Z的整個(gè)區(qū)間為：
                  M-R ≤ Z ≤ M+R                                                                               （4.15）
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（三）誤差范圍的人、繩、狗模型
   真值、測得值、誤差元與誤差范圍的關(guān)系，可以比喻為人、繩、狗的關(guān)系。
   真值比做人，測得值比做狗，誤差就是人與狗的距離。人狗的位置差，時(shí)刻在變化，但距離的最大值被繩長所限制。繩長比做誤差范圍，是個(gè)單一值；人與狗的距離比做誤差元，從零可變到繩的長度。
   固定人的位置，狗活動(dòng)在以人為圓心、以繩長為半徑的圈內(nèi)。這像研制與計(jì)量中的測得值區(qū)間。測得值區(qū)間以真值為中心、以誤差范圍為半寬。
   某時(shí)觀測到狗的位置，則人必在以狗為圓心，以繩長為半徑的圈內(nèi)。這像測量中的真值區(qū)間。被測量的量值區(qū)間（真值區(qū)間）以測得值為中心、以誤差范圍為半寬。
   繩長限制了人與狗的距離。知道人的位置，可以找到狗；同樣，知道狗的位置，也可以找到人。
   同一誤差范圍，貫穿于測得值區(qū)間與被測量量值區(qū)間這兩個(gè)區(qū)間中，是測得值與真值之間變換換的基礎(chǔ)。研制中，確立真值到測得值的變換；測量中，利用測得值到真值的變換。誤差范圍決定兩個(gè)變換的質(zhì)量，也就是決定測量的水平。
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   測量儀器的誤差范圍，在生產(chǎn)時(shí)被造就，而在計(jì)量時(shí)，被公證。能確認(rèn)誤差范圍之值，是因?yàn)橛?jì)量中有標(biāo)準(zhǔn)。而標(biāo)準(zhǔn)之標(biāo)稱值，可視為真值。定標(biāo)時(shí)、計(jì)量時(shí)的測得值區(qū)間，是測量儀器的特性，它確定了測得值對(duì)真值的關(guān)系。測量儀器的這個(gè)特性，在測量中將表現(xiàn)出來，即表達(dá)測得值與真值的關(guān)系，因此可由測量中得到的測得值來確定被測量的真值。
   研制與計(jì)量中，依靠真值確認(rèn)誤差范圍；測量中由已知的誤差范圍與測得值而得知被測量的量值。測量結(jié)果是測得值加減誤差范圍，被測量的真值包含在測量結(jié)果中。
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（四）誤差范圍的重要性
   1 誤差范圍是測量儀器的測得值函數(shù)的簡化表達(dá)；
   2 誤差范圍是測量儀器性能的表征；誤差范圍指標(biāo)值是測量儀器水平的標(biāo)志
   3 計(jì)量是對(duì)測量儀器誤差范圍的檢驗(yàn)與公證。計(jì)量的作業(yè)是求得被檢儀器的實(shí)際誤差范圍值；儀器計(jì)量合格，就是指儀器的誤差范圍的實(shí)際值不大于儀器的誤差范圍指標(biāo)值。
   4 誤差范圍是測量中真值函數(shù)的簡化表達(dá)。
   5 測得值與誤差范圍共同構(gòu)成測量結(jié)果。標(biāo)志測量水平的是誤差范圍。在滿足儀器使用條件、正確操作的條件下，測量者用測量儀器的誤差范圍指標(biāo)值，當(dāng)作測得值的誤差范圍，是合理的、冗余的代換。因此，人們選用誤差范圍指標(biāo)夠格的測量儀器進(jìn)行測量，在得到測得值的同時(shí)，也知道了測得值的誤差范圍。被測量的真值包含在測量結(jié)果中。于是人們就達(dá)到了測量的目的。
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   測量儀器的誤差范圍指標(biāo)（準(zhǔn)確度），是儀器生產(chǎn)的目標(biāo)，是計(jì)量合格性判別的標(biāo)準(zhǔn)，是使用者選用儀器與表示測量結(jié)果的依據(jù)。測量儀器的研制、生產(chǎn)、使用，用一個(gè)誤差范圍指標(biāo)（準(zhǔn)確度）貫穿起來，是人類社會(huì)的組織效果，是人類文明的一種體現(xiàn)。
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（五）誤差合成方法的比較
      誤差合成，主要用于三種場合。研制測量儀器時(shí)，依據(jù)儀器的測量方程，把構(gòu)成總誤差的各個(gè)測量因素，合成為總誤差范圍。直接測量時(shí)，依據(jù)直接測量的測量方程，把隨機(jī)誤差、各項(xiàng)系統(tǒng)誤差合成為總誤差范圍。間接測量時(shí)，依據(jù)間接測量的函數(shù)關(guān)系公式，把各個(gè)直接測量的誤差范圍，合稱為總誤差范圍。
   誤差合成有三種方法。
   （1）混合法
   歷史上，標(biāo)準(zhǔn)的研制、測量儀器的研制，誤差合成大都用混合法。就是對(duì)隨機(jī)誤差與項(xiàng)目較多的小的系統(tǒng)誤差，用方和根法；而對(duì)少數(shù)幾項(xiàng)大的系統(tǒng)性誤差，用絕對(duì)和法。這是一種直觀的判斷，沒有這方面的嚴(yán)格分析。歷史證明，混合法基本可用。
   （2）方和根法
   取各項(xiàng)平方和的根。
   各量和的平方，等于各量平方的和再加上交叉乘積項(xiàng)之和。交叉乘積項(xiàng)之和可以忽略的條件是各量獨(dú)立而不相關(guān)。隨機(jī)誤差一般可認(rèn)為是不相關(guān)的。由于測量儀器不僅有隨機(jī)誤差，還有系統(tǒng)誤差，而且系統(tǒng)誤差通常占主導(dǎo)地位，如何判別相關(guān)性，就是個(gè)難題。
   主張采用方和根法，是當(dāng)代的主流；但實(shí)際是一種行不通的空想。
   他們講道理時(shí)說，當(dāng)分項(xiàng)間不獨(dú)立時(shí)，要計(jì)及相關(guān)系數(shù)，要計(jì)算協(xié)方差。而計(jì)算相關(guān)系數(shù)、計(jì)算協(xié)方差，極其麻煩。怎辦？通常都是設(shè)“獨(dú)立”、“不相關(guān)”；這是掩耳盜鈴的作法。不確定度理論推廣以來，對(duì)通常的相關(guān)或部分相關(guān)的情況，都按“不相關(guān)”處理，這是錯(cuò)誤的。
   所謂用“相關(guān)系數(shù)公式判別相關(guān)性”實(shí)際是行不通的。相關(guān)系數(shù)公式僅僅對(duì)隨機(jī)誤差才成立，包含有系統(tǒng)誤差的場合，相關(guān)系數(shù)公式不成立。現(xiàn)有的相關(guān)系數(shù)公式對(duì)系統(tǒng)誤差的靈敏度為零。一般儀器是以系統(tǒng)誤差為主的，而相關(guān)系數(shù)又與系統(tǒng)誤差無關(guān)，這樣，所謂相關(guān)性判別，實(shí)際是沒法計(jì)算的。大量規(guī)范、文件、書籍所說的“假定不相關(guān)”，都是不符合實(shí)際的。是掩耳盜鈴。方和根法所要求的條件不成立，方法本身就沒有理論基礎(chǔ)。
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   （3）絕對(duì)和法
   各項(xiàng)分項(xiàng)誤差，絕對(duì)值相加。
   絕對(duì)和法的優(yōu)點(diǎn)：
   1 符合誤差量上限性的特點(diǎn)，不要求條件、保險(xiǎn)。
   2 符合最基本的數(shù)學(xué)原理（數(shù)學(xué)手冊(cè)方法）。
   3 實(shí)際性能到性能指標(biāo)有余量，信譽(yù)高。
   4 好算，設(shè)計(jì)者歡迎。
   5 有余量，合格性的臨界狀態(tài)少，計(jì)量易判別。
   6 可靠，測量者歡迎。
   7 鑒定會(huì)容易通過。
   8 促進(jìn)提高儀器性能。
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（六）絕對(duì)和法的一般表達(dá)
   絕對(duì)和法就是各項(xiàng)取絕對(duì)值后相加。
   絕對(duì)和法就是各分項(xiàng)誤差范圍（都是正值）相加。
   設(shè)測得值函數(shù)為
                  M = f(X1,X2,X3)
   泰勒展開的一階項(xiàng)是
                  ΔM = (?f/?X1) ΔX1+(?f/?X2) ΔX2+(?f/?X3) ΔX3
   誤差范圍為：
                  R =│ΔM│max
                     =│(?f/?X1) ΔX1+(?f/?X2) ΔX2+(?f/?X3) ΔX3│max
                     =│?f/?X1││ΔX1│max + │?f/?X1││ΔX1│max + │?f/?X1││ΔX1│max
                     =│?f/?X1│R1 + │?f/?X2│R2 + │?f/?X3│R3
                     = R(1) + R(2) + R(3)
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（七）絕對(duì)值合成法的常用公式
   以下公式，參照《數(shù)學(xué)手冊(cè)》（科學(xué)出版社，1980版）編寫。這是六項(xiàng)最基本的誤差范圍合成公式。可惜，這些最基本的知識(shí)，一些人，包括某些專家，竟不知道。他們?cè)鯓佑?jì)算呢？一律取方和根。不僅不確定度論如此；一些誤差理論書也如此。前面講過，取方和根法的條件“不相關(guān)”，在有系統(tǒng)誤差的條件下，相關(guān)系數(shù)公式不成立。因此，方和根法沒有理論基礎(chǔ)。
   不確定度論指謫誤差理論沒有統(tǒng)一的誤差合成方法，從而主張一律取方和根。這是一條走不通的難路、死路。

   鑒于誤差量的“上限性”的特點(diǎn)，筆者認(rèn)為經(jīng)典測量理論的“絕對(duì)值合成法”，是簡單的、現(xiàn)實(shí)可行的、保險(xiǎn)的；也是合理的、正確的。
   本章以數(shù)學(xué)的形式，推導(dǎo)絕對(duì)合成的公式，說明經(jīng)典方法的嚴(yán)格性、合理性。須知：誤差合成是儀器設(shè)計(jì)者、測量方案設(shè)計(jì)者自己的事，這樣做，自己方便、有利別人，是嚴(yán)于律己的做法，易懂易學(xué)、處理方便又保險(xiǎn)，何樂而不為之？也許有人說，這樣做，于己可以；要求別人，就不合理了。
   計(jì)量時(shí)，是要求別人。但是，計(jì)量靠的是標(biāo)準(zhǔn)，靠的是實(shí)測，計(jì)量對(duì)被撿對(duì)象的合格性判別，與誤差合成方法無關(guān)。
   如果某些特定場合，需要進(jìn)行誤差合成，最可信的方法是絕對(duì)值合成。
   本書推薦最基本的六大公式。好記，好用。
1 和的誤差公式
   定理一：二量和的誤差范圍，等于二量的誤差范圍之和。
   證明
   1.1物理公式
                  C=A+B
   1.2計(jì)值公式
   對(duì)物理公式加標(biāo)號(hào)，m表測得值（下同）
               Cm=Am+Bm
   1.3測量方程
   聯(lián)立物理公式與計(jì)值公式
                  Cm-C =Am-A+Bm-B
   1.4 誤差范圍關(guān)系
   用r表誤差元，R表誤差范圍（下同）
   由測量方程
                  r(C)=r(A)+r(B)
                  │r(C)│max=│r(A)+ r(B)│max
                                 =│r(A)│max+│r(B)│max
   誤差元的絕對(duì)值的最大可能值是誤差范圍，故有：
                  R(C)=R(A)+R(B)
   定理一得證。
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2 差的誤差公式
   定理二：二量差的誤差范圍，等于二量的誤差范圍之和（不是差）。
   證明
   2.1 物理公式
                  A=C-B
   2.2 計(jì)值公式
                  Am = Cm-Bm.
   2.3 測量方程
   聯(lián)立物理公式與計(jì)值公式
                  Am-A = Cm-C – (Bm-B)
   2.4 誤差范圍關(guān)系
   由測量方程
                  r(A)=r(C)-r(B)
                  │r(A)│max=│r(C)- r(B)│max
                                 =│r(C)│max+│r(B)│max
   誤差元的絕對(duì)值的最大可能值是誤差范圍，故有：
                  R(A)=R(C)+R(B)
   定理二得證。
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3 積的誤差公式
   定理三：二量積的相對(duì)誤差范圍，等于二量的相對(duì)誤差范圍之和。
   證明
   3.1 物理公式
                  C = A B
   3.2 計(jì)值公式
                  Cm = Am Bm
   3.3 測量方程
   聯(lián)立物理公式與計(jì)值公式，解得
                  Cm/ C = A m Bm/(A B)
   3.4 誤差范圍關(guān)系
   由測量方程
                  (C+ΔCm)/C = [(A+ΔAm)/A] [(B+ΔBm)/B]
                  1+δr(C) =[(1+δr(A))][1+δr(B)]
                  δr(C) =δr(A) +δr(B)
               │δr(C)│max =│δr(A)│max+│δr(B)│max
   誤差元的絕對(duì)值的最大可能值是誤差范圍，故有：
                  δR(C)=δR(A)+δR(B)
定理三得證。
-
4 商的誤差公式
   定理四：二量相除，商的相對(duì)誤差范圍，等于二量的相對(duì)誤差范圍之和。
   證明
   4.1 物理公式
                  A = C / B
   4.2 計(jì)值公式
                  Am = Cm / Bm
   4.3 測量方程
   聯(lián)立物理公式與計(jì)值公式，解得
                  Am/ A = [Cm /Bm] B/C
   4.4 誤差范圍關(guān)系
   由測量方程
               (A+ΔAm)/A = [(C+ΔCm)/C] / [(B+ΔBm)/B]
               1+δr(A) =[(1+δr(C))] / [1+δr(B)] =[(1+δr(C)] [1-δr(B)]
               δr(A) =δr(C) -δr(B)
               │δr(A) │max=│δr(C) -δr(B) │max =│δr(C) │max +│δr(B) │max
   誤差元的絕對(duì)值的最大可能值是誤差范圍，故有：
               δR(A)=δR(C)+δR(B)
   定理四得證。

5 冪的誤差公式
   定理五：A等于B的n次方，則A的誤差范圍等于B的誤差范圍的n倍。
   證明
   5.1 物理公式
                  A =B^n
   5.2 計(jì)值公式
                  Am = Bm^n
   5.3測量方程
   聯(lián)立物理公式與計(jì)值公式，解得
                  Am /A= Bm^n/B^n
   5.4 誤差范圍關(guān)系
   由測量方程
                  (A+ΔAm)/A = (Bm/B)^n= [1+δr(B)]^n
               1+δr(A) = 1+nδr(B)
               δr(A) = nδr(B)
               │δr(A) │max=│nδr(B) │max = n│δr(B) │max
   誤差元的絕對(duì)值的最大可能值是誤差范圍，故有：
               δR(A)= nδR(B)
   定理五得證。

6 根的誤差公式
   定理六：A等于B的n次方根，則A的誤差范圍等于B的誤差范圍的1/n倍。
   證明
   6.1 物理公式
                  A =B^(1/n)
   6.2 計(jì)值公式
   對(duì)物理量加標(biāo)號(hào)，m表測得值
                  Am = Bm^(1/n)
   6.3 測量方程
   聯(lián)立物理公式與計(jì)值公式，解得
                  Am /A= Bm^(1/n) / B^(1/n)
   6.4 誤差范圍關(guān)系
   r表誤差元，R表誤差范圍。
               (A+ΔAm)/A = (Bm/B)^ (1/n)= [1+δr(B)]^ (1/n)
               1+δr(A) = 1+(1/n)δr(B)
               δr(A) = (1/n)δr(B)
               │δr(A) │max=│(1/n)δr(B) │max = (1/n)│δr(B) │max
   故有：
               δR(A)=(1/n)δR(B)
   定理六得證。
-

作者: zwr 時(shí)間: 2015-1-23 09:43
史老筆耕不輟，后生拜服啊

作者: 285166790 時(shí)間: 2015-1-23 11:24
不確定度合成，通常用的就是混合法。

作者: 史錦順 時(shí)間: 2015-1-23 12:08

285166790 發(fā)表于 2015-1-23 11:24
不確定度合成，通常用的就是混合法。

我看過上百個(gè)不確定度評(píng)定的樣板，都是用“方和根”法合成，沒見到一個(gè)評(píng)定中用絕對(duì)值相加的。先生說“通常用的就是混合法”，不符合事實(shí)。不確定度論的基本立場是取方和根評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度，必須用方和根，哪里會(huì)混合有“絕對(duì)和法”？不要說“通常”，在大量的不確定度樣板評(píng)定中，用混合法的例子，一個(gè)也沒有。你是不是把最大允許誤差MPEV或準(zhǔn)確度等級(jí)或誤差范圍或準(zhǔn)確度，當(dāng)成“不確定度”了？

作者: 285166790 時(shí)間: 2015-1-26 08:12

史錦順發(fā)表于 2015-1-23 12:08
我看過上百個(gè)不確定度評(píng)定的樣板，都是用“方和根”法合成，沒見到一個(gè)評(píng)定中用絕對(duì)值相加的。先生 ...

不確定度的合成一般分成若干部，不能光看最后一步。大多數(shù)混合合成法體現(xiàn)在其中的分項(xiàng)合成時(shí)。比如由于“重復(fù)性”和“分辨力”的不確定度是有相關(guān)性的，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)型方法，只取它們之中最大的那個(gè)：量塊的測量模型中，也要考慮到溫度和長度的相關(guān)性，是要進(jìn)行處理的。JJF1059.1中這樣的案例有好幾個(gè)，所以合成方法并不是唯一的方和根，只是隱藏在不同的合成階段，而且處理方法上可能用經(jīng)驗(yàn)性方法被簡化了。

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