計量論壇

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                  不確定度理論的五大難關(3)

                                ——第三關：可疑又難懂的自由度

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                                                                                                                                          史錦順

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（一）自由度該有自由

自由度的概念，本來是個嚴肅的物理概念。物理中，自由度又稱“維數”。戰場上，坦克是二維運動，可以橫沖直撞，坦克的位置，由經度、緯度來確定。是二維的。經度可能取各種值，是一個自由度；維度可以取各種值，是一個自由度，一共是兩個自由度。飛機有經度、緯度、高度三個自由度。潛水艇有經度、緯度、水平面下深度三個自由度。航空母艦及水面艦艇船只，只有經度緯度兩個自由度。由于空間的三維性，宇宙雖大，而每個物體的運動，最多有三個自由度。

每一維都可以取各種值，不受限制，固有其名曰：“自由度”。火車在某段路上，可以前進后退，卻不能脫離鐵路線橫行，又不能做垂直地面的運動，因此火車在三維空間中，兩維受限制，只有一個自由度。

數學中，函數有N個變量，就稱有N個自由度。說得過去。因為每個變量都可自由取值。

函數 f(x,y)=x+y，x可以自由取值，y可以自由取值，有兩個自由度。如果給定一種關系，x-y=c，c是常數，則自變量可以代換掉一個，y=c+x，則函數變成f(x)=2x+c。原來是兩個自變量即兩個自由度；加一個條件限制，自變量成為一個，自由度減少一個。

由上可知，自由度，該有自由。

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不確定度宣貫以來，說取N個示值，就是N個自由度。我認為由此稱說自由度，自由度就太多了。一個自由度取一個數，哪還有“自由”的味道？

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統計測量的書中，確有N次獨立測量，有N個自由度的說法。我反對不確定度理論，卻不敢也不該反對統計理論。反復思考，統計理論意義下的自由度，我認為是如下的意思。

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一場測量，N次取值。

M場測量，每場N次取值，總共有MN個數據。

橫排是次數，縱排是場數，有

        11，12， …… 1 N

        21，22， …… 2N

         ↓    ↓         ↓

       M1    M2   ……   MN

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     統計理論說N次獨立測量有N個取值，有N個自由度。由此討論遵從統計理論的不確定度理論的自由度。

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（二）疑問：貝塞爾公式的自由度是N-1嗎？

不確定度論講究自由度。第一處講自由度，說貝塞爾公式的自由度是n-1。我認為，這是錯誤的。

n是數據量，即獨立測量的個數。統計理論的自由度，應是有多少個獨立測量，就有多少個數據，就有多少自由度。自由度是對獨立測量說的，是對數據說的，自由度是多少，本質說的是數據有多少個取值的可能。標準方差中是用偏差Xi-EX，是n個自由度，怎么到貝塞爾公式中用平均值代替數學期望，數據量還是n個，而自由度竟變成n-1了？如果取值的自由度是n-1,則應是有n-1個數據就決定一切了，第n個數據不起作用，是個沒有自由度的必然量。這是不符合事實的，n個數據，哪個也不能少。例如取2個數據，是2個自由度，如果已知二數據之和為b，則知道X1，必知X2是b-X1,因而是1個自由度。但取殘差平方和時是一個也不能少的。具體計算一下。

      [X1-(X1+X2)/2]^2 + [X2-(X1+X2)/2]^2 =(X1-X2)^2 /4

式中X1、X2都在，哪個也不能缺，仍是2個自由度。

因此，說殘差之和等于零是一個約束條件，即限制數為1。由此可得自由度n= n - 1。 這句話是不對的。n個數據的自由度是n,而不是n-1。公式中用到數據之和，設為Z，這是多出一個值，自由度該加1，而多出的Z等于數據之和是約束條件，要減去1，自由度加1又減1，還是n。

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結論：貝塞爾公式的自由度是n，而不是n-1。您說，對嗎？

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（三）弱化自由度

學習不確定度理論的人都知道，自由度是個難點。正確的客觀規律，有實際用途的知識，再難也該學。但不確定度論講的自由度，一開始就不對（即將n誤解為n-1）；以后的內容，更難；至于對不對，天知道。反正像老史這樣的北大物理系六年制的畢業生，又經五十年苦讀、求真的人，就認可是自己學不懂。那么有多少人能學懂會用呢？學不懂，只好抄。可笑的是，一個樣板評定，估計國家計量院的可信度是80%，由此算等效的自由度。國家計量院的可信度，這樣低，那個自由度就很難讓人相信了。

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2011年2月，JJF1059.1《測量不確定度評定與表示》規范修訂起草小組，提出“本規范弱化了對給出自由度的要求”，這是正確的。說明，在中國計量界的學術高層，已認識到自由度無用的本質。

自由度的概念，無實際用途，難解難算，樣板評定中有人用，除數據量的自由度取n-1（這是錯的）外，都是些隨意的估計。筆者的意見是：既然弱化，就弱化到零吧。

既然自由度可以“弱化”，不確定度論就該弱化。

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最后，對比一下。

誤差理論，不講究自由度。不學、不用自由度。一切正常，這是正路。

不確定度理論，弄出個自由度來，還要求每個測量結果都說明自由度。而人們對自由度又學不懂、不會用。逼得人們違心地去抄襲，去蒙混；這實在是對計量人的褻瀆。怨氣滿腔的計量工作者，認清不確定度論的偽科學本質，堅決反對不確定度論！

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謝謝崔先生的鼓勵

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      [X1-(X1+X2)/2]^2 + [X2-(X1+X2)/2]^2 =(X1-X2)^2 /4

式中X1、X2都在，哪個也不能缺，仍是2個自由度。】

——從結果來看，其‘自由度’好像是只有一個了：只與差值 △X=（X1-X2）有關了！

在“評估”出“測量不確定度”時，給出相應的“自由度”真的是沒有什么實際意義的，在沒有人“保證”所論‘隨機量’究竟服從什么‘分布’的情況下，由“自由度”表達對‘分布’參數的‘評估’質量，基本是‘扯淡’！ ....“測量不確定度”的“評估”‘自由度’只有假想條件下的‘學術’意義---可能只對“數學”有意義！......“測量不確定度”的實際“評估”質量只能由“實踐”來‘檢驗’--- 對于“基準”以下“對象”的“測量不確定度”，可以依靠“上級”來‘核查’，或由人們可以確認的效應來判斷；對于“基準”的“不確定度”（不準確度）---這只是少數‘專家’的事情，不知有多少是給了‘自由度'的？

先生說：從結果來看，其‘自由度’好像是只有一個了：只與差值 △X=（X1-X2）有關了。

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史辯：差值△X=（X1-X2），就是兩個自由度。△X由獨立采樣量X1與X2共同決定，哪個也不能少，因此必是兩個自由度。如果給定一個條件X1+X2=C,C是常數，則X1、X2中可以代換一個，也就是獨立采樣只有一個，才能說自由度為1. 這個限定條件是真限定。

原式

           △X=X1-X2                    （1）

因已限定  

           X1+X2=C                      （2）

有   

           X2= C-X1                     （3）   

（3）式代入（1）式有

           △X=X1-（C-X1）

              =2X1-C                    （4）

我說：原差值是兩個自由度，加一個限制條件，變成一個自由度，這是說得通的。

    如先生的說法，（1）的自由度是1，加上（2）的限制，（4）的自由度就是零了。這顯然不通。有一個X1在，它是獨立測量，就必須是一個自由度。如果說著眼點是差值，那2X1-C也是差值，自由度應該是1，而不是零。

    對σ的自由度來說，平均值是n個獨立采樣值的計算結果，必須用n個值計算，一個都代換不掉。如果給定平均值是常數差C，那就可以代換掉一個采樣值，而自由度成為n-1.可惜，平均值是n個采樣值的計算結果，必須n個值到齊才行。

    還有一點，一個函數的自由度，由獨立變量決定，與函數表達式無關。

Y=X1+X2+X3+X4+X5，和數只有一個，能說是一個自由度嗎？不能。自由度應該是5。

    阿侖方差的統計單元是二量之差。每組二值，連續采樣；取30組，差值是30個，但獨立采樣是60個值，只能說在自由度60.因為統計理論規定獨立采樣數等于自由度.當然，阿侖方差不講究沒有實際用途的自由度。我的《測量計量學》也絕不提一句“自由度”這種廢話，因為它實在沒用。沒法實驗核對，也沒法實驗證否。

    還有，如果函數是Y=(X1-X2)+(X1^2-X2^2)+(X1^3-X2^3),雖然差值有三種，因獨立變量只有X1與X2兩個，也僅能說自由度是2，而不能說是3，更不能說是1.

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