計量論壇

量的差值是二量之差。甲量減乙量為＋C，乙量減甲量就是 ―C。這里的正號，表明甲量大而乙量小；負號表示甲量小而乙量大。差值的絕對值才能表明差值本身的大小。

誤差就是差值。誤差元定義為測得值減真值，誤差元可正可負。誤差元為正，表明測得值大于真值，誤差元為負表明測得值小于真值。因此，正號與負號，只說明測得值與真值哪個大，那個小，不能說明誤差量本身的大小。誤差量本身的大小取決于誤差元的絕對值。

誤差的正負號與誤差量的大小沒關系，留著有害（相互抵消或誤解大小），因此誤差的表征量，必須去掉誤差元的正負號。

去掉誤差正負符號的第一個辦法是把誤差元平方再開方。初等數學規定：平方根為正值，因此達到了去掉符號的目的。處理隨機誤差的貝塞爾公式，體現了這一點。貝塞爾公式的意義取得分散性的表征量，而去掉正負號也是一個作用。

去掉誤差正負符號的第二個辦法是取絕對值。測量儀器合格性判別中的|Δ|就是對示值與標準值之差取絕對值。

測量儀器的指標表征量最大允許誤差，符號為MPEV，第四個符號是絕對值。因此，儀器指標MPEV說全，應為：最大允許誤差的絕對值。

因此，計量中實測的值|Δ|，以及指標值MPEV都是絕對值，沒有正負號存在的地方。（見《JJF1094-2002 測量儀器特性評定》）

如上，稱說與比較誤差的大小，必須是誤差量的絕對值。與符號無關。

都成說得對，誤差量的最小值是零。因而沒必要說誤差量的最小值。

誤差范圍是誤差元的絕對值的一定概率（99%）意義下的最大可能值。由于誤差量的絕對值的上限性的特點，誤差范圍的概念，貫通于測量儀器研制、計量、測量這三大領域。

既然儀器合格性判別把MPEV當做測量儀器的性能指標，因此，任何測量儀器都不能給出不對稱的指標。不對稱的區間，在機械零件尺寸的公差帶表達中，是存在的，那是客觀量值的存在的統計問題，不是測量問題；測量問題中，沒有不對稱的區間

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示值就是測得值。示值減真值與測得值減真值，沒有區別。因此，示值誤差就是誤差。

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敬老是必要的。但對誰的話也得鑒別，如果什么都以老者的認識為標準，那科技就沒法前進了。從“小黃莊回憶”（安外小黃莊是國家計量院地址的舊稱）系列文章中，我大致知道你提到的老者或那一代人的水平。都過了八十歲了，諒解他們吧。

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                                          比較誤差大小要看絕對值

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表達一個人的經濟情況，在錢財的數軸上，正表示積蓄，負表示負債，這時，正負號有意義。甲+100萬元；乙+10萬元；丙-50萬元。財富排行榜：1甲，2乙，3丙。甲的錢最多，丙的錢最少，乙的錢居中。正負符號起重要作用。

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現在比較他們財富的差距。1號統計員讓每人以自己為標準。于是得他人與自己之差，清單如下：

甲：乙―甲  -90萬元

        丙―甲  -150萬元

乙：甲―乙  +90萬元

        丙―乙  -60萬元

丙：甲―丙  +150萬元

        乙―丙  +60萬元

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2號統計員，著眼點是一個人與其他人之差，于是得另一清單。

甲：甲―乙  +90萬元

        甲―丙  +150萬元

乙：乙―甲  -90萬元

        乙―丙  60萬元

丙：丙―甲  -150萬元

        丙―乙  -60萬元

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各次計算差值的結果，列在數軸上，為：

         -150萬元，-90萬元，-60萬元，+60萬元，+90萬元，+150萬元

說三人財富的最小差值是-150萬元，這顯然是錯誤說法。

正負號的不同，不說明差值的大小，僅能說明以哪方為參考點。

差值的絕對值才表明差值的大小。+150萬元是最大差值，-150萬元的絕對值是150萬元，它就是最大差值。在這個題目中，就表現差值的大小來說，-150萬元與+150萬元的意義相同，作用等效。有個正號、負號，毫無意義；因此要取絕對值，即去掉正號與負號。

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表明財富差大小的是財富差的絕對值。甲和丙的差距最大，以自己為比較標準，在甲看來是-150萬元，在丙看來是+150萬元。而當以對方為標準時，在甲看來是+150萬元，在丙看來是-150萬元，這里的正負號只表明以誰為標準，富與貧，不只取決于正負號，還有以哪方為標準。以自己為標準，負號表示別人貧，而自己富；以對方為標準，負號表示自己貧而別人富。

可見，表明差距大小的是絕對值，不能單看符號，只憑符號論差值大小，必然出錯。上例，不論表成-150萬元，還是表成+150萬元，都是最大差距。-150萬元與最小差無關。

用絕對值表達財富差，簡單而明確。三人間的財富差分別是150萬元（甲丙間）、90萬元（甲乙間）、60萬元（乙丙間）。財富差距的最大值是150萬元，最小差距是60萬元。

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回到誤差問題。

誤差的概念，是個泛指概念。包括誤差元與誤差范圍的概念。這既是誤差概念的歷史，也是誤差概念的現實。

誤差元定義為測得值減真值的差值，它是誤差概念的物理基礎，也是分析計算的基礎。誤差元可正，可負，也可以是零。。

由誤差元構成誤差范圍。

誤差范圍是誤差元的絕對值的一定概率（99%）意義下的最大可能值。恒正。

誤差范圍是區間，誤差元是區間中的點；誤差范圍是集合，誤差元是集合的元素。

計量中有標準。標準的標稱值代表標準的真值。用被檢儀器測量計量標準，示值與標準標稱值之差就是示值誤差元，可正可負，也可以為零。

計量時的區間是示值的區間。以標準標稱值為中心的、以測量儀器誤差范圍的指標值為半寬的示值區間必定包含示值。也就是說，實測的示值在示值區間中，則測量儀器合格；如果有示值出現在區間外，則儀器不合格。

誤差量的大小，取決于誤差元的絕對值，而與誤差元的符號無關。

有兩個誤差元，+2mm和-10mm。有資深計量專家說：-10mm誤差小，而+2mm誤差大。這是錯話。該專家忘了誤差是差值，而差值的正負號，只表明計算差值的那甲乙二量，以哪個為標準，正負號與甲乙二量差別之大小無關。差值的絕對值才表明甲乙二量差別的大小。誤差量的大小，要看誤差元的絕對值。因此那項標有-10mm的誤差是大誤差，而標有+2mm的誤差是小誤差。

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                 莫把偏差當誤差

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量值本身對標稱值（或標準值）的偏離，叫偏差。這時的量值，指的是測量誤差可略的實際值（真值）。講偏差的地方，其前提條件是誤差可略。偏差的符號，是偏差量的一部分，不可少。這時的偏差量是實際尺寸的一部分，因此，絕對值大的負偏差對應較小的實際量值。而絕對值較小的負偏差，則對應較大的實際量值。

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即使在這個場合，所謂偏差的大小，也得看偏差的絕對值。-10mm與+2mm這兩個偏差值，大的負偏差、小的正偏差。說-10mm是小偏差，而2mm是大偏差，不符合中國人的語言習慣，也不科學。正負號能隨比較標準的選擇而變化，而差別的大小，是客觀存在。

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偏差概念的應用，最常見是機械加工的場合。軸與孔的公差帶，要相互配合。根據“緊固”與“滑動”的不同，根據加工的等級，公差帶是不同的。公差帶的下限是實際尺寸的最小值，公差帶的上限是實際尺寸的最大值。檢驗中的測量儀器誤差，是不同性質的另一種問題，誤差是認識手段問題。對測量誤差范圍的要求，國家標準規定是誤差范圍小于公差帶的1/10(誤差范圍是誤差元的最大可能值，是測得值區間的半寬，此半寬與公差帶的半寬之比是1/5)。

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規矩灣先生所舉的表面粗糙度樣塊的例子，是正偏差與負偏差的問題。給出標稱值，允許實際值比標稱值不能大太多（正偏差絕對值小），而對標稱值的負偏差，絕對值越大表示離標稱值遠，而離理想值（粗糙度為零）近。因為是比較用的樣塊，為保證產品質量，樣塊宜好不宜差，因此取負偏差絕對值大，而正偏差絕對值小。

表面粗糙度比較樣塊的偏差要求是不對稱的，但這是偏差，是對實際值要求的界限，不是測量誤差。《JJF1099-2003》說得清楚，要求的測量儀器是：“相對示值誤差不超過±5%的觸針式表面粗糙度測量儀”，誤差范圍是對稱的。規矩灣先生把規范中的“偏差”當“誤差”說事，太馬虎了。或許是根本概念混淆，卻自以為是。

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機加工的公差標度也好，表面粗糙度樣塊的不對稱要求也好，都是偏差問題，它的偏差的正負不對稱，是對客觀實際值的要求，與測量的誤差問題無關。

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誤差范圍（誤差元絕對值的最大可能值）只講究絕對值，且只講究絕對值的最大值，而且對測得值區間，必定是對稱的。沒有任何測量儀器的測得值區間是不對稱的。根據如下：

1 合格性判別的要求

國家計量規范測量儀器的合格條件是：

      │Δ│≤ MPEV                                               (1)

左邊的檢定中的實測值│Δ│是取絕對值的最大者，右邊的測量儀器的指標值 MPEV 是最大允許誤差的絕對值。如果測量儀器給出不對稱的指標值，也得按最大的絕對值算。事實上，并沒有標有正負誤差絕對值不同的測量儀器。

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2 誤差合成的要求

隨機誤差，可大可小，可正可負，必須去掉負號。貝塞爾公式完成了這一處理。隨機誤差既已按絕對值處理，當不進行修正（測量儀器的指標是不修正的指標）時，系統誤差也只能取絕對值。誤差合成是在取絕對值的基礎上進行的。不取絕對值，無法進行誤差合成。

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3 區間轉換的要求

測量儀器研制、生產，必要的程序之一是確定測得值函數，就是確定測得值與被測量的關系。表征這個關系的測得值函數，可以表成測得值區間。測得值區間以被測量的實際值為中心，以誤差范圍為半寬。測得值區間的核心內容是誤差范圍。誤差范圍是生產廠家向用戶的承諾。

測量儀器的計量，就是檢查、公證測量儀器的指標。即抽樣證實測得值函數的真實性。計量的條件是必須有計量標準。計量標準的標稱值，可視為真值。測得值必須全部落在以標準值為中心的以誤差范圍為半寬的區間內，才算合格；有測得值落在區間外，則測量儀器不合格。

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研制部門確定、計量部門公證的測得值區間，必須轉換成被測量的量值區間，才可以應用。測量時沒有計量標準，測得值區間不好用。

因為誤差范圍是絕對值，這個轉換容易實現（如果不用絕對值，不對稱，難處理，也不便于應用）。

設測得值為M,被測量的實際值為L，誤差范圍為R。由于：

               M=L±R                                                       （2）

則有

               L=M±R                                                        （3）

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（2）式是測得值區間，研制確定（全量程），計量公證（取樣）。

（3）式是被測量區間。（3）式的含義是：以測得值為中心、以誤差范圍為半寬的區間，以99%的概率包含被測量的量值。

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注1 “范圍”一詞，當所論區域無中心時，指區域界線；當區域有中心時，表示與中心的最大距離。如說：“為保持天安門、人民大會堂、天門廣場的崇高地位，在距天安門2000米的范圍內，不許建高樓”。這里的范圍，指的是與中心點的最大距離。國家規范《JJF1180-2007》的偏差范圍，范圍就是對標稱值（中心值）的最大差值的絕對值。

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注2 這里的被測量或說被測量的實際值，就是經典測量理論中的“真值”。“真值”一詞的不同理解，導致全世界計量界的大混亂。叫實際值，看他還有什么理由反對。

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2014-7-23 15:59 上傳

                                          否定之否定

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                                                                                          史錦順

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我在60#帖中說：

本樓討論誤差大小的說法，我認為對誤差問題，著眼點一定是誤差范圍，不能把絕對值很大的負誤差，叫做小誤差。規矩灣先生引用《JJG34》，說絕對值很大的負誤差就該叫小誤差，這樣稱呼對檢定操作是必要的。這恐怕也是你說的那位資深老專家把絕對值很大的負誤差稱為小誤差的緣由。實踐是第一位的，語言、稱呼、說法，都是第二位的。看來，要承認在特定條件下（如指示表計量場合）這一說法的必要性與合理性。
       我在查閱《JJG34》時，看到與計量界通常概念不同的講法，于是發了一通牢騷，看來，不妥；是我不了解示值表檢定的具體情況。你的“對零”一條，消除了我的“可能漏檢”的顧慮。
       由上，我承認上兩帖對《JJG34》的議論是錯誤的。
       我認為，《JJG34》的表述，有些地方不完全，有些術語可以改進，以防產生誤解。我對示值表檢定的本質有了些理解；對名稱術語也有些改進意見，容我考慮考慮后再發。

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十天過去了，現在我認為：不是我對《JJG34》的議論出錯；而是我的檢討不當，今天的發言是“否定之否定”。

我把我的思考表述如下：

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（一）通常的誤差概念

誤差這個概念，是個泛指的概念。包含誤差元與誤差范圍這兩個概念。誤差表征測得值與被測量實際值（真值）的差距。稱說中的誤差，有不同含義。

1 誤差元。誤差元等于測得值減真值，可正可負。

2 誤差元的絕對值。絕對值沒有正負之分。

3 誤差范圍。誤差范圍是誤差元絕對值的最大可能值，恒正。

通常說到誤差，應該知道是誤差的泛指概念（種上的屬概念）。如說：“誤差理論”，其中的“誤差”，就是屬概念，包括誤差元、誤差范圍，相對誤差、絕對誤差，隨機誤差、系統誤差……凡是誤差的引申概念，統統包括在內。

“分項誤差分析”中的“誤差”，就是指誤差元。每項有數值，也有符號。

當比較誤差大小時，稱說的“大誤差”、“小誤差”，都是比較誤差絕對值的結果。甲誤差元為+2mm，乙誤差元為-8mm，人們必定說甲誤差小，而乙誤差大。

當稱說測量儀器的水平，或稱說測量結果的準確程度時，說“誤差”，必定指誤差范圍。

以上關于誤差的說法，誤差是“屬”，以下又有幾個“種”：誤差元、誤差元的絕對值、誤差范圍。明辨這些，對正確理解與運用誤差概念十分重要。要求自己要嚴，寫書、寫文章，一定要表達清楚，以避免混淆。而對別人，則不必苛求，根據語境，能判斷清楚就可以了。

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對待計量規范JJF、對待規程JJG，那是計量法規，一定要嚴格。

仔細考究《JJG34》，問題出在“示值”與“誤差”這兩個概念上。那里填表的數據，其實不是誤差，而是示值。是示值之差的尾數。因為有標準在，示值可以寫成標準值加減尾數。

檢定游標卡尺，標準是量塊。設游標卡尺讀數為Mi，量塊的標稱值為Bi,由于量塊的誤差范圍比卡尺誤差范圍小幾十倍，Bi可視為真值。誤差元為：

         r(i) = Mi-Bi

誤差范圍是

         R=|r(i)|max

R是實測得到的誤差范圍。設被撿卡尺的技術指標值為R(儀)，合格條件是：

         R≤R(儀)

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（二）JJG34的數據是示值，不是誤差

指示表的檢定，有過渡性數據；這些數據本不是誤差，而是示值的一種簡化寫法。就是用尾數來代表數值。作為示值，當然有大的負尾數的示值比具有小的正尾數的示值小。

以JJG34 表C.1的第二行為例

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標準值 毫米        0.200               0.220                 0.240                   0.260                      0.280

原標誤差微米          -2                    -2                      -2                         -2                            -3

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示值實際值為       0.198               0.218                 0.238                   0.258                      0.277

后示值減前示值          0. 020+0          0. 020+0              0. 020+0               0. 020 -1            

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由上可知，原表所填，是指示表示值的簡化寫法，僅僅表示示值的大小，沒有誤差的含義。后示值減前示值（不能前減后）大數是量值（例中是0.020mm）而對0.020mm差才是考究的誤差（紅字）。

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由上可知，JJG34的處理，是示值的簡化表達問題，不能以此為根據，把絕對值大的負誤差叫做小誤差。

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JJG34的特定處理法，不產生檢定的實際問題。但把本來的示值偏倚叫做“誤差”，不當，以致造成那位老人物把絕對值大的負誤差稱為小誤差的不當說法。

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長度的誤差，一定要先指明長度，再說測量此長度的誤差。

長度等于坐標點之間的距離。必須是坐標點的后值減前值（大示值減小示值）。

指示表檢定規程的數據表，就是坐標點。最左一列（上下）是標準的大數，最上一行是標準的小數。中間的數據是被撿表示值與標準值之差，是被檢示值表的坐標值（用示值減標準值的差來表示）。

如果把所填數據，說成是“示值”，就可減小誤解，避免錯誤稱呼，防止實質上的錯誤。

我自己和我影響下的工作人員，檢定中必須遵守一條：示值是什么，就寫什么，不許先算后記錄，否則，原始記錄不清，易出錯。

規程JJG34的講法、作法，都有過程與結果混淆的問題。規矩灣的錯誤理解，不能看做是他的個人問題。我認為是規范本身的表達方法不良，你理解對了；而他就理解錯了。

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我很看重你的一句話：“如果真的是使用到這0.2～0.4段測量0.2mm的距離，您可以看看，這0.2mm段的誤差實際是-2-（-2）=0的，因為0.2mm點和0.4mm點的誤差均為-2，說明從0.2mm點起，至0.4mm點終的這0.2mm行程段的實際值就是0.2mm，”

只要把紅字誤差改為“偏倚”，就十分準確了。

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發現有幾種形式。從無到有，是發現；從錯到對，也是發現。把易于混淆的概念用恰當的方法表達得清楚，我認為也是發現。你在長度計量上看到了問題，我認為你的觀點與思考是對的。你既已寫出文章，可在網上發表，我一定認真閱讀與評論（我自己要與不確定度爭論，沒時間寫這方面文章）。請注意如下幾個問題：

1 要有具體的長度量及其誤差的表達式；

2 把示值的簡化寫法與誤差概念區分開；

3 長度是兩個坐標點之差，而且必須是后值（大示值）減前值（小示值）；

4 示值表與卡尺、千分尺檢定與誤差給法不同。

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1966年美國人阿侖，30歲，針對當時時頻界對頻率穩定度的混亂表達與爭議，提出“采樣時間”的概念，1971年被巴納斯等權威人士推薦，成為世界性標準。

示值表檢定，也有與“采樣時間”相近的“采樣距離”的意思。所謂任意0.2mm的長度的測量誤差，只與相距0.2mm的兩個示值之差有關，而與0.2mm內的若干個示值點的值無關。規矩灣死扣書面語言，他沒有體會到規范的本質與客觀實際的需要。所以，我最賞識你“-2-（-2）=0”那句話。

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