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計量論壇

           誤差范圍計算的簡單又可靠的方法

                                            ——《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》商榷(2)

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                                                                                                                                             史錦順

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《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》（2010第6版費(fèi)業(yè)泰主編）是我國高校重點(diǎn)教材。被多所高校采用。影響甚廣。本文就誤差范圍計算的方法提出商榷。

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（一）兩條路線

誤差分析與誤差合成的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是微分，是泰勒展開。

測量儀器研制場合，必須找到合適的物理機(jī)制。列出物理公式。經(jīng)典的誤差分析，直接對物理公式進(jìn)行微分；一般來說是可以的，但有時常量變量不清楚，可能出現(xiàn)符號錯誤。史錦順的《新概念測量計量學(xué)》給出建立測量方程的方法，并由此得出測得值函數(shù)。在對測得值函數(shù)的常量、變量分辨清楚之后，對變量進(jìn)行微分，這樣就使誤差分析有了嚴(yán)格的數(shù)理邏輯。

誤差量有數(shù)值又有單位，被認(rèn)為是量值。這個“誤差量是量值”的認(rèn)識，導(dǎo)致一些人們像追求量值準(zhǔn)確度那樣去追求誤差量的準(zhǔn)確性。這是不妥當(dāng)?shù)摹Ｆ鋵?shí)，誤差量與一般量有本質(zhì)區(qū)別。這一區(qū)別，導(dǎo)致誤差量求法的特殊性與簡單性。

一般量值要求準(zhǔn)確，既不能大也不能小，必須控制在誤差范圍內(nèi)。這是量值的準(zhǔn)確性要求，是“雙限性”要求。誤差量的特點(diǎn)是它的上限性，著眼點(diǎn)是誤差元的絕對值的上限，即誤差范圍。

根據(jù)誤差量的上限性的特點(diǎn)，史錦順提出一種復(fù)古主義的主張，就是用數(shù)學(xué)手冊所載的經(jīng)典方法，進(jìn)行誤差合成。經(jīng)典的誤差合成方法就是除多次測量的隨機(jī)誤差外都絕對值相加。

在基礎(chǔ)測量（常量測量）中，被測量是常量，討論的是測量手段的問題，就是測量的誤差問題。誤差分系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差。隨機(jī)誤差自身，用均方根，不同隨機(jī)誤差間合成用方和根。各種隨機(jī)誤差構(gòu)成隨機(jī)誤差范圍。

如果已知系統(tǒng)誤差的量值與符號，可在示值給出前通過操作的方式或計算的方式進(jìn)行修正。抵消或修正了的誤差因素，不構(gòu)成示值誤差。

未修正的誤差、各種未定系統(tǒng)誤差，取絕對值相加，構(gòu)成系統(tǒng)誤差范圍。系統(tǒng)誤差范圍與隨機(jī)誤差范圍，按方和根合成為總誤差范圍，簡稱為誤差范圍。

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鑒于現(xiàn)代大量變量測量的存在，史錦順提出“統(tǒng)計測量”的新概念。統(tǒng)計測量的對象是快變量（在一回測量的N次測量中，量值在顯著變化）。為正確表征量值的變化特性，典型的統(tǒng)計測量要求測量儀器的誤差遠(yuǎn)小于被測量的變化。統(tǒng)計測量的分散性用單值的西格瑪表征，測量N次，即使以平均值當(dāng)表征量，也不準(zhǔn)除以根號N。還不準(zhǔn)剔除異常數(shù)據(jù)。這兩點(diǎn)是統(tǒng)計測量的特有規(guī)則，不同于以常量測量為對象的經(jīng)典測量理論。

某些測量既有被測量的變化，也有測量誤差。那就要兼顧兩類測量的特點(diǎn)。本文未涉及此類問題。

還有一個重要判別，計量是統(tǒng)計測量。因此在計量中不能進(jìn)行除以根號N和剔除異常數(shù)據(jù)這兩項操作。

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對測得值函數(shù)作泰勒展開得到的誤差元，有正有負(fù)，誤差分析計算是求誤差元絕對值的最大值，因此，誤差分析的第一項操作是泰勒展開，第二項操作就是去掉誤差元的符號。

去掉正負(fù)符號，有兩條路線。

第一條路線取絕對值。由此而形成誤差合成的第一種辦法：絕對值合成。絕對值合成的特點(diǎn)是計算方便，不附加任何條件，不論相關(guān)不相關(guān)，省略計算相關(guān)系數(shù)的麻煩。不分誤差是純系統(tǒng)性的，還是帶有隨機(jī)性的。不論各項間是否獨(dú)立。不計測量次數(shù)多寡。不理會分布規(guī)律，也就是對任何分布規(guī)律都成立。不存在自由度一說。對多次測量的隨機(jī)誤差用貝塞爾公式計算，取3西格瑪（包含概率99.73%）。絕對值合成算得的誤差范圍比其他算法的結(jié)果大。最保險。受儀器設(shè)計人員歡迎。鑒定會易于通過。指標(biāo)余地大，用戶歡迎。減少“計量不合格”“驗收通不過”的麻煩。算法簡單易學(xué)。老史一貫按這種方法處理問題，自己方便，用戶滿意，領(lǐng)導(dǎo)表揚(yáng)，促進(jìn)了自己研制的幾項標(biāo)準(zhǔn)與測量儀器及所負(fù)責(zé)檢測的宇航測量設(shè)備質(zhì)量的提高，少為難而又易有成就。現(xiàn)在極力宣傳推廣這種方法。

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第二條路線取方和根。初等數(shù)學(xué)規(guī)定，平方根取正值，因此，平方再開方，也可達(dá)到消去誤差元符號的作用。單項平方再開方，數(shù)值還原而符號消失，這沒問題。但多項式的平方再開方，就大有講究，竟引出許多話題來，構(gòu)成多種重大方法。有些成功，有些則有異議，甚至埋下禍端。

A 測量次數(shù)很大時的隨機(jī)誤差，處理最成功。著名的貝塞爾公式，19世紀(jì)初提出。不僅是隨機(jī)誤差的理論基礎(chǔ)，也是隨后興起的數(shù)理統(tǒng)計的基礎(chǔ)。取方差的動機(jī)就是消掉正負(fù)號。隨機(jī)、大量、不相關(guān)，導(dǎo)致“諸項代數(shù)和的平方等于各項平方的算數(shù)和”，多項式取平方時，交叉項全消掉，取“均方根”，合理；而3倍西格瑪，則成高包含概率（99.73%）的區(qū)間半寬，即隨機(jī)誤差范圍。

B 有人覺得取絕對和偏大，就想法，仿照隨機(jī)誤差的“均方根”，而用“方和根”。誤差理論已有這種作法；到1993年GUM推行不確定度論及不確定度評定之后，“方和根”成了不確定度評定的唯一選擇。這問題就大了。“方和根”方法要求兩大條件：獨(dú)立（不相關(guān)）、大量。隨機(jī)誤差與隨機(jī)變量可滿足；經(jīng)典測量的處理隨機(jī)誤差，阿侖方差處理隨機(jī)變量，都是成功的。

不確定度論問世指謫誤差理論合成方法不統(tǒng)一，于是想盡辦法去統(tǒng)一于“方和根”處理方法。把各項誤差限退化為標(biāo)準(zhǔn)不確定度（方差），用“方和根”合成，再乘系數(shù)，得擴(kuò)展不確定度，繞了一個大灣，目標(biāo)就是統(tǒng)一于“方和根”的合成方法。許多人被蒙騙了，以為方差就可以取“方和根”。這是不對的。《費(fèi)書》的前三章，正文指出，被開方的項中，包含有交叉項，只在相關(guān)系數(shù)為零時，才能簡化為取“方和根”。這是嚴(yán)格的，正確的。陳曉懷教授的第四章，雖然講不確定度評定，卻堅持了誤差理論的傳統(tǒng)，表達(dá)與費(fèi)教授完全相同，也包含交叉項，這是嚴(yán)格的、正確的。

但是，我們看到，出現(xiàn)了完全不該有的現(xiàn)象。費(fèi)教授在實(shí)例中，違背了自己的理論。把明明可能是相關(guān)的問題，當(dāng)不相關(guān)處理了。這不是近似計算的問題，因為忽略交叉項是無視同階量，構(gòu)成錯誤。在誤差分配中，完全以“方和根”為基礎(chǔ)，這是不妥當(dāng)?shù)摹Ｈ绻某梢浴敖^對值之和”為基礎(chǔ)，既合理又可靠。請問費(fèi)先生：您怎么忘了最經(jīng)典的方法？

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至于第4章，開始陳曉懷教授寫了相關(guān)項，這是正確的。可惜在具體處理上，依然是隨了不確定度論的大流，一律取“方和根”。這當(dāng)然是錯誤的。

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關(guān)于相關(guān)系數(shù)，不確定度評定有時提一句：不相關(guān)。第一，不符合實(shí)際，第二明明是擺架子，明明相關(guān)，你說個不相關(guān)，不能不錯。不確定度評定一律按不理相關(guān)處理，而事實(shí)上，大多數(shù)不是不相關(guān)的，因而也就大多數(shù)不對。

除了不相關(guān)、全相關(guān)（相關(guān)系數(shù)為1）以外，具體計算與測量相關(guān)系數(shù)是很麻煩的，人們也就習(xí)慣于“掩耳盜鈴”，模仿他人算吧，于是，在合成問題上，構(gòu)成不確定度評定的大錯。這種錯誤，貫穿于絕大多數(shù)的不確定度評定中。老史今天把這個問題揭開蓋子，大家看，是也不是。對不起，就拿《費(fèi)書》第四章第一個實(shí)例開刀。

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（二）《費(fèi)書》的計算實(shí)例

以下照片的內(nèi)容引自《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》第6版p90

（三）按經(jīng)典誤差理論的計算（題目同上）

經(jīng)典方式（《數(shù)學(xué)手冊》1980 版）的公式

物理公式

          V=πD^2 h /4                                                           (3.1)

微分：

          dV = (?V/?D)dD + (?V/?h)dh

               = （πh D/2）dD +(πD^2 /4)dh

小量：

              ΔV =(πh D/2) ΔD +(πD^2 /4) Δh

ΔV是誤差元，誤差元的絕對值的最大可能范圍是誤差范圍，誤差范圍是：

              |ΔV|max =│(πh D/2) ΔD +(πD^2 /4) Δh│max

                    =(πh D/2) |ΔD|max + (πD^2 /4) |Δh|max                       （3.2）

設(shè)δ表示相對誤差的最大絕對值，（3.2）式除以體積公式，則有

      δV = 2δD +δh                                                                                         (3.3)

δV = |ΔV|max / V；δD = |ΔD|max / D；δh = |Δh|max / h

(3.3)是經(jīng)典誤差理論的誤差范圍公式。乘變加，n次方變乘n。多么簡潔、易算！

已知|ΔD|max =0.01mm ，|Δh|max = 0.01mm ,則有

           δD = 0.01/10.08 = 0.001

           δh = 0.01/10.11 = 0.001

又 V=3.1416×10.08^2×10.11/4 =806.8 mm^3

有

           δV = 2δD +δh = 0.003

誤差范圍為：

           R(V) = 806.8×0.003 = 2.4mm^3

圓柱體積的測量結(jié)果為：

               V = 806.8mm^3 ± 2.4mm^3                                                          （3.4）

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說明：

（1）測量結(jié)果V = 806.8mm^3 ± 2.4mm^3，以99.73%的概率包含體積真值。

（2）尺寸重復(fù)性測量，體現(xiàn)的平均值的隨機(jī)誤差，應(yīng)在0.01mm的指標(biāo)內(nèi)，不宜重計。

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（四）史錦順的評論

1 誤差量不同于一般量值。一般量要求準(zhǔn)確，有上下限；而誤差量的著眼點(diǎn)不是它本身有多準(zhǔn)，而是必須說明它的絕對值的上限，就是確定誤差范圍。對同一問題，給出的誤差范圍越大，越可靠。

2 多次測量，取均方根，用西格瑪表示隨機(jī)誤差，是合理正確的。

3 計算誤差范圍的方和根法，要求的條件是不相關(guān)、大量。相關(guān)系數(shù)為零，數(shù)據(jù)量大，才能采用方和根的求法。通常的情況是，相關(guān)系數(shù)不為零，數(shù)據(jù)量小，方和根公式不成立。《費(fèi)書》，有相關(guān)系數(shù)項，理論上正確，但實(shí)際上行不通；因為具體確定相關(guān)系數(shù)，十分繁難，可以說，沒人干這種笨活。怎么辦？一句話：設(shè)相關(guān)系數(shù)為零。于是，不再考慮相關(guān)系數(shù)，就按方和根處理。

這是《數(shù)學(xué)手冊》（1980）以后年代，計量測量界的一大弊病。現(xiàn)代派的誤差理論（包括《費(fèi)書》）與不確定度論，概莫能外。《費(fèi)書》的誤差理論部分，第四章的不確定度論部分，以及以GUM為代表的不確定度論，都是取方和根，因而都錯了！

測量儀器誤差的主要部分是系統(tǒng)誤差。用同一把尺測量的圓柱的直徑、高度，這些量的誤差不可能不相關(guān)。你設(shè)它不相關(guān)，是掩耳盜鈴，是錯誤計算。

4 絕對值合成，計算簡單，不要求條件。相關(guān)不相關(guān)、分布如何、數(shù)據(jù)量大小，都沒關(guān)系，都可用絕對值合成來計算。

5 GUM說相關(guān)系數(shù)為零，得出方和根公式。相關(guān)系數(shù)為＋1，得出絕對值公式。前一句說得對，要用方和根公式，必須相關(guān)系數(shù)為零。正是這句話，把不確定度評定的絕大部分計算打上了錯號，因為絕大部分相關(guān)系數(shù)不是零，也就都算錯了。

第二句話，不全面。相關(guān)系數(shù)為＋1，固然可得出絕對值之和；但絕對值之和的公式可以從誤差范圍的定義“誤差元的絕對值的最大可能值”出發(fā)，解絕對值公式，就得出了，不附加任何條件。這是經(jīng)典測量學(xué)早已解決的問題。

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誤差合成方法，一繁一簡，對比鮮明。

簡單方法正確，而繁雜方法卻錯誤，這個論斷新穎，值得思考。

簡單方法受歡迎，有益處；繁雜方法理論上有毛病。實(shí)用上有隱患，不能不理會。

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                                               答njlyx先生（1）

                                                                                                  史錦順

【lyx質(zhì)疑】

   [……未修的誤差、各種未定系統(tǒng)誤差，取絕對值相加，構(gòu)成系統(tǒng)誤差范圍。系統(tǒng)誤差范圍與隨機(jī)誤差范圍，按方和根合成為總誤差范圍，簡稱為誤差范圍。]

  如此，正是費(fèi)先生書中（不涉及”測量不確定“的前幾章）‘倡導(dǎo)’的做法，有什么不妥呢？  除了“未定系統(tǒng)誤差分量”與“隨機(jī)誤差分量”的名稱或宜適當(dāng)‘矯正

【史辯】

請先生注意：史錦順的主張（方括號中的話）中，加紅的部分，是史錦順此次帖中提出的新觀點(diǎn)，就是：除了滿足“獨(dú)立”、“大量”二條件的隨機(jī)誤差之外的誤差，“取絕對值相加”，而費(fèi)先生書中，沒有“絕對值相加”的說法。

費(fèi)先生的方法，就是取各項之和（多項式）的平方，再開方（即我文中所稱的去掉正負(fù)符號的第二路線）。這是嚴(yán)格的。但無法貫徹到底。把多項式平方，結(jié)果包括各項的平方之和，還有交叉項。N個項的平方，交叉項共N（N-1）個。怎么處理，這是難題。分四種情況。

1 特殊情況1，各項之大小與符號隨機(jī)，“大量”條件滿足，相互抵消。隨機(jī)誤差與隨機(jī)變量在測量次數(shù)很大的條件下滿足，因而，N項和的平方，等于各項平方的和（共N個數(shù)之和），全部交叉項的總和為零。這是方和根算法成立的情況。

2 特殊情況2，相關(guān)系數(shù)為+1，N項之代數(shù)和的平方，等于各項絕對值之和的平方，開方后，成為各項的絕對值之和。這與“取絕對值之和”的作法一樣；但意義不一樣。這里是“特例”，而“取絕對值之和”是第一種路線算的上限，對任何情況都成立。

3 統(tǒng)計測量。統(tǒng)計測量面對的是隨機(jī)變量，而測量儀器的誤差可略（系統(tǒng)誤差是誤差的一部分，當(dāng)然可略），因此，統(tǒng)計測量可按方和根法處理。

4 基礎(chǔ)測量。測量對象是常量，這是一般的測量，就是誤差理論要處理的一般情況。誤差范圍的主要部分是系統(tǒng)誤差（《費(fèi)書》稱未定系統(tǒng)誤差），一般來說，獨(dú)立的條件（相關(guān)系數(shù)為零）不成立，因此，方和根可能比多項式之和小，而誤差計算要求的是上限值，因此，方和根算法不成立。

《費(fèi)書》在理論部分，公式中包含相關(guān)系數(shù)，無疑是正確的。但是，相關(guān)系數(shù)，除零與+1可以判斷處理外，通常是不便于處理的。理論上可以講得頭頭是道，除了極特殊的理論研究，沒人干“求相關(guān)系數(shù)”這種傻事、笨事。

《費(fèi)書》的第三章（本來我只想駁斥第四章的不確定度），實(shí)際上處理問題，也拋棄了相關(guān)系數(shù)（也就是假設(shè)相關(guān)系數(shù)為零）。第一，費(fèi)先生的實(shí)例計算，都不考慮相關(guān)系數(shù)；第二在誤差分配部分，都是基于“方和根公式”，而一般情況下，“方和根公式”是不成立的。

由上《費(fèi)書》的第三章，即費(fèi)業(yè)泰先生本人，也是“方和根”派。基本公式中雖然有相關(guān)系數(shù)，而實(shí)用中不用，是徒有形式；本質(zhì)就是“方和根”。

對系統(tǒng)誤差的處理，老史本文提出的是“絕對和”，而費(fèi)老書中實(shí)用的是“方和根”，大不相同。“絕對和”是誤差的上限，符合誤差量的特點(diǎn)，滿足誤差范圍計算的要求，是正確的。計算方便，結(jié)果可靠、保險。而“方和根”計算的“不相關(guān)”條件一般不成立；結(jié)果偏小，不是誤差量的上限。不可靠。

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至于系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的名稱，那是誤差理論的特有語言。客觀上有不同性質(zhì)的誤差，誤差理論的分類是科學(xué)的。分類是分別處理的基礎(chǔ)。否定誤差分類理論，是不確定度論的敗筆。看來，先生稱“分量”，似乎已是不確定度論的語言。不確定度誕生伊始，有許多誣陷誤差理論的說法。否定系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的分類，是其中之一。不確定度論自已的A類B類，才是違反邏輯學(xué)分類規(guī)則的錯誤做法。

不確定度論的問題，絕不是“歪嘴和尚念錯經(jīng)”。不確定度論否定真值可知，立足點(diǎn)錯了；否定誤差可求，又不得不利用誤差，邏輯亂了；舍實(shí)測而搞評估，路線錯了；考核計量標(biāo)準(zhǔn)要計入被撿儀器性能，混淆了對象與手段的關(guān)系；不顧一般情況下系統(tǒng)誤差不獨(dú)立的實(shí)際情況，一律取方和根，合成公式錯了；在被測量是隨機(jī)變量時，必須用單值的西格瑪表征分散性，而不確定度論一律除以根號N，統(tǒng)計公式錯了；這又是GUM引出不確定度是的第一個定義式，因此不確定度一開始的定義式就錯了……

一錯再錯，乃至全盤錯，這就是我對不確定度論的基本評價。我不要求你贊成我的觀點(diǎn)，但請你認(rèn)真想一想我對不確定度論的各項置疑。

辯論也是一種樂趣。有啥說啥，不必講面子。

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(開頭的小字我放大不了，可能是系統(tǒng)問題。)

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《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》（費(fèi)業(yè)泰主編第6版2010年）第91頁給出的條件是：“由儀器說明書獲得測微儀的示值誤差范圍±0.01mm”。（正文照片中有。）

文中所用的數(shù)據(jù)是“誤差范圍±0.01mm”而不是“分度值”。

本文的目的是比較兩種合成方法的合理性，兩種方法都是基于“誤差范圍”，因此論述比較的道理成立。

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一般來說，分度值不等于誤差范圍。誤差范圍又叫最大允許誤差，是儀器的指標(biāo)，要經(jīng)過計量（有合格證）。

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                 答njlyx先生（2）

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                                                                                                                                   史錦順

   【lyx質(zhì)疑】

   史先生指出的除根號N的問題，是有人沒搞明白其中的關(guān)系，把被測量自身的‘隨機(jī)’變化與‘測量系統(tǒng)計量特性不理想所引起的測量誤差’混為一團(tuán)了，這可能真是當(dāng)前“不確定度”應(yīng)用中的糊涂官司？ 但如果要把它算作“不確定度”先祖的‘意思’，恐怕是有點(diǎn)冤枉。

【史辯】

先生正確地理解兩類測量的除以根號N的問題，肯定我指出的問題是客觀存在，這是對我的理解，是我的知音。謝謝先生。學(xué)術(shù)討論，認(rèn)同很重要，但可一點(diǎn)而過；重點(diǎn)討論分歧意見。

我認(rèn)為，根號N問題的存在，是不確定度理論的設(shè)計者的事，不是應(yīng)用者的責(zé)任。

什么是真正的不確定度呢？GUM所闡述的不確定度就是正牌的不確定度。

測量不確定度的概念從1968年提出，經(jīng)過1980年的意見稿，到1993年正式定下來，有個過程。但到了1993年國際計量委員會投票通過GUM，才成為國際計量界的“導(dǎo)則”。因此，GUM就是測量不確定度理論的“根源”“依據(jù)”“祖根”。

GUM的4.2.3條款，引出不確定度概念時說：通常，平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差叫測量不確定度。平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差等于西格瑪除以根號N。這就是說：除以根號N是不確定度；不除以根號N不能叫不確定度。

GUM的4.2條款，內(nèi)容講A類不確定度評定。從其定義到執(zhí)行，核心就是西格瑪除以根號N.

GUM是不確定度理論的祖根，不確定度評定的依據(jù)。“根”如此，何論枝葉？全世界的不確定度論的信奉者，不過是“依葫蘆畫瓢”。不必怪他們！

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GUM與VIM關(guān)于不確定度的定義，含混其詞，像是測得值的分散性，又可解釋為被測量的分散性。李慎安先生就解釋為是真值的分散性。把兩種分散性攪合在一起，沒法實(shí)用。這是不確定度論諸多敗筆的根源.

算賬就找GUM和VIM!

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GUM的4.4.3條款是測溫度的例子。20個數(shù)據(jù)。求西格瑪，除以根號N。那么大的溫度變化，是溫度計的問題嗎？世界上難找隨機(jī)變化峰峰值高達(dá)5.82℃的溫度計。該溫度計分辨力是0.01℃，溫度計本身怎么可能有582倍的隨機(jī)變化？很明顯，那變化是被測對象的變化，即溫度源的變化。溫度源的溫度變化，是被測量本身的變化，必須用單值的西格瑪表征其分散性，即使用平均值來代表溫度源的溫度，但溫度值的分散性必須是西格瑪，而不能除以根號N。GUM的樣板除以根號N了，成為后來者的“樣板”“依據(jù)”。依據(jù)如此，怎能怪后人？

GUM與VIM講的不確定度A類評定，是不確定度評定唯一的實(shí)驗基礎(chǔ)（B類評定僅僅是收集資料，抄抄而已）。A類評定的錯誤，注定了不確定度理論的“不可用，用則必錯”的下場。難道先生能找出一個完整的不確定度評定的正確的樣板嗎？沒有！不確定度理論不僅不是好孩子；而是沒有人樣的怪胎！您說的不確定論的認(rèn)為“世界無真相”的思維，正是這個怪胎所特有的，這正是不確定度論的一切錯誤與弊病的總根源。

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（此文前后出現(xiàn)小字，不能放大，可能是電子系統(tǒng)的問題。）

測量計量學(xué)不是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的分支。正相反，誤差理論發(fā)展最早，而統(tǒng)計理論在后。貝塞爾于19世紀(jì)初在處理天體測量的誤差時，推導(dǎo)出貝塞爾公式（網(wǎng)上有介紹）。此后不久，統(tǒng)計理論興起，把貝塞爾公式移植到統(tǒng)計理論中。此后，統(tǒng)計理論應(yīng)用廣、發(fā)展快，許多統(tǒng)計學(xué)成果又為測量學(xué)所用，但測量學(xué)與統(tǒng)計學(xué)之間沒有隸屬關(guān)系。應(yīng)該自己處理自己的事。

快變量的測量，例如頻率源穩(wěn)定度的測量，必須用單值的西格瑪來表征，不能除以根號N，阿侖方差，要求測量100次，但用單值的西格瑪，而不能除以根號100（10）。用平均值表征量值是當(dāng)然的；即使用平均值來表征，也不能除以根號N。道理很簡單，如果可以除以根號N,制作者就可以把N取得很大，例如10000次（10毫秒采樣，僅需2分鐘），于是平均值的西格瑪就變成單值西格瑪?shù)陌俜种唬懿畹膬x器就可合格了。不許這樣做。

西格瑪不允許除以根號N,已是時頻計量界的常規(guī)，不僅僅是我的個人看法。我不久前在本欄目寫過關(guān)于兩個西格瑪?shù)奈恼拢抢镉袌D，有詳細(xì)解釋。（已把那篇文章提到首頁，請你參考。）

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