測量計量的公式與模型
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史錦順
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（一）引言
測量計量學是定量的學問，理應用數學公式表達客觀的定量關系；不確定度論問世以來，在“真值不可知”思想的指導下，提出“模型”一說，把實際的量值關系，引向設想的模型；把實測轉化為評估，違背了測量計量界“一切憑實測說話”的根本行規，擾亂了測量計量界的正常秩序。
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不確定度評定的數學模型，已經看到的表達各有不同，但基本形式如下。
測量的數學模型
Y=X （1）
對（1）式作泰勒展開，得到的不確定度測量評定的基本公式為
ΔY= ΔX(分辨)+ΔX(重復)+ΔX(其他) （2）
計量（檢定、校準）的數學模型
Y=X―B （3）
對（3）式作泰勒展開，得到的不確定度計量評定的基本公式為
ΔY= ΔX(分辨)+ΔX(重復)+ΔX(其他)―ΔB （4）
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不確定度評定的基本方法是作泰勒展開。各分項按估計分布除以一個因子；取各項的方和根，稱合成不確定度；再乘以2（不同的分布估計略有不同），得擴展不確定度U95；U95是評定的不確定度。當前，用得最多的是公式（4）
筆者認定：不確定度評定的數學模型不當，由數學模型導出的基本公式（4）是錯誤的。公式（2）也是錯誤的。
本文用對比的方法，先講測量計量的數學公式，再分析不確定度論測量模型的錯誤。
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（二）測得值函數及其簡化（此段的分析部分是儀器研制者的事）
研制測量儀器，首先要找到能實現測量準確度的物理機制。
列出物理公式。寫出計值公式。聯立物理公式與計值公式，得到測量方程。給出測得值函數。
在測量儀器中，被測量的量值Y是諸Xi的函數，諸Xi是構成Y的來源量。
在測量方程中，各量成對。被測量的測得值Ym與被測量Y是一對。被測量Y是客觀存在，是常量，而被測量的測得值Ym是變量。決定Y的各來源量Xi，各有一個Xm或Xo與其對應。如Xi與Xim對應，則Xi是常量，Xim是變量；若Xj與Xjo對應，則Xj是變量，而Xjo是常量。
設物理公式為：
Y = f(X1,X2,……XN) （5）
計值公式為：
Ym= f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o) （6）
式中斜杠“/”表示“或”。m表示測得值，o表示標稱值。m/o表示或者是測得值m，或者是標稱值o。例如X1m/o表示是X1m或者是X1o.
聯立（5）（6）二式，二者相除，得：
Ym/Y = f(X1m/O,X2m/O,……,XNm/O)/ f(X1,X2,……XN) （7）
聯立（5）（6）二式，二者相減，得：
Ym―Y = f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o)―f(X1,X2,……XN) （8）
(7)、(8)都是測量方程，依應用方便而選用。
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測得值函數為
Ym = f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o) – f(X1,X2,……XN) + Y （9）
誤差元函數為
Ym – Y = f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o) – f(X1,X2,……XN)
合成誤差元的絕對值的最大值為
│Ym – Y│max= │f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o)-f(X1,X2,……XN)│max （10）
這個“合成誤差元絕對值的最大可能值”就是誤差范圍，記（10）式右端為R, 有
│Ym – Y│max= R （11）
解絕對值方程（11）
當Ym＞Y時，有
Ym = Y + R （12）
當Ym＜Y時，有
Ym = Y– R （13）
綜合（12）式、（13）式，有
Ym = Y ± R （14）
（14）式由（9）式推得，（14）與（9）等效。因此，測得值公式（14）是測得值函數式的簡化表達。
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將（14）式表為相對值形式，記R/Y = δ
Ym = [1 ± δ ] Y （15）
Ym/Y通常表為M/Z，M是測得值，Z是被測量的真值。測得值函數的理想情況是M/Z等于1。[1 ±δ]表明測得值與真值之間的函數關系，而其參量就是誤差范圍。因此誤差范圍就代表了測得值函數，就表明了測量儀器的性能。
（14）式、（15）式都是測得值函數的簡化表達式。這種表達式具有非常簡明的形式，參數就是誤差范圍。原來，誤差范圍竟是測得值函數的體現。也可以說，[1 ±δ]就是測量儀器的傳遞函數。
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上述分析表明，誤差范圍表征測量儀器的測得值函數，表達了測得值對真值的函數關系。誤差范圍指標由制造廠給出，是測量儀器性能的總的表達。在以后的計量與測量中，檢查的是誤差范圍指標，測量中應用的也是誤差范圍指標。不必要也不應該對誤差范圍指標進行拆分。也就是說，泰勒展開，只在研究制造場合進行，而在計量與測量場合，都不能進行泰勒展開。
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推行不確定度以來，有人在刊物上說，要用不確定度評定來確定測量儀器的性能指標。這實際上是行不通的，不確定度論沒有這個功能。不確定度論的設計者，當初的著眼點只是“測量”，名字叫“測量不確定度”，根本就沒考慮儀器研制與生產如何確定指標這碼事。A類評定算算西格瑪，只能解決“隨機分散性”，而對測量儀器的最根本的問題系統偏離，沒有辦法。所謂的B類評定，除“查說明書、驗合格證”外，都是沒用的廢話；而儀器還在研制，又哪來的說明書、合格證？因此，不確定度評定的方法，對測量儀器研制生產沒用。
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（三）計量的數學公式
計量是檢驗測量儀器的合格性，就是實測測量儀器的性能，看它是否符合誤差范圍指標。
計量憑實測，不能搞評估。
計量考核測量儀器的誤差范圍，是整體考核，不可拆分測得值函數。
3.1 計量中的得值區間
計量的基本概念是真值、誤差元、誤差范圍。測得值區間。
真值是量的客觀值、實際值。誤差是測得值與真值的差距，誤差是個泛指的概念，包括誤差元與誤差范圍等等。誤差元定義為測得值減真值，可正可負。誤差范圍定義為誤差元的絕對值在一定概率（通常取3σ，包含概率99.73%）意義下的最大可能值，恒正。
誤差范圍是測得值區間的半寬。關于計量中的測得值區間，推導如下。
設被測量（計量標準）的真值為Z，測得值為M，誤差元為r,誤差元絕對值的最大值為R。計量時，真值唯一，而測得值是個變量。
R=│r│max=│M–Z│max （16）
解絕對值方程（16）
當M＞Z，有
R=(M–Z)max=M(大)–Z
M(大)=Z+R （17）
當M＜Z，有
R=(Z–M)max=Z–M(小)
M(小)=Z–R （18）
由（17）（18）式，得到測得值M的范圍是
[Z–R,Z+R] （19）
計量中的測量結果為
M = Z±R （20）
（20）式表達的是這樣一種事實：依靠一個計量標準去計量一大批同一型號的測量儀器；各臺儀器的測得值不同，而真值（標準的值）只有一個。
由上，計量中有標準，以其值當真值，則測量儀器的測得值區間，是以真值為中心、以測量儀器誤差范圍為半寬的測得值區間。
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3.2 計量的誤差與計量資格的確認
計量的誤差公式推導如下。
必須認清：求什么，用什么，靠什么，得什么。物理公式必須物理意義確切。物理公式必須是意義明確的“構成公式”。
測量是用測量儀器測量被測量，以求得被測量的值。而檢定是用被檢儀器來測量已知量值的標準，以求得測量儀器的誤差，看是否合格。檢定是測量的逆操作。測量儀器的誤差，是檢定的認識對象。檢定的目的是求得儀器的誤差，而得到的是儀器示值與標準標稱值之差；計量的誤差分析，就是求得這二者的差別。
設測得值為M，標準的標稱值為B。
設儀器的誤差元（以真值為參考）為r(儀)，檢定得到的儀器測得值與標準的標稱值之差值為r(示)，計量標準的標稱值為B，標準的真值為Z，標準的誤差元為r(標)。
1 檢定得到儀器的視在誤差元為：
r(示) = M–B
2 測量儀器的誤差元為：
r(儀) = M–Z
3 標準的誤差元（根據《JJF1180-2007》）為
r(標) = Z–B
4 檢定的計量誤差元為：
r(計) = r(示)–r(儀)
綜上，有
r(計) = r(示)–r(儀)
= X–B–X―Z）
= Z–B
= r(標)
誤差范圍是誤差元的絕對值的最大可能值。誤差范圍關系為：
│r(計) │max = │r(標) │max
即有
R(計) = R(標) （21）
（21）式是計量誤差的基本關系式，計量誤差由標準的誤差決定。計量誤差與被檢儀器的誤差因素無關。
公式（21）指出：計量的誤差取決于所用計量標準的誤差。因此，要選用誤差范圍小的標準。標準的誤差范圍與被檢儀器的誤差范圍指標之比要小于等于q；q值通常取1/4，時頻計量q取值為1/10。
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3.3 計量的定量計算
測量是用測量儀器測量被測量，以確定被測量的量值；計量時的具體操作是用測量儀器測量計量標準，因已知標準的量值，由此來考察測量儀器的測得值對真值的偏差。
設標準的真值為Z，標稱值為B，儀器示值為Mi，測量N次。
1 求平均值M(平)
2 按貝塞爾公式求單值的σ
3 求平均值的σ(平)
σ(平) = σ/√N
4 求測量點的系統誤差
R(系)= │M(平)－B│ （22）
5 平均值時的隨機誤差是3σ(平)
6 被檢測量儀器示值的隨機偏差是3σ
7 被檢測量儀器的誤差范圍由系統誤差R(系)、確定系統誤差時的測量誤差3σ(平)與示值的隨機誤差3σ合成。因有第3項，第二項可略。因系以標準的標稱值為參考得出，稱其為誤差范圍實驗值，記為
R(實驗)= R(系) + 3σ （23）
8 被檢測量儀器的誤差范圍（以真值為參考的真誤差范圍）
R = R(實驗) + R(B)
= R(系) + 3σ+R(B) （24）
R(B)是所用標準的誤差范圍。
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3.4合格性判別與操作的注意事項
設被檢儀器的誤差范圍指標是R(標稱)，若
R≤R(標稱) （25）
則被檢測量儀器合格。
由于測量儀器的可能測量點很多，任何測量點不合格就是儀器不合格，計量必須找誤差范圍的最大可能值。計及（21）（25）式，合格性的判別式為
R(實驗) max ≤ R(標稱) – R(B) （26）
注意，誤差范圍是誤差元絕對值的最大可能值，因此計量時要取誤差的最大可能值。測量儀器的誤差范圍指標是就量程的各個點而言的，因此要找各點的誤差范圍值的最大值。
在檢定工作中，為簡化計算，可采用如下計算與判別方式：設Δ是儀器測得值與標準標稱值之差，若
│Δ│max ≤ R(標稱) – R(B) （27）
則被檢測量儀器合格。若標準的誤差可略，（7）式簡化為
│Δ│max ≤ R(標稱) （28）
為充分顯現誤差元的最大可能值，要根據測量儀器的特點，合理的設置標準的標稱值。標準的標稱值要有足夠的細度、足夠的量值范圍，合理的分布。檢定中，要有足夠的采樣點，有足夠的測量次數。要重點針對測量儀器的薄弱點。總的原則是要找到測量儀器誤差的最大可能值（或接近值）。
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在講了誤差理論指導下的計量的正常作法后，再概要指出不確定度計量評定的弊病。
1 數學模型不當。只是個視在誤差的表示式，沒有體現求的是“儀器的視在誤差與測量儀器真誤差的差別”這個基本點。
2 錯誤的拆分測得值函數。泰勒展開是正確的數學公式，但用在這里是不當的應用。
3 拆分測得值函數的后果是把被檢儀器的性能賴在檢定裝置的能力上，這是不確定度評定的致命傷。
4 計量的不確定度評定，純粹是添亂。不評不錯，評了必錯。
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（四）測量結果
測量得到測得值，又知道所用測量儀器的誤差范圍指標。測量者就用測量儀器的誤差范圍指標當做測得值的誤差范圍，這是合理的，也是方便的
4.1 測量中的真值區間
測量時，得到確定的測得值，是唯一值（單一的讀數值或N個讀數值的平均值）。而被測量的真值，有多種可能，從可能值Z(小)到可能值Z(大)。
解絕對值方程（16）
當Z＞M，有
R=(Z–M)max=Z(大)–M
Z(大)=M+R （29）
當Z＜M，有
R=(M–Z)max=M–Z(小)
Z(小)=M–R （30）
由（29）（30）式，得到真值的范圍是
[M–R,M+R] （31）
測量中的測量結果是
Z = M ± R （32）
（32）式通常記為
L= M ± R （33）
（32）式很重要。這就是測量給出的測量結果。測量結果是真值范圍。
真值就是實際值。測量結果就是被測量的實際值范圍。測量結果等于測得值加減誤差范圍。測量結果在一定概率（99.73%）意義下包含真值。
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4.2基礎測量的測量結果
基礎測量是常量測量或慢變化量的測量。
測量要用經過計量且在合格期內的測量儀器。測量的第一步是根據測量目的的要求，選用測量儀器。測量儀器的誤差范圍指標是已知的。測量儀器的誤差范圍（指標值）要小于測量任務的要求
測量者要看儀器的說明書，驗合格證，要正確使用測量儀器。測量者沒有條件(沒有標準)評定測量儀器的指標。如果測量儀器不準確，責任在計量部門。測量者要注意驗證儀器是否正常。
設被測量的量值為L，測得值為Mi；測量儀器的誤差范圍指標值為R(標稱)。
1 測量N次，求平均值M(平)。平均值就是測得值M。
2 用測量儀器的誤差范圍指標值R(標稱)當測得值的誤差范圍R。測量結果為
L = M ± R （34）
基礎測量，以平均值為測得值，而以測量儀器的誤差范圍為測得值的誤差范圍。
計算得到的σ，應該小于誤差范圍，否則是統計測量或測量儀器有問題。測量結果的表達可以不計入σ(平)的因素。因為測量儀器的誤差范圍指標中，已包含這個因素。
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4.3 統計測量的測量結果
統計測量是快變化量的測量。選擇測量儀器的誤差小于被測量變化范圍的1/4以下。測量儀器誤差可略，測得值的變化是量值本身的變化特性（量值分散性）。
（1）測量N次，記值Mi；
（2）取平均值作為測得值：
M= M(平) =(1/N)∑(Mi) （35）
（3）用貝塞爾公式計算單值的σ。σ是被測變量的分散性（穩定度）的統計表征量。
（4）以3σ為被測量值的偏差范圍。不取σ(平)來表達量值。
（5）測量結果（被測量的范圍）為
L= M(平)±3σ （36）
或
L= M(平)±σ （RMS） （37）
注意，不確定度之A類評定，一律用平均值的σ，是錯誤的。
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4.4 不確定度評定對測量沒有用處
不確定度評定，對基礎測量來說呢，A類評定與測量儀器指標中的隨機誤差重復，不可再計。B類評定除“看說明書、驗合格證”外，都是不能用的廢話；而“看說明書、驗合格證”根本就不是評定。也就是說，對基礎測量，不確定度評定沒有用處。
在統計測量的情況下，初看，不確定度評定能用，因為A類不確定度就表征分散性嗎。細究，則不能用。GUM在引出不確定度的概念時，表達得很明確，σ除以根號N才是不確定度。σ除以根號N是平均值的西格瑪，即σ(平)。σ(平)隨測量次數的增大而減小，期望值是零。一個隨測量手段而變化的量，沒資格當隨機變量的表征量。隨機變量的表征量是單值的西格瑪，因為當N較大時它是個穩定值，而其數學期望是個常數。
總之，無論基礎測量還是統計測量，不確定度評定都沒有用處。
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總之，在測量儀器的研制生產場合、在計量場合、在測量場合，不確定度評定都沒有用處。而且是不評不錯，一評必錯。因為提出者自己都沒弄明白，別人不可能明白。真正的明白只有一種：認清不確定度論是錯誤的。不確定度論立足點錯，方法錯，全盤錯。不確定度論是地地道道的偽科學。
誤差理論可以解決測量計量的一切問題。而且易學、易懂、易用。
廢棄不確定度論，停止不確定度評定，廣大檢定員皆大歡喜！
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