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計量論壇

               誤差合成的算法

                                                       ——測量計量基本概念(8)

                                                                                                                                                   史錦順

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誤差合成的算法，是個爭議頗大的話題。上段講誤差范圍的確定，用的是絕對值相加。本文的基本觀點是：基于誤差量的特點，絕對值相加的方法，順理成章。這種方法，合理、簡單、實用、最受歡迎。

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（一）歷史與現實情況

測量得到測得值。測量結果只有測得值不行，還要說明誤差情況。測量結果的第一部分是測得值，第二部分是誤差的表征量。歷史上，測量結果有過不同的表征方法。第一部分都一樣，必然是測得值；第二部分卻不同，有過多種形式。因為誤差元可正可負，不能取平均值，必須去掉正負號，于是出現如下幾種處理方式。

1 算術平均誤差（絕對值的平均值，不同絕對值等權）

2 標準誤差σ（用貝塞爾公式計算）

3 或然誤差（最可幾值，包含概率50%），γ=0.6745σ

4 范圍誤差（最大值減最小值）

5 誤差范圍（取3σ，包含概率99.73%）

6 擴展不確定度（不確定度理論主張取2σ，包含概率95.45%）

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測量儀器與計量標準，其性能取決于各項誤差因素。分項誤差構成總誤差，其計算方法稱誤差合成。

1993年以前，誤差理論講誤差合成，主流是混合法，既不一律絕對值相加，也不一律均方合成，而是看相關系數，只有隨機的、相關系數為零的項才能均方合成，其他項絕對值相加。在實際工作中，分析相關性，并非易事，于是通常的處理辦法是：明顯的隨機量，如示值的隨機波動量，均方根處理，絕對值較小而又項目較多的誤差項目（正負抵消的機會較大），按方和根處理，而數量較少且數值較大的項目，按絕對值相加。課題成果或新產品鑒定會上，常常為合成方法而爭論。多用方和根合成，常常有非議，因為算小了誤差范圍，即高估了性能指標；而絕對值合成，沒有爭議，研制者既已在低估自己，別人也不好說三道四。

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1993年以后，以GUM為代表的不確定度論，主張一律均方合成。不確定度論的前提是“系統誤差修正以后”，怎樣怎樣；其實，對大量測量儀器，并不修正系統誤差。因為對系統誤差，常常是在分析與測量的基礎上給出其范圍值，不好修正。況且一臺測量儀器有成千上萬個實用測量點，一般沒有共同的、數值相同的系統誤差項，難于修正。而逐點修正又不便于使用者。因此測量儀器通常不修正。方和根合成法的前提是二量之和的平方，等于二量平方的和，交叉項的總效果為零，這一點，對于系統性誤差，也難于讓人信服。況且，均方合成之值較小，不保險，也難怪人們有疑慮。不確定度論主張一律均方合成，主要理由是計算方法統一的主觀需要，而并沒有客觀的實在理由。不顧事實的強詞奪理，形成不確定度論的一大敗筆。

以上大致是歷史與現狀。以下是筆者的認識與主張。

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（二）誤差量的特點

誤差量，既是量值，也不是量值。一些權威人物稱誤差是量值，這有一定道理，誤差量有單位、有數值。從有單位、有數值這個角度說，誤差是量值。但要注意，更全面地看，就顯出誤差量與量值有本質的不同。

第一，量值是事物的客觀屬性，與人的認識與否無關。測得值是人的認識，誤差是測得值與實際量的差距。誤差量與人的認識密切相關，是人的認識的產物。

第二，量值是客觀存在，大小一定，表達量值，不可大，也不可小，要正好。而測量的誤差卻不許大，而可以小，越小越好。對測量儀器性能的表征來說，又可以把誤差往大說，而不可往小說。

誤差量有如此兩個特點，也不好泛泛地稱它是量值。我們還是把量值與誤差量，區分稱說，區別處理。本文則嚴格關注誤差量的特殊性。

測量，包括為其服務的計量與儀器制造，要求誤差越小越好。但以實踐對準確度的要求為依據，人們定出誤差范圍的不同檔次，以方便于測量儀器的制造與選用。基本辦法就是規定誤差范圍的指標。誤差范圍是誤差絕對值的上限。僅此而已。有了誤差范圍的指標，就規定了儀器生產的要求、計量公證的標準，使用者選用儀器與表示測量結果的依據。測量儀器的研制、生產、使用，用一個誤差范圍指標（準確度），貫穿起來，是人類社會的組織效果，一種人類文明的體現。

誤差量的“上限性”，是誤差量的特有屬性，它必然體現于一切有關的測量計量理論中。在人類對誤差量的認識與表達歷史上，出現過多種表示方法，但以“誤差范圍”應用最廣。全世界用過的以及正在用的測量儀器，都標有準確度，就是誤差范圍指標值。不同稱呼有許多，如極限誤差、誤差限、最大允許誤差、準確度等級等等，實際都是誤差范圍。

誤差量的上限性，決定了誤差量表征量“誤差范圍”的廣泛應用。誤差范圍怎樣計算？考慮這個問題的根本依據，就是誤差量的上限性。

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（三）誤差范圍的計算

測量講究準確，準確是測量的靈魂。計量以標準的準確保證測量儀器的準確，準確是計量的命脈。準確是測量儀器與計量標準性能水平的標志。準確的程度用誤差來衡量。誤差元等于測得值減真值，可正可負；誤差范圍是誤差元絕對值的一定概率（3σ，99.73%）意義下的最大可能值，恒正。誤差元是誤差概念的元素，說明誤差的物理意義；誤差可正可負，時大時小，不便于應用。實用的是誤差范圍。誤差范圍怎樣計算合理？這個問題爭議很大，本文表明筆者的一種觀點。

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什么叫合理，什么叫不合理？符合客觀規律就是合理，不符合客觀規律就是不合理。討論誤差的表征法，必須根據誤差量的特點。

由各項誤差，計算總誤差，通常叫誤差合成。有人以為過去的誤差理論，沒有誤差合成的辦法，這是不符合歷史的錯誤說法。千百種的測量儀器與測量工具，歷史上都是給出“準確度”指標的，每臺儀器都標有“準確度”數值，不合成怎來這個數？十大類計量，有幾百種計量基準、標準，都標有準確度，都是諸誤差因素的合成結果，不可能沒有合成計算。（合成計算是研制者的事，體現于測量儀器、計量標準立項論證、成果鑒定論證、學術論文中。）

不確定度論出世以來，為了給自己的出世找借口，公然說準確度是定性的。這是完全不顧歷史事實的一種胡說，是現代版的指鹿為馬。明明準確度都給出具體數值，怎能說是定性的？歷史就是歷史，事實就是事實，GUM也好、VIM也好，誰也否定不了歷史，而不顧事實說謊話，是一種反科學的可恥行為。幾個美國人說“準確度是定性的”，事實如何呢？筆者手頭有一本美國HP公司的1995年的測量儀器樣本，隨便翻幾頁，就找到三百多個給出特定值的準確度，這是誰也改變不了的歷史；在網上極易查到2013年的美國安捷倫公司、福祿克公司的測量儀器樣本，各種儀器都標著準確度指標的數值，這就是現實，那幾個說“準確度是定性的”的美國人，歪曲歷史，無視現實，在瞪眼睛說瞎話……。我這里要聲明一下，我的行業是時間頻率計量，我遵從的計量法規是《JJF1180-2007時間頻率名詞術語》，此法規規定：準確度是定量的，準確度是偏差的范圍，并給出數字實例。我激烈反對、駁斥“準確度定性論”，是有國家法規為后盾的。網友不必在老史是否守法上費話。

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不確定度論主張誤差合成一律取方和根。第一，這是為了跟經典誤差理論鬧對立；第二否定誤差分類，否定對系統誤差與隨機誤差應區分對待；第三，看到誤差理論處理辦法中的區分麻煩，而要給出一個統一的處理辦法，于是就主張統一到一律取方和根。

筆者深知，學問較高的人主張分析相關系數。相當多的人贊成取“方和根”，其理由是：似乎這樣不大不小，合適。這是把誤差量等同于一般量值，而產生的誤解。

筆者認為，學術水平高，分析相關系數，不必異議，但這是極少數人的事，能做得精是好事。但不好推廣，也不一定必要。我認為，注意到誤差量“上限性”的特點，取絕對值合成最好，

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（四）主張算術合成

算術合成就是各分項誤差范圍（都是正值）相加。

設測得值函數為

          M = f(X1,X2,X3)

泰勒展開的一階項是

          ΔM = (?f/?X1) ΔX1+(?f/?X2) ΔX2+(?f/?X3) ΔX3

誤差范圍為：

            R =│ΔM│max

               =│(?f/?X1) ΔX1+(?f/?X2) ΔX2+(?f/?X3) ΔX3│max

               =│?f/?X1││ΔX1│max + │?f/?X1││ΔX1│max + │?f/?X1││ΔX1│max

               =│?f/?X1│R1 + │?f/?X2│R2 + │?f/?X3│R3

               = R(1) + R(2) + R(3)

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筆者的主張是取絕對值合成，即算術合成。理由如下。

1 符合最一般、最通用的誤差理論知識

如數學手冊（1980版）

設a是A的近似值，b是B的近似值

             │a-A│≤Δa
                │b-B│≤Δb

           (a+b)的誤差=Δa+Δb

           (a-b)的誤差=Δa+Δb

從誤差的最一般知識不難看出，誤差計算的抓手是誤差范圍。

2 符合誤差范圍的定義

設誤差元為r, 誤差范圍為

          R=│r│max

設誤差元是三個數的代數和

          r = r(1) + r(2) - r(3)

則

          R = │r│max

          = │r(1) + r(2) - r(3) │max

          = │r(1)│max + │r(2)│max +│r(3)│max

          = R(1)+R(2)+R(3)

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（五）合成方法比較

方法一 混合法

據筆者所知，歷史上的合成方法，以混合法最多。明顯的隨機誤差，數值較小而項目較多的系統誤差，取方和根（將各項平方，求和，再開方）。大的系統誤差取絕對值相加。

歷史證明，混合法基本可用。

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方法二 方和根法

不確定度論主張一律采用方和根法合成。

要理由是期望統一算法。

反對誤差分類說，認為任何誤差都服從特定的分布規律。

不確定度論的方和根法：先將單項誤差范圍，除以因子，恢復至標準不確定度。將各個項的標準不確定度平方，求和，開方，得合成不確定度。乘因子2，得擴展不確定度，包含概率95%。

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【史評】

方和跟法起源于單項的重復測量的均方根法。均方根法表達的是隨機誤差。測得值對參考值之差，有正有負，不能取代數和。必須甩掉差值的正負號。去掉正負號的第一個辦法是取絕對值，求和，平均。第二個辦法是平方（正負號消失）平均，再開方。貝塞爾巧妙地實現了用平均值代換期望值，推導出貝塞爾公式。于是，貝塞爾公式得到廣泛應用，成為測量計量學、統計物理的基礎。

著眼點于絕對值（去掉正負號）本來有兩種方法：取絕對值或取平方之根。由于貝塞爾的成就，使理論與應用都聚焦于平方之根。對重復性測量的隨機誤差或隨機偏差，這樣做是恰當的。而把這種方法，移植于性質完全不同的測量儀器研制中的誤差合成，就不一定是必須的。況且，某些特性構成這種方式的原則性困難。

1 和的平方，通常不等于平方的和。即量間的相關系數不為零。而準確計算相關系數又非易事。

2 不確定度論反對誤差分類。但系統誤差與隨機誤差性質不同，是抹煞不了的事實。不確定度論認為系統誤差，也是隨機分布量；眼光甚大，例如說，用很多臺測量儀器測量同一量值，儀器的系統誤差必呈分布規律。但人們要處理的是用一臺儀器來測量。用許多儀器測量同一量，是虛構。

3 都取方和根，等于承認各量間的相關系數為零，也就是承認二量和的平方等于平方的和，即交叉項的作用為零，這難于被人相信。

4 計算的指導思想，像是對待一般量值，是求“合適值”，而不是找最大值。

5 合成計算結果偏小。又取2σ，可靠性95.54%，降低要求，丟失信譽。

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方法三  算術和

對明顯的隨機誤差，如示值的重復性，測N次，求σ，以3σ為隨機誤差范圍。對其他單項誤差，不分屬性，一律尋找其絕對值的最大可能值，即其誤差范圍。

算術和法：取各個單項誤差范圍之和，就是測量儀器的誤差范圍。

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【史評】

1 符合最基本的數學原理（數學手冊方法）

2 符合誤差量的特點（上限性）

3 有實踐基礎

4 最保險

5 簡單易行，設計者歡迎

6 可靠，測量者歡迎

7 鑒定會容易通過。

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（六）回答幾點質疑

1 有人說：你都用絕對值相加，能保證相關系數都為1嗎？

【史答】

計算相關系數，是計算交叉項貢獻大小的需要，僅僅是取方和根算法的產物。當采用算術和法，即取絕對值相加時，因為是求最大范圍值，與相關不相關沒關系，不論相關系數多大，合成項的最大可能值都是各個單項的最大可能值之和。因此，避開了相關系數。

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2 能保證計量公正嗎？設計者低估自己有好處，而計量者不能低估被檢儀器的性能。

【史答】

指標合成、給出，都是測量儀器研制者的事。計量著眼點是測量儀器的總指標，不過問、也不進行分項誤差合成。計量憑標準憑實測，考察的是儀器的實際誤差范圍（測得值減真值的范圍），是否符合指標。因此合成方法，與計量無關。個別測量儀器給出的是分項指標，那就只好按分項指標檢定。如儀器同時給出合成方法，就該按總指標檢定，則檢定既包括了分項指標，也包括了合成方法的合理性。

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3 是不是浪費

【史答】

實際工作中，絕對地既保險又不浪費，是不可能的。況且，指標僅是標志問題，不影響實際性能。國際最著名的測量儀器公司，所以信譽高，重要的一點是指標留有較大的余量。筆者驗收過的國際著名品牌，實際誤差范圍常常小于其指標的二分之一，甚至三分之一。當然是余量越大越好。

成本與可靠性，誤差理論歷來偏重于可靠性，這是正確的方針。不確定度論把歷來的3σ，改為2σ，是倒退的錯誤主張。一件有趣的事是：美國人的不確定度論主張“不浪費”的2σ（包含概率95%），這個本來對生產廠有利的主張，美國的測量儀器公司福祿克公司卻宣布：本公司為對用戶負責，所有儀器一率取包含概率99%，狠狠打了不確定度論一記耳光。一個實業公司，眼光竟遠遠高于那推行不確定度論的八大國際學術組織！

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