誤差的誤差的計(jì)算-評(píng)UA評(píng)定(15)
史錦順
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本段講誤差理論的一項(xiàng)新發(fā)展——誤差方程。
不確定度論攻擊誤差理論是定性的（說(shuō)誤差理論是理想的，意思是不能定量計(jì)算），那是誣陷。本段講誤差理論意義下的用以定量計(jì)算的誤差方程，以駁斥不確定度論的謬說(shuō)。
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誤差方程，是說(shuō)明量值傳遞與量值溯源的關(guān)系式。《新概念測(cè)量計(jì)量學(xué)》提出了誤差方程的概念。摘要介紹如下。
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測(cè)量講究準(zhǔn)確，準(zhǔn)確是測(cè)量的精髓。計(jì)量以標(biāo)準(zhǔn)的準(zhǔn)確，保證測(cè)量?jī)x器的準(zhǔn)確，準(zhǔn)確是計(jì)量的命脈。
量是物質(zhì)、物體、現(xiàn)象的可定量區(qū)分并可定量確定的屬性。物理量的量值是客觀存在。真值是量的客觀值、實(shí)際值、準(zhǔn)確值。
準(zhǔn)確性用誤差來(lái)衡量。誤差是測(cè)得值與真值的差距。誤差一詞有雙重含義：誤差元與誤差范圍。誤差元定義為測(cè)得值減真值，是可正可負(fù)的量。誤差范圍是誤差元絕對(duì)值的最大可能值，又稱最大允許誤差。由于隨機(jī)誤差的存在以及系統(tǒng)誤差的某些隨機(jī)性，誤差范圍是個(gè)統(tǒng)計(jì)量。誤差范圍是非負(fù)的值。在人們的習(xí)慣用語(yǔ)中，誤差范圍又簡(jiǎn)稱為誤差。誤差元的概念，只在誤差理論一開(kāi)始時(shí)用；而在誤差理論主要表達(dá)中，特別是在實(shí)際應(yīng)用中，所稱的誤差，都是指誤差范圍。
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誤差范圍的概念，實(shí)際應(yīng)用中又區(qū)分為幾種。
A 誤差范圍。以真值為參考標(biāo)準(zhǔn)的誤差元絕對(duì)值的最大可能值，有人稱其為真誤差范圍，本文簡(jiǎn)稱為誤差范圍，測(cè)量?jī)x器的誤差范圍記為R，N級(jí)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的誤差范圍記為R(N)。
測(cè)量?jī)x器與計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的誤差范圍，又稱最大允許誤差，是測(cè)量?jī)x器與計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)志性指標(biāo)，是由技術(shù)規(guī)范標(biāo)明的。測(cè)量?jī)x器的誤差范圍，由儀器說(shuō)明書規(guī)定，由計(jì)量部門的檢定證書確認(rèn)。測(cè)量?jī)x器的使用者，要知道說(shuō)明書的規(guī)定，要驗(yàn)明檢定證書或檢定標(biāo)志。
B 誤差范圍目標(biāo)值。以上級(jí)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)為參考標(biāo)準(zhǔn)的誤差范圍稱誤差范圍的實(shí)驗(yàn)值。誤差范圍的實(shí)驗(yàn)值的標(biāo)稱值，稱誤差范圍的目標(biāo)值，記為R(T)。按誤差方程算得。
C 誤差范圍實(shí)測(cè)值。以上級(jí)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)為參考標(biāo)準(zhǔn)，實(shí)測(cè)得到的誤差范圍（誤差元的最大可能值），稱誤差范圍的實(shí)測(cè)值,記為R(M)。
例如，我國(guó)砝碼檢定規(guī)程（與國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)等同），對(duì)2kg的M2等砝碼，規(guī)定誤差范圍是300mg[R(M2)],規(guī)程又規(guī)定其誤差范圍目標(biāo)值是200mg[R(T,M2)。實(shí)際測(cè)量時(shí)以M1等砝碼為參考標(biāo)準(zhǔn)，要求實(shí)測(cè)的誤差范圍[多次測(cè)量的誤差元的最大可能值,R(M)]即誤差范圍實(shí)測(cè)值,必須小于或等于誤差范圍的目標(biāo)值（200mg，請(qǐng)注意，不是砝碼指標(biāo)標(biāo)定的300mg）,才能判為合格。本文揭示上述A、B、C三種誤差范圍的理論關(guān)系。
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1 誤差方程的基本形式
1.1 測(cè)量?jī)x器
M表示測(cè)得值，Z表示被測(cè)量的真值。Z(N).表示N級(jí)標(biāo)準(zhǔn)的真值，M(N)為N級(jí)標(biāo)準(zhǔn)儀器的測(cè)得值。B為標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)稱值。r表示誤差元，R表誤差范圍。
r = M - Z
R =｜M - Z｜(最大值) （1）
先把絕對(duì)值式(1)解開(kāi)，變成兩個(gè)式子，再取其中的大者。
檢驗(yàn)測(cè)量?jī)x器的誤差，要用該測(cè)量?jī)x器去測(cè)量N級(jí)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)。測(cè)得值是M；N級(jí)標(biāo)準(zhǔn)的真值是Z(N)。
當(dāng)M > Z(N)時(shí)，絕對(duì)值式（1）的解是
R = M(最大) – Z(N)
R = M(最大) –B(N) + B(N) – Z(N)
R = R(實(shí)驗(yàn)A) + R(N)
當(dāng) M < Z(N)時(shí)，絕對(duì)值式（1）的解是
R = Z(N) – M(最小)
對(duì)此式右邊加減標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)稱值
R = B(N) - M(最小) + Z(N) – B(N)
R = R(實(shí)驗(yàn)B) + R(N)
得到的R(實(shí)驗(yàn)A) 與R(實(shí)驗(yàn)B)二者中的大者作為 R(實(shí)驗(yàn))，則有
R = R(實(shí)驗(yàn))＋R(N) （2）
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1.2 計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)
Z(N).表示N級(jí)標(biāo)準(zhǔn)的真值，B(N)為N級(jí)標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)稱值。要確定N級(jí)標(biāo)準(zhǔn)器的誤差，要用上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)即N-1級(jí)標(biāo)準(zhǔn)器構(gòu)成一臺(tái)N-1級(jí)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量?jī)x器。N-1級(jí)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量?jī)x器由N-1級(jí)標(biāo)準(zhǔn)器加比較儀器構(gòu)成。要求比較儀器引入誤差可略，于是N-1級(jí)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量?jī)x器與N-1級(jí)標(biāo)準(zhǔn)器誤差相同。用N-1級(jí)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量?jī)x器測(cè)量N級(jí)標(biāo)準(zhǔn)器，得M(N-1)。
r (N)= B(N) – Z(N)
R(N) =｜B(N) – Z(N)｜(最大值) （3）
先把絕對(duì)值式(3)解開(kāi)，變成兩個(gè)式子，再取其中的大者。
當(dāng)B(N) > Z(N)時(shí)
R(N) = B(N) – Z(N)
R(N)= B(N) –M(N-1)+ M(N-1) - Z(N)
R(N) = R(N,實(shí)驗(yàn)A) + R(N-1)
當(dāng)B(N) < Z(N)時(shí)
R(N) = Z(N) –B(N)
R(N) = M(N-1) - B(N) + Z(N) –M(N-1)
R(N) = R(N,實(shí)驗(yàn)B) + R(N-1)
取R(N,實(shí)驗(yàn)A) ,R(N,實(shí)驗(yàn)B)之大者為R(N,實(shí)驗(yàn))
則有
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R(N) = R(N,實(shí)驗(yàn)) + R(N-1) (4)
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(2)、(4)式是誤差方程的基本形式。
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2 量傳誤差方程
量值傳遞是計(jì)量的基本工作方式。將基準(zhǔn)的量值，在保證特定誤差范圍的條件下，逐級(jí)傳遞給計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)，直至測(cè)量?jī)x器。測(cè)量?jī)x器分級(jí)，表現(xiàn)不同的技術(shù)水平，如電表的分級(jí)。計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的等級(jí)概念，等一般表示地位從屬關(guān)系，上一等標(biāo)準(zhǔn)是下一等標(biāo)準(zhǔn)的計(jì)量參考標(biāo)準(zhǔn)。級(jí)則僅表明準(zhǔn)確性水平的高低。
計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)以誤差范圍R(N)（以真值為參考標(biāo)準(zhǔn)）來(lái)表征。
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標(biāo)準(zhǔn)序號(hào) 0（基準(zhǔn)） 1等 2等 3等 …… N-1等 N等
誤差范圍 R(0) R(1) R(2) R(3) R(N-1) R(N)
誤差范圍 R(0) KR(0) K^2R(0) K^3 R(0) K^(N-1)R(0) K^(N)R(0)
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R(0)是基準(zhǔn)的誤差范圍，不是靠上一等標(biāo)準(zhǔn)來(lái)測(cè)量，而有專門的測(cè)量與評(píng)定方法。
R(i)表第i等標(biāo)準(zhǔn)的以真值為參考標(biāo)準(zhǔn)的誤差范圍。又簡(jiǎn)稱真誤差。
K是量值傳遞因子，誤差范圍之比，下一等比上一等。K=1/q 。
R(實(shí)驗(yàn)測(cè))是以上一等標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)稱值為參考標(biāo)準(zhǔn)的誤差范圍的實(shí)測(cè)值。記為R(M).
R(實(shí)驗(yàn)標(biāo))是以上一等標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)稱值為參考標(biāo)準(zhǔn)的誤差范圍的標(biāo)稱值。又稱實(shí)驗(yàn)要求值，或目標(biāo)值，由計(jì)算得出。記為R(T)。R(T)是R(M)的允許的最大可能值。
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下面求由誤差范圍計(jì)算誤差范圍目標(biāo)值R(T)的公式。
當(dāng)q不是等值時(shí)，q(1/2)表示誤差范圍1級(jí)比2級(jí)。由（4）式 ，誤差范圍實(shí)驗(yàn)值的標(biāo)稱值（目標(biāo)值）第i等，(i為1到N)
R(T,i) = R(i,實(shí)驗(yàn)標(biāo))= R(i)- R(i-1)
用q[(i-1)/i]表示i-1等誤差范圍與i等誤差范圍之比，則有
R(T,i) = R(i)（1- R(i-1)/R(i)）
R(T,i) R(i){1-q[(i-1)/i]} (5)
當(dāng)各等之間的q值相同或大體相同時(shí)，
R(T,i) = R(i)[1-q] (6)
(5)式、（6)式為量傳誤差方程。
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命題：檢定的判別標(biāo)準(zhǔn)
誤差范圍的以上一等的標(biāo)準(zhǔn)為參考標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)測(cè)值記為R(M,i)。
當(dāng)
R(M,i)≤ R(T,i) (7)
時(shí)，判為合格；否則不合格。
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3 溯源誤差方程
3.1 測(cè)量?jī)x器溯源誤差方程
M表示測(cè)得值，Z表示真值。Z(N).表示N級(jí)標(biāo)準(zhǔn)的真值，M(N)為N級(jí)標(biāo)準(zhǔn)儀器的測(cè)得值。B(N)為N級(jí)標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)稱值。r表示誤差元，R表誤差范圍。
（1）檢驗(yàn)測(cè)量?jī)x器誤差，要用N級(jí)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量?jī)x器或N級(jí)標(biāo)準(zhǔn)器。
A 用被檢測(cè)量?jī)x器和N級(jí)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量?jī)x器同測(cè)一量（其真值為Z），被檢測(cè)量?jī)x器測(cè)得值為M，N級(jí)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量?jī)x器測(cè)得值為M(N)。
M – Z = M – M(N) + M(N) – Z
R = R(實(shí)驗(yàn)) + R(N) （2）
B 用被檢測(cè)量?jī)x器測(cè)量N級(jí)標(biāo)準(zhǔn)器，其標(biāo)稱值B(N)、真值Z(N)
M – Z(N)= M – B(N) + B(N) – Z(N)
R = R(實(shí)驗(yàn)) + R(N) （2）
（2）檢驗(yàn)N級(jí)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量?jī)x器的誤差或檢驗(yàn)N級(jí)標(biāo)準(zhǔn)器的誤差，要用N-1級(jí)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量?jī)x器或N-1級(jí)標(biāo)準(zhǔn)器。
A 測(cè)同一量，N級(jí)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量?jī)x器測(cè)得值為M(N)，N-1級(jí)測(cè)量?jī)x器測(cè)得值為M(N-1)
M(N) – Z = M(N) – M(N-1) + M(N-1) – Z
R = R(N實(shí)驗(yàn)) + R(N-1) （4）
B 用N級(jí)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量?jī)x器測(cè)量N-1級(jí)標(biāo)準(zhǔn)器，其標(biāo)稱值B(N-1)、真值Z(N-1)
M(N) – Z(N-1) = M(N) – B(N-1) + B(N-1) – Z(N-1)
R(N) = R(N實(shí)驗(yàn)) + R(N-1) （4）
C 測(cè)量N級(jí)標(biāo)準(zhǔn)器的誤差，要用N-1級(jí)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量?jī)x器來(lái)測(cè)它
B(N) – Z(N) = B(N) – M(N-1) + M(N-1) – Z(N)
R(N) = R(N實(shí)驗(yàn)) + R(N-1) （4）
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（3）同理可知
R(N-1) = R(N-1實(shí)驗(yàn)) + R(N-2)
R(N-2) = R(N-2實(shí)驗(yàn)) + R(N-3)
……
R(2) = R(2實(shí)驗(yàn)) + R(1);
R(1) = R(1實(shí)驗(yàn)) + R(0)
R0是基準(zhǔn)誤差，由基準(zhǔn)給出。
以上各式逐一寫出，并用后式代替前式的最后一項(xiàng)，有
R = R(實(shí)驗(yàn)) + R(N)
R = R(實(shí)驗(yàn)) + R(N實(shí)驗(yàn)) + R(N-1)
R = R(實(shí)驗(yàn)) + R(N實(shí)驗(yàn)) + R(N-1實(shí)驗(yàn)) + R(N-2)
R = R(實(shí)驗(yàn)) + R(N實(shí)驗(yàn)) + R(N-1實(shí)驗(yàn)) + R(N-2實(shí)驗(yàn)) + R(N-3)
以下再代換掉R(N-3)……，最后成為
R = R(實(shí)驗(yàn)) + R(N實(shí)驗(yàn)) + R(N-1實(shí)驗(yàn)) + R(N-2實(shí)驗(yàn)) + ……
+ R(2實(shí)驗(yàn)) + R(1實(shí)驗(yàn)) + R(0,實(shí)驗(yàn))
量值傳遞關(guān)系決定的級(jí)間誤差范圍之比值（上一級(jí)比下一級(jí)）為系數(shù)q，將以上各級(jí)誤差實(shí)驗(yàn)值表為R(N實(shí)驗(yàn))的倍數(shù)（^表乘方，*表相乘）
R = R(實(shí)驗(yàn)) + R(N實(shí)驗(yàn)) + qR(N實(shí)驗(yàn)) +q^2 *R(N實(shí)驗(yàn)) +……
+ q^(N-2)*R(N實(shí)驗(yàn)) + q^(N-1)*R(N實(shí)驗(yàn)) +q^N *R(N實(shí)驗(yàn))
第2項(xiàng)以后把公因子R(N實(shí)驗(yàn))提出，成為首項(xiàng)為1，比值為q的N+1項(xiàng)的等比級(jí)數(shù)，
R = R(實(shí)驗(yàn)) + R(N實(shí)驗(yàn)) [ 1+ q + q^2 +……
+ q^(N-2) + q^(N-1) +q^N ] （8）
等比級(jí)數(shù)求和，略去q的高階項(xiàng)q^(N+1)。
結(jié)果為
R = R(實(shí)驗(yàn)) + R(N實(shí)驗(yàn))/(1-q) （9）
3.2 計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)溯源誤差方程
對(duì)N等計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)(包括已納入計(jì)量系列的測(cè)量?jī)x器)，(8)式改寫為：
R(N)= R(N實(shí)驗(yàn)) [ 1+ q + q^2 +……+ q^(N-2) + q^(N-1) +q^N ]
解得
R(N) = R(N實(shí)驗(yàn))/(1-q) (10)
4 經(jīng)典計(jì)量學(xué)的作法
計(jì)量講究溯源性。誤差方程是關(guān)于溯源性的計(jì)算。
計(jì)量單位的值，古代各國(guó)家、各地區(qū)不同。近代世界大發(fā)展、大交流，于是有了國(guó)際單位制。國(guó)際單位制，采用十進(jìn)制，單位體系簡(jiǎn)約、科學(xué)，現(xiàn)代為世界各國(guó)普遍采用。我國(guó)采用國(guó)際單位制。
計(jì)量單位的定義由國(guó)際計(jì)量大會(huì)決定。
復(fù)現(xiàn)單位量值的設(shè)施稱基準(zhǔn)。我國(guó)的國(guó)家基準(zhǔn)在中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院。基準(zhǔn)校準(zhǔn)一等標(biāo)準(zhǔn)，一等標(biāo)準(zhǔn)校準(zhǔn)二等標(biāo)準(zhǔn)，依次類推，由N等標(biāo)準(zhǔn)校準(zhǔn)或檢定測(cè)量?jī)x器，這就是計(jì)量的量值傳遞系統(tǒng)，由上而下的量值流程稱量值傳遞；而測(cè)量?jī)x器每年要向上級(jí)計(jì)量部門送檢，用N等計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)確定儀器是否合格（是否符合誤差范圍指標(biāo)），N等計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)每年要用N-1等計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)檢定，依此類推直至基準(zhǔn)。這個(gè)由下到上的尋求量值準(zhǔn)確性的過(guò)程稱為計(jì)量的溯源性。同一種量的測(cè)量?jī)x器全國(guó)千千萬(wàn)，但量值的準(zhǔn)確性歸根結(jié)底都來(lái)自基準(zhǔn)。
測(cè)量?jī)x器的誤差范圍由N級(jí)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)判斷，N級(jí)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)又由上級(jí)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)來(lái)確定，這是可行的，也是正確的方法。但由此產(chǎn)生的誤差（即誤差的誤差）是多少，這個(gè)問(wèn)題可由誤差方程處理。
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5 誤差方程計(jì)算
1 公式因子計(jì)算
q 1/3 1/4 1/5 1/6 1/8 1/10
1/(1-q) 1.50 1.33 1.25 1.20 1.14 1.11
2 誤差范圍實(shí)驗(yàn)值該擴(kuò)大的百分比(K=1/q，是下一級(jí)對(duì)上一級(jí)誤差范圍之比)
q 1/3 1/4 1/5 1/6 1/8 1/10
K 3 4 5 6 8 10
擴(kuò)大百分比 50% 33% 25% 20% 14% 11%
3誤差范圍實(shí)驗(yàn)值代替誤差范圍產(chǎn)生的相對(duì)偏差
[R(實(shí)驗(yàn)) – R] / R =R(實(shí)驗(yàn)) / R – 1 = - q
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6 誤差方程的意義
推導(dǎo)中每步都用真值，但結(jié)果中不包含真值，實(shí)現(xiàn)了用標(biāo)準(zhǔn)值對(duì)真值的代換
誤差方程完成的是上級(jí)標(biāo)準(zhǔn)值的功效到真值功效的過(guò)渡。
誤差方程實(shí)現(xiàn)了從誤差實(shí)驗(yàn)值到誤差（即真誤差）的計(jì)算。
指出：目前我國(guó)某些計(jì)量領(lǐng)域中，q取1/3，偏大；應(yīng)取1/4。
有了誤差方程，可以解除對(duì)誤差理論的疑慮了。誤差方程將在計(jì)量、定標(biāo)各種場(chǎng)合廣泛發(fā)揮作用。
誤差方程出世了，誤差范圍（真誤差的范圍）可以計(jì)算了；所謂“真值未知，誤差不可求”的佯謬破解了。
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（本段完）
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