計量論壇

               設計的定量分析-評UA評定(14)

                                                                                                  史錦順      

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本段講測量計量學的一項新發展——測量方程。說明誤差理論的基礎是定量的。不確定度論攻擊誤差理論是定性的（說誤差理論是理想的，意思是不能定量計算），那是誣陷。本段講誤差理論意義下的測量方程的定量計算，以駁斥不確定度論的謬說。而不確定度論的測量方程，沒有涉及測量儀器或標準的內部構成，不能在設計測量儀器或研制計量標準的場合中應用。

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(一) 不確定度論中的測量方程

    不確定度論的測量方程如下（譯自“Essentials of expressing measurement uncertainty”）

感興趣的情況是被測量不是直接測量的，而是通過函數關系 f 由N個另外的量X1,X2,……XN 來確定的，常稱的測量方程為：

              Y = f(X1, X2, . . . , XN)                                                               (1)

所包含的量Xi，因其他一些變化原因，如不同的觀察者，儀器，樣品，實驗室及觀察時間的不同，而不同于原量。因此，方程（1）所表示的函數關系不是單純的物理定律，而是一個測量過程。事實上，它對測量結果引入了不確定度。

被測量估算值或稱輸出量，記為y，它是由輸入量X1,X2,……XN的估值x1,x2,……xN來求出。因此做為測量結果的輸出量估值y為：

             y = f(x1, x2, . . . , xN).                                                                (2)

例如，如ISO導則給出的，一電位差加在與溫度有關的電阻上，此電阻在定義溫度to時的電阻是Ro，線性溫度系數是b,則加于此電阻上的功率（被測量）在溫度為t時對V,Ro,b以及t的依賴關系為

            P = f(V, Ro, b, t) = V2/Ro[1 + b(t – to)].                                   (3)

以上是不確定度理論的測量方程。

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（二）《新概念測量計量學》的測量方程

1 測量方程的一般形式

測量方程就是把物理公式與計值公式聯立起來，組成一個整體。

建立測量方程的核心思想是區分量值的概念。物理公式中的量都是客觀的量，準確的量，物理公式本身是超脫測量誤差的，從物理公式本身難尋誤差的蹤跡。測量中用以計算的根據是物理公式，但所用的量，與物理公式中的量是有區別的，把這個區別標示出來，便是計值公式。常用的區分標志有兩種，一是表示是測量得出的值，可用m標示，二是認定的的標準值或標稱值，用o來表示。把物理公式和計值公式聯立起來，就得出測量方程。

被測量Y由諸量X決定，Y是函數，諸X是構成Y的來源量。

在測量方程中，各量成對。被測量的測得值Ym與被測量Y是一對。被測量Y是客觀存在，是常量，而被測量的測得值Ym是變量。決定Y的各來源量X，各有一個Xm或Xo與其對應。如Xi與Xim對應，則Xi是常量，Xim是變量；若Xj與Xjo對應，則Xj是變量，而Xjo是常量。

設物理公式為：

      Y = f(X1,X2,……XN)                                        (1)

計值公式為：

      Ym= f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o)                             （2）

式中斜杠“/”表示“或”。m表示測得值,o表示標稱值。m/o表示或者是測得值m,或者是標稱值o。例如X1m/o表示是X1m或者是X1o.

聯立（1）（2），而者相除，得：

      Ym = [f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o)/ f(X1,X2,……XN)] Y        (3)

聯立（1）（2），而者相減，得：

      Ym = f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o)-f(X1,X2,……XN) + Y         (4)

(3)、(4)都是測量方程，依應用方便而選取。

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（接下頁）

   2 例：頻率測量的測量方程

測頻的物理公式為：

      f = N/T                            (5)

f是頻率的實際值，N是振蕩次數的準確值，T是閘門實際時間。

測頻的計值公式為

      fm = Nm/To                         (6)

fm是頻率的測得值，Nm是振蕩次數的測得值，To是閘門的標稱時間。

聯立物理公式（5）和計值公式（6）。

計值公式（6）被物理公式（5）除，得測量方程為：

      fm = [NmT/(NTo)]f                  (7)

對測量方程（7），進行量值分析：測得值fm、記得脈沖數Nm、閘門實際時間T是變量；而頻率實際值f、實際脈沖數N、標稱閘門時間To是常量。誤差分析第一種方法是對各變量作微分；第二種方法是把變量展成常量加小增量。

這樣的分析，邏輯順暢了。

下面以小量法分析。表fm=f+Δfm;
          Nm=N+ΔNm ; T=To+ΔT, 代入（7）式

      (f+Δfm)/f = （N+ΔNm）(To+ΔT)/NTo

      1+δfm =1+δNm +δT

則有

      δfm =δNm +δT                   （8）

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（三）兩種測量方程的比較

《新概念測量計量學》的測量方程（下稱甲方程）和不確定度理論的測量方程（下稱乙方程）是有本質區別的。

1 甲方程的對象是直接測量；乙方程的對象是間接測量。

2 甲方程是一個量的內部結構關系；乙方程是幾個量的相互關系。

3 甲方程聯立了計值公式和物理公式，確立了測得值與實際值的關系；乙方程實際停留在計值公式上，沒有建立起與物理量的關系。

4 甲方程有明晰的區分量值是常量還是變量的概念，乙方程沒有這個概念。

5 甲方程可分析計算直接測量的誤差，可用來設計測量儀器；而乙方程只能用于計算間接測量的誤差傳遞關系，而這些在原誤差理論中是有的。乙方程不能用來設計直接測量的測量儀器。

6 甲方程的實例，都是結合實際的、可用的；乙方程給出的實例，是個游戲式的例子，懂點電學和測量知識的人，一看便知，世界上不會有人那樣去測量功率。因為那樣測不準。（正常的測量方法是串接電流表、并聯電壓表，準確度要高得多。）

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結論：在誤差理論意義下的測量方程是實用的；不確定度的測量方程沒有實際內容，因為它反對真值概念，而一經脫離真值（客觀值、實際值）便沒法談誤差問題（測得值對實際值的偏離），也就無法建立測量方程。不確定度論的例子，是量值傳遞方程，與揭示測量儀器或計量標準內部規律的測量方程不沾邊。

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