計(jì)量論壇

                               錯(cuò)用公式-評(píng)UA評(píng)定(2)

                                                                          史錦順

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（一）UA的A類(lèi)評(píng)定的規(guī)定

對(duì)被測(cè)量進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)測(cè)量，通過(guò)所得到的一系列測(cè)得值，用統(tǒng)計(jì)分析方法獲得實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差s(X) ,當(dāng)用算術(shù)平均值X平 作為被測(cè)量估計(jì)值時(shí)，被測(cè)量估計(jì)值的A類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：

          u(A)=s(X平)=s(X)/√N
引文見(jiàn)《JJF1059測(cè)量不確定度評(píng)定與表示》。

此項(xiàng)不確定度評(píng)定條款告訴我們：A類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不確定度就是σ除以根號(hào)N。σ是按貝塞爾公式求得的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差。

不確定度A類(lèi)評(píng)定的除以根號(hào)N，是普適的規(guī)定，只要測(cè)量次數(shù)是N，則必須除以根號(hào)N。這點(diǎn)體現(xiàn)在大量的樣板評(píng)定中。

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（二）除以根號(hào)N的條件

我們要搞清楚，σ除以根號(hào)N這一操作，什么時(shí)候必做，什么時(shí)候不能做。

經(jīng)典測(cè)量中，被測(cè)量是常數(shù)。測(cè)得值的隨機(jī)變化，由測(cè)量?jī)x器引起。被測(cè)量本身不變（已設(shè)是常數(shù)），測(cè)得值本該不變，現(xiàn)在變了，顯然是測(cè)量?jī)x器的問(wèn)題。測(cè)量?jī)x器是認(rèn)識(shí)手段，手段的影響要消除或減弱，第一個(gè)方法是選用更穩(wěn)定的測(cè)量?jī)x器。但這不是總可實(shí)現(xiàn)的。第二個(gè)方法是增加測(cè)量次數(shù)，取平均值，以減小隨機(jī)誤差的影響。這第二個(gè)方法，代價(jià)低，好處明顯，于是成為測(cè)量的常規(guī)，測(cè)量就要進(jìn)行多次測(cè)量。精密測(cè)量，即分辨力高，重復(fù)測(cè)量時(shí)測(cè)得值有變化，要進(jìn)行多次測(cè)量。普通測(cè)量（分辨力低，重復(fù)測(cè)量時(shí)，測(cè)得值不變），可以只進(jìn)行一次測(cè)量；最好重復(fù)測(cè)量一次，以避免差錯(cuò)。

多次測(cè)量是計(jì)量的常規(guī)，精密測(cè)量也必須多次測(cè)量。于是，多次測(cè)量，成了測(cè)量計(jì)量行業(yè)的基本要求與基本素養(yǎng)。隨之而來(lái)的的是測(cè)量N次，取平均值，將算得的σ除以根號(hào)N。這個(gè)“除以根號(hào)N”，已成常例，不確定度論的A類(lèi)評(píng)定也就一律除以根號(hào)N。這樣的作法對(duì)嗎？什么時(shí)候該除以根號(hào)N，什么時(shí)候不該除以根號(hào)N，值得仔細(xì)考究。

有人說(shuō)，以平均值為表征量時(shí)，除以根號(hào)N，取單值時(shí)，N是1，除以1就是除以根號(hào)1,等于不做。老史的回答是：只測(cè)量一次時(shí)，利用原來(lái)已有的的測(cè)量結(jié)果，取單值的σ，這沒(méi)有爭(zhēng)議。這里討論的問(wèn)題是：測(cè)量了N次，以平均值來(lái)當(dāng)測(cè)得值，就是在這個(gè)條件下，該不該除以根號(hào)N。

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筆者的觀點(diǎn)是：“除以根號(hào)N”的操作，用于被測(cè)量是常量的測(cè)量。當(dāng)測(cè)量的目的是確定被測(cè)量的量值時(shí)，為減小測(cè)量?jī)x器隨機(jī)誤差的影響，要除以根號(hào)N。以下專(zhuān)論與不確定度論作法不同的觀點(diǎn)。

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（二）變量測(cè)量不能除以根號(hào)N

經(jīng)典測(cè)量的測(cè)量對(duì)象是常量。多次測(cè)量，用平均值來(lái)表征被測(cè)量，包含區(qū)間是指平均值的包含區(qū)間，σ除以根號(hào)N是合理的。

現(xiàn)代測(cè)量出現(xiàn)大量變量測(cè)量。被測(cè)量是快變量（在采樣時(shí)間內(nèi)有變化）。這稱(chēng)統(tǒng)計(jì)測(cè)量。統(tǒng)計(jì)測(cè)量的目的，一是知道量值（用平均值表征），二要知道量值本身的穩(wěn)定性，這表現(xiàn)為測(cè)得值的分散性。為客觀地表達(dá)出被測(cè)量本身的變化性，第一，要選用誤差范圍可略的測(cè)量?jī)x器；第二要給出單值的σ，即σ不能除以根號(hào)N。

    σ是變量本身的特性。當(dāng)N變化是，σ將有所波動(dòng)，當(dāng)N很大時(shí)，σ趨于常數(shù)。σ是量值本身隨機(jī)變化的表征量，是量的固有屬性，不可人為地將它縮小。除以根號(hào)N的操作，使分散性以根號(hào)N分之一的速率 縮小，是錯(cuò)誤操作。

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（三）計(jì)量不能除以根號(hào)N

計(jì)量是特殊的測(cè)量，其目的不是認(rèn)識(shí)被測(cè)量，而是判別測(cè)量?jī)x器、計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的合格性。

在考察計(jì)量的問(wèn)題時(shí)，要注意區(qū)分什么是對(duì)象，什么是手段。測(cè)量場(chǎng)合，測(cè)量?jī)x器是認(rèn)識(shí)的手段，計(jì)量場(chǎng)合，被檢測(cè)量?jī)x器是認(rèn)識(shí)的對(duì)象。

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計(jì)量檢定中所呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)的分散性，是被檢定測(cè)量?jī)x器的隨機(jī)誤差，或是檢定對(duì)象的隨機(jī)變化，都是對(duì)象的特有性質(zhì)，不是檢定手段的問(wèn)題，測(cè)量N次，按貝塞爾公式計(jì)算σ，不能除以根號(hào)N。除以根號(hào)N，就是把被檢對(duì)象的特有性質(zhì)縮小根號(hào)N倍，是不對(duì)的。

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（四）A類(lèi)評(píng)定規(guī)定一律除以根號(hào)N是錯(cuò)誤的

不確定度論的A類(lèi)評(píng)定，規(guī)定：按貝塞爾公式計(jì)算的σ，除以根號(hào)N，才是不確定度。

現(xiàn)在推行不確定度的一套理論和作法，主要是在計(jì)量領(lǐng)域。而計(jì)量中進(jìn)行的測(cè)量，是統(tǒng)計(jì)測(cè)量（手段的誤差元小于對(duì)象的誤差），σ表征的是對(duì)象的特性，是不該被人為地縮小的。

在測(cè)量中，當(dāng)代的測(cè)量，大量是統(tǒng)計(jì)測(cè)量（被測(cè)量本身在變化，即手段的誤差小于對(duì)象的變化）。統(tǒng)計(jì)測(cè)量不能除以根號(hào)N。

常量測(cè)量的場(chǎng)合，可以除以根號(hào)N。對(duì)除以根號(hào)N這一操作，應(yīng)該明確地規(guī)定其可以應(yīng)用的場(chǎng)合。不確定度的A類(lèi)評(píng)定，不分場(chǎng)合地規(guī)定σ一律除以根號(hào)N，是錯(cuò)誤的。

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（五）成功的實(shí)例：頻率穩(wěn)定度的表征

1966年發(fā)表、1972年被推薦并隨后被推廣的阿侖方差理論，至今仍是頻率穩(wěn)定度表征的當(dāng)家理論。

阿侖方差的統(tǒng)計(jì)元是相鄰二頻率的差值。這樣的差值取N個(gè)，則阿侖偏差的值為：

             σ(τ)= √{(1/N)∑[f(i,2)- f(i,1)]^2}                    (1)

記頻率值f(i,1)，f(i,2) ，i從1到N；取差值[f(i,2)- f(i,1)]；取各差值的平方和的均值；再開(kāi)方，即得阿侖方差。

注意，阿侖方差中的除以N，是因?yàn)橛?/font>N個(gè)平方項(xiàng)求和，要取各平方項(xiàng)的平均值，才除以N，此N值，相當(dāng)于貝塞爾公式中的(N-1)。阿侖偏差是單值的西格瑪，盡管統(tǒng)計(jì)單元是N個(gè)，而不除以根號(hào)N。

由于頻率穩(wěn)定度測(cè)量十分方便快捷，數(shù)據(jù)是自動(dòng)處理，很容易作西格瑪與N的關(guān)系的實(shí)驗(yàn)。當(dāng)N大于20時(shí)，隨測(cè)量次數(shù)N的增長(zhǎng)，西格瑪趨于穩(wěn)定。有關(guān)規(guī)程規(guī)定N為100，計(jì)算出的西格瑪本身就是阿侖偏差，而不除以根號(hào)100.

這樣，阿侖偏差反映了頻率源的客觀屬性，即反映了頻率的穩(wěn)定性或稱(chēng)頻率值的分散性。不論誰(shuí)測(cè)量，不論在哪里測(cè)量，特別是不管N取大于20的任何數(shù)，所得阿侖偏差的值是穩(wěn)定度。

按不確定度的評(píng)定，要除以根號(hào)N。這樣，西格瑪之值必然隨N而變化，于是，N等于20的西格瑪就是N等于2000的西格瑪?shù)?/font>10倍！如是，說(shuō)明其不反映頻率源的客觀屬性。國(guó)際頻率界（包括我國(guó)），至今表征頻率穩(wěn)定度用阿侖方差，而抵制不確定度論，道理就在這里。

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（六）失敗的例子：溫度測(cè)量的表征

GUM上有個(gè)溫度測(cè)量的例子，1993版有，2008版還有。測(cè)量溫度20次，按不確定度的A類(lèi)評(píng)定，西格瑪除以根號(hào)N。給出的包含區(qū)間，竟不包含絕大多數(shù)數(shù)據(jù)。豈有此理！如此評(píng)定竟成樣板，實(shí)乃計(jì)量人之悲哀。（參見(jiàn)《誤差與不確定度百論集》p52“一筆混沌帳”一文。）

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