計(jì)量論壇

             新概念測量計(jì)量學(xué)

                     （上卷：通用原理）

                        史錦順著

                         2011年6月

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上卷目錄

序言 ---------------------------------------------------------------3

第1章 測量分類的新概念 --------------------------------------------10

第2章 測量方程的新概念 --------------------------------------------14

第3章 誤差方程的新概念 --------------------------------------------26

第4章 方差的新概念—兼論阿侖方差 ----------------------------------30

第5章 數(shù)據(jù)處理與表征的新思路 --------------------------------------42

第6章 測量計(jì)量術(shù)語與規(guī)則新釋 --------------------------------------55

    《新概念測量計(jì)量學(xué)》討論集   

                      2011年 8月

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    1 測量佯謬破解

    2 兩類測量劃分的必然性

    3 兩類測量區(qū)分的四項(xiàng)功能

    4 兩類測量區(qū)分的大例

    5 兩類測量區(qū)分的舉例

    6 關(guān)于兩項(xiàng)操作的反思

    7 測量方程的由來

    8 測量方程的一般形式

    9 兩種測量方程的比較

   10 測量方程對桿秤的應(yīng)用

   11 求得計(jì)時方程

   12 求得測速誤差公式

   13 誤差方程的思想基礎(chǔ)

   14 誤差方程的推導(dǎo)

   15 誤差方程的意義

       16 誤差方程同貝塞爾公式的比較

       17 貝塞爾的故事

       18 貝塞爾公式第一種推導(dǎo)

       19 貝塞爾公式第二種推導(dǎo)

       20 殘差之和必為零

       21 自由度是N不是N-1

       22 阿侖方差介紹

     23 阿侖方差的問題

       24 自差統(tǒng)計(jì)的新概念

       25 自差統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用

        準(zhǔn)確性法則-測量計(jì)量學(xué)綱要（1）        

                                                 史錦順   

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法則是對客觀規(guī)律的概括。法則是認(rèn)識的指導(dǎo)，是行為的準(zhǔn)則。

測量的歷史，幾乎同人類文明史一樣久遠(yuǎn)。人類社會需求測量的共通性，于是便有了規(guī)范測量的計(jì)量。我國秦代已有統(tǒng)一計(jì)量的壯舉。近代工業(yè)大發(fā)展，測量計(jì)量也相應(yīng)大發(fā)展。近四百年來，陸續(xù)發(fā)展起來的經(jīng)典測量學(xué)基本適應(yīng)了這個時期的需求。經(jīng)典理論的局限是限于常量測量。1966年出現(xiàn)的阿侖方差，部分地解決了變量測量的問題，但僅限于頻率穩(wěn)定度問題。1990年后國際計(jì)量委員會逐漸在世界上推行不確定度理論。這套理論，從指導(dǎo)思想到實(shí)際方法，問題很多，各方面意見很大。現(xiàn)狀迫使我們更深入地考慮測量計(jì)量學(xué)的基本問題。本綱要揭示測量計(jì)量的基本法則。指出人們必須遵守客觀規(guī)律，按客觀法則去認(rèn)識問題處理問題。一旦違背客觀規(guī)律，再權(quán)威的國際組織也要犯錯誤。

真理明一分，迷霧少幾層；法則懂幾項(xiàng)，心明眼睛亮。

本綱要是筆者近期關(guān)于測量計(jì)量理論探索的綜合。主要是從規(guī)律、法則、哲學(xué)、應(yīng)用幾個方面，試圖說明：經(jīng)典測量學(xué)的合理性與局限；阿侖方差的優(yōu)點(diǎn)與問題，新概念測量計(jì)量學(xué)對以上二理論的繼承和發(fā)展；嚴(yán)厲批評當(dāng)今國際計(jì)量界推行的不確定度論——它違反規(guī)律，踐踏法則，擾亂實(shí)踐，無能無用，空添混亂，必須廢棄。

1 準(zhǔn)確性法則

測量講究準(zhǔn)確，準(zhǔn)確是測量的精髓；計(jì)量以標(biāo)準(zhǔn)的準(zhǔn)確監(jiān)督測量儀器的準(zhǔn)確，準(zhǔn)確是計(jì)量的命脈。

經(jīng)典測量計(jì)量學(xué)的核心概念是真值的概念，基本理論是誤差理論。誤差是測得值同真值的差距,誤差元構(gòu)成誤差范圍。誤差范圍稱準(zhǔn)確度。

準(zhǔn)確度是測量儀器的標(biāo)志性指標(biāo)，準(zhǔn)確度更是計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的命根子。

準(zhǔn)確性是測量計(jì)量的第一法則。經(jīng)典測量學(xué)嚴(yán)守這個法則。

2 真值的概念

2.1真值的真理

測量的目的是確定真值。由于測量儀器的限制，得到的是測得值。測得值與真值之差是誤差。人們用測得值與誤差范圍來表征真值。

依誤差大小，可把量值分為測得值、相對真值、真值。

通常測量結(jié)果是測得值。各級計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的值是相對真值，人類認(rèn)識到的最高的相對真值是約定真值。誤差無限小、相對真值的極限是真值。

初看，真值和真理可相比擬；細(xì)想，真值是真理的一種形態(tài)，真理涵蓋真值的道理。

真值就是客觀值、實(shí)際值、準(zhǔn)確值。

測量講究準(zhǔn)確，追求準(zhǔn)確。真值就是準(zhǔn)確值。準(zhǔn)確分相對準(zhǔn)確和絕對準(zhǔn)確。相對準(zhǔn)確值是有誤差的值，是具體條件下對量的正確認(rèn)識。絕對準(zhǔn)確寓于相對準(zhǔn)確之中，相對準(zhǔn)確包含絕對準(zhǔn)確的因素。隨著誤差逐漸減小，相對準(zhǔn)確越來越接近絕對準(zhǔn)確。誤差無限小時，相對準(zhǔn)確的極限是絕對準(zhǔn)確。

真值的表征值是相對準(zhǔn)確的相對真值。

2.2 真值的數(shù)學(xué)表達(dá)

真值，可用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)如下。

測量計(jì)量依準(zhǔn)確度的高低而分等級，通常1級高而2級低，此處為敘述方便，倒過來，按樓層的排法，1層低而2層高，這類似醫(yī)院等級的分法。日常用的測量儀器叫1層，高一檔的叫2層,依此類推。

設(shè)被測量L的真值為Z,各層次的測得值為數(shù)列L(N),N從1到N。測量的誤差范圍(可用誤差方程算出誤差范圍)為

δ=| L(N)- Z|,

任給正小量ε，提高測量準(zhǔn)確度的層次，可使δ<ε，則Z是L(N)的極限。即真值是誤差逐級減小時測得值數(shù)列的極限。

2.3 真值的偉大理論與不確定度的怪論

從牛頓的運(yùn)動第二定律公式、萬有引力定律公式，到麥克斯韋電磁運(yùn)動方程組的各公式，再到愛因斯坦質(zhì)能公式，這些公式中的量，都是真值。物理公式就是關(guān)于真值的關(guān)系式。人們該想一想：不確定度論否定真值，不是在否定一切物理公式嗎？

真值的概念同那些偉大公式一起光芒四射，普照人間。不確定度論否定真值，辦不到。

不確定度論的立足點(diǎn)是否定真值，從而否定誤差、否定準(zhǔn)確度。這是很自然也是很明白的事，不否定真值，不確定度論就沒有存在的理由。

否定真值有兩個層次：一是否定真值的存在，一是否定真值的可知性。

VIM第一版寫到“量子效應(yīng)排除唯一真值的存在”，這是說真值不存在。在筆者“不確定度理論置疑”一文的網(wǎng)上討論中，已找到何祚庥院士“測不準(zhǔn)關(guān)系正釋”一文，又找到哥倫比亞大百科全書中所載的不確定性原理的提出者海森堡的原話。上述兩篇文章都說明量子理論的不確定性原理（我國舊譯測不準(zhǔn)關(guān)系），不限制單一量測量時的測量準(zhǔn)確度，因此說“量子效應(yīng)排除唯一真值的存在”，是對量子理論的誤解，是錯誤的。

VIM以后各版及GUM不說真值不存在了，而說真值不可知。于是，真值不可知的論調(diào)成了不確定度論的主調(diào)。這種論調(diào)是錯誤的。

辯證唯物論認(rèn)為：世上只有尚未認(rèn)識的事物，沒有不可知的事物。德國唯心主義哲學(xué)家說：“自在之物，不可知”。當(dāng)代不確定度論認(rèn)定“真值不可知”不過是康德唯心主義的翻版。不確定度論宣揚(yáng)“真值不可知”，是世界觀的根本謬誤。我國計(jì)量規(guī)范，把“真值不可知”故意錯譯為“真值未知”，是掩蓋矛盾。

科學(xué)家的探索、發(fā)現(xiàn)，人類一代接一代的不停的探索，認(rèn)識一步接一步的提高，其根本點(diǎn)是世界是可知的。世界的可知性是客觀真理，為人類的實(shí)踐一步步證實(shí)。世界可知性是人類進(jìn)步的一大基石。

3 誤差的概念

3.1 誤差概念的三個層次

A 誤差的物理意義。 誤差是測得值與被測量真值（準(zhǔn)確值）之差。這對理解什么是誤差很重要，但由于被測量的準(zhǔn)確值在通常情況下是不知道的，故不能直接按定義確定誤差，而要通過標(biāo)準(zhǔn)，間接而又符合定義地確定誤差。

誤差一語有雙重含義，通常誤差分析指誤差元，測量儀器誤差指誤差范圍。誤差范圍由誤差元構(gòu)成

B 誤差實(shí)驗(yàn)值的測定。方法之一是用高一等級的標(biāo)準(zhǔn)測量儀器測同一被測量，得到相對準(zhǔn)確值，測得值與相對準(zhǔn)確值之差為誤差實(shí)驗(yàn)值。方法之二，依據(jù)等量代換原理，用被檢儀器測量 上一級 標(biāo)準(zhǔn)器，測得值與標(biāo)準(zhǔn)器標(biāo)稱值之差是誤差實(shí)驗(yàn)值。

C 誤差計(jì)算。按誤差方程，從誤差實(shí)驗(yàn)值計(jì)算誤差。（見《新概念測量計(jì)量學(xué)》第三章。）

三百年來，是按A、B來理解并計(jì)算誤差的，是基本正確的，但比較粗（略小。有了誤差方程，計(jì)算就精確了。

3.2 誤差工作的三種類型

A 誤差的分析、測量和確定。這是測量儀器研制者、制造廠的事。創(chuàng)造或選取測量方案，選用合適的標(biāo)準(zhǔn)，制造相應(yīng)的比較器，對其進(jìn)行誤差分析，逐項(xiàng)進(jìn)行誤差分析，測量誤差，給出極限誤差，顧及各種可能情況，給出誤差范圍即準(zhǔn)確度指標(biāo)。新產(chǎn)品要經(jīng)過鑒定會評議，并應(yīng)得到計(jì)量部門的批準(zhǔn)。準(zhǔn)確度要以產(chǎn)品規(guī)格的形式寫入產(chǎn)品說明書，它是廠家向用戶的保證書。

B 誤差指標(biāo)的檢驗(yàn)。測量儀器必須依計(jì)量法進(jìn)行檢定，一般以一年為周期。檢定是對誤差進(jìn)行測定，但測量的不是誤差范圍，而是判別誤差是否在誤差范圍指標(biāo)內(nèi)，因此不能以檢定結(jié)果作為測量儀器的指標(biāo)。檢定由計(jì)量部門進(jìn)行，開具檢定證書，有法定的權(quán)利與義務(wù)。檢定由國家授權(quán)。

C 誤差指標(biāo)的應(yīng)用。使用者根據(jù)需要按誤差指標(biāo)選用儀器。要正確使用儀器，注意可能引入的附加誤差和環(huán)境影響。要按時送檢。至于測量儀器的固有誤差指標(biāo)，由生產(chǎn)廠與計(jì)量部門負(fù)責(zé)，測量者不必一般也不可能敲定誤差。

3 誤差分析的三個步驟

A 建立測量方程（見《新概念測量計(jì)量學(xué)》第2章。）

要點(diǎn)：寫出所選測量方案的物理公式；將物理公式中各量標(biāo)記測得值（加腳標(biāo)m）、標(biāo)稱值（加腳標(biāo)o）,寫出計(jì)值公式；聯(lián)合計(jì)值公式與物理公式（相除或相減），即得測量方程，解得測得值函數(shù)。（以前直接用物理公式分析，誤差值有正負(fù)號問題，而誤差范圍計(jì)算是相同的。）

B 誤差分析。對測得值函數(shù)進(jìn)行微分或小量計(jì)算，得到偏差表達(dá)式。

C 誤差合成。逐項(xiàng)測量系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差，合成極限誤差（各系統(tǒng)誤差相加得系統(tǒng)誤差范圍，各隨機(jī)誤差均方合成為隨機(jī)誤差范圍。系統(tǒng)誤差范圍加隨機(jī)誤差范圍得綜合誤差范圍）再顧及使用條件下的極端情況，給出總誤差范圍。總誤差范圍稱準(zhǔn)確度。

經(jīng)典誤差理論基本是正確的，應(yīng)用是成功的。三百多年的近代科學(xué)技術(shù)發(fā)展，近代工業(yè)的成就，證明了這一點(diǎn)。但有兩點(diǎn)不足。出發(fā)點(diǎn)的邏輯和歸宿點(diǎn)的計(jì)算。本人的“新概念測量計(jì)量學(xué)”的第2章“測量方程的新概念”、第3章“誤差方程的新概念”，彌補(bǔ)了這些。

不確定度論一出世，為占據(jù)測量計(jì)量領(lǐng)域，首先否定真值，隨即對誤差概念進(jìn)行誣陷。說：誤差等于測得值減真值，真值不可知，誤差不可求。近二十年來，隨著真值被貶，誤差概念蒙冤多時了。這是一次歷史性的誤解，一場世界性的冤案，該給誤差概念平反了。

不確定度論對誤差理論的指摘，實(shí)際是個佯謬。原來任何可用的測量儀器都是經(jīng)過制造時的定標(biāo)和檢驗(yàn)與計(jì)量部門的檢定的，測量儀器的誤差范圍是已知的，使用者按需要的準(zhǔn)確度選用測量儀器，本已知道誤差范圍，還用得著去進(jìn)行“測得值減真值”的操作嗎？一個小學(xué)生的幼稚問題，竟進(jìn)了測量科學(xué)的殿堂！

筆者堅(jiān)定地反對不確定度論，第一個理由就是不確定度論違背準(zhǔn)確性法則。

我國時頻界，頂著推行不確定度的壓力，一直用準(zhǔn)確度，并得到國家的批準(zhǔn)，參見JJF1180-2007。佩服主起草人馬鳳鳴先生，謝謝批準(zhǔn)這一法規(guī)的計(jì)量司領(lǐng)導(dǎo)。時頻計(jì)量界舉著準(zhǔn)確度的旗幟，整個計(jì)量界都要舉起準(zhǔn)確度這面旗幟。

令人奇怪的是不久前的一件事。今年4月份，網(wǎng)上竟有一份公報，是美國NIST(相當(dāng)國家計(jì)量院)宣布其最新原子頻標(biāo)的指標(biāo)。

NIST-F2 is a caesium fountain atomic clock .The clock will replace NIST-F1, a caesium fountain atomic clock used since 1999. NIST-F1 has a fractional inaccuracy of less than δf/f < 5  × 10?16, the planned performance of NIST-F2 is δf/f < 1 × 10?16.（13 April 2011）

2011年4月13日消息：NIST-F2銫噴泉原子鐘將代替從1999年開始應(yīng)用的NIST-F1銫噴泉原子鐘。NIST-F1的相對不準(zhǔn)確度為δf/f < 5× 10^?16,而NIST-F2的設(shè)計(jì)指標(biāo)是δf/f < 1 × 10^?16。

請看，美國的最高標(biāo)準(zhǔn)，指標(biāo)是inaccuracy（不準(zhǔn)確度）。美國的NIST是不確定度論的提出者，宣傳推廣者，一再聲稱不許用不準(zhǔn)確度。到了2011年4月，竟公然用不準(zhǔn)確度（對應(yīng)的褒義詞是準(zhǔn)確度）。看來，準(zhǔn)確性這一法則可也厲害。測量計(jì)量，繞來繞去還得講準(zhǔn)確性，不講說不清啊！

提出不確定度論的GUM,一再說明，不確定度與真值無關(guān)，不確定度與誤差無關(guān)。但事實(shí)上，離開真值的概念，離開測得值與真值的差距誤差，是談不清測量計(jì)量問題的。彎子繞了20年，到2008年的VIM第三版，包含區(qū)間條款，又定義為包含真值的區(qū)間。不確定度論再繞舌頭，真值的概念、準(zhǔn)確性的概念終究是繞不開的。真值是客觀存在，否定不了；準(zhǔn)確性是測量計(jì)量的第一法則，違反不得。

          分類法則 兩類測量的新概念-測量計(jì)量學(xué)綱要（2）

                                                             史錦順   

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計(jì)量測量學(xué)研究的對象是量。量分常量與變量，因此，測量也應(yīng)分成常量測量與變量測量。

經(jīng)典測量學(xué)的核心概念是真值。只有常量才有唯一的真值，因此經(jīng)典測量學(xué)是常量測量學(xué)。從歷史上看，先認(rèn)識常量，處理常量問題，這是符合人類認(rèn)識的發(fā)展規(guī)律的。遇有變量問題，可先當(dāng)常量，測量后看量的變化，再處理量的變化問題。顯然，這只能處理緩慢的變量。20世紀(jì)60年代出現(xiàn)的阿侖方差理論是處理變量問題的，這可看做是變量測量的登場。現(xiàn)代測量，有大量快變量，必須引入變量測量的概念。

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1 分類法則

量分常量與變量，測量也據(jù)此劃分為常量測量與變量測量。

對常量的測量稱基礎(chǔ)測量。基礎(chǔ)測量（常量測量）又稱經(jīng)典測量。對變量（準(zhǔn)變量）的測量稱統(tǒng)計(jì)測量(變量測量)。

基礎(chǔ)測量處理的問題是這樣的：客觀物理量值不變，測量儀器有誤差。相應(yīng)的理論是誤差理論。統(tǒng)計(jì)測量處理的問題是另一種情況：客觀物理量的大小以一定的概率出現(xiàn)，而測量儀器無誤差，相應(yīng)的理論是統(tǒng)計(jì)理論。

所謂物理量值不變或儀器無誤差，都是相對的，不是絕對的“不變”或“無誤差”。

設(shè)物理量值的相對變化量為Δ(物)，測量儀器的相對誤差為Δ(測)，若

         Δ(物) ＜＜ Δ(測)                                  (2.1)

即物理量值的相對變化遠(yuǎn)小于測量儀器的相對誤差，這種情況稱基礎(chǔ)測量（經(jīng)典測量），適用理論是經(jīng)典測量學(xué)。

         Δ(測)　＜＜　Δ(物)                                 (2.2)

即測量儀器的相對誤差（包括系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差）遠(yuǎn)小于物理量的相對變化，這類測量稱統(tǒng)計(jì)測量。這種場合測量誤差可忽略。測得值的變化，反映被測量值本身的變化。
   （2.1）(2.2)兩式，是劃分兩類測量的標(biāo)準(zhǔn)。

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2 測量領(lǐng)域的兩類測量

第一類  基礎(chǔ)測量

基礎(chǔ)測量是被測量的變化遠(yuǎn)小于測量儀器的誤差的測量。被測量是常量，存在唯一真值。測量得到多個測得值，存在期望值，貝塞爾公式成立；用測得值的平均值代表真值，用平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差表征，取3σ(平)；各隨機(jī)誤差范圍均方合成后加系統(tǒng)誤差范圍為總誤差范圍（簡稱誤差范圍）；誤差范圍稱為準(zhǔn)確度。

第二類  統(tǒng)計(jì)測量

測得到的多個值，每個值都是被測量的實(shí)際值；存在期望值，用單個值的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ表征；有標(biāo)稱值（目標(biāo)值），講究準(zhǔn)確度。

統(tǒng)計(jì)測量有一個分支是發(fā)散型統(tǒng)計(jì)測量。測得到的多個值，每個值都是實(shí)際值；存在發(fā)散困難，無數(shù)學(xué)期望，貝塞爾公式不成立；有標(biāo)稱值（目標(biāo)值），講究準(zhǔn)確度。要用阿侖方差（或其改進(jìn)型自偏差）。

兩類測量的表征量的重要區(qū)別：基礎(chǔ)測量用平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差（稱標(biāo)準(zhǔn)誤差），統(tǒng)計(jì)測量用單個值的標(biāo)準(zhǔn)偏差。二者差根號N倍。

基礎(chǔ)測量測量的目的是獲得接近真值的測得值，講究的是測量誤差；統(tǒng)計(jì)測量獲得的每個值都是實(shí)際值，著眼點(diǎn)是獲得量值及其變化規(guī)律，包括隨機(jī)偏差和變化率。

3 兩類測量思想在計(jì)量中的應(yīng)用

計(jì)量是測量的監(jiān)督和保證，計(jì)量是一種測量，但它是一種特殊的測量。計(jì)量的對象是測量儀器（或低等級標(biāo)準(zhǔn)），而不是被測量，因此，前述兩類測量劃分標(biāo)準(zhǔn)要有所變化。

3.1 在測量與計(jì)量中，如何區(qū)分兩類測量

在測量中，兩類測量的區(qū)分條件是：

設(shè)被測量的變化量是Δ(物)，測量儀器的誤差范圍是Δ(測)，

         Δ(物) << Δ(測)--------基礎(chǔ)測量（常量測量）

         Δ(測) << Δ(物)--------統(tǒng)計(jì)測量（變量測量）

    上述兩類測量的區(qū)分條件是對狹義的測量講的。對計(jì)量，該深入一步考慮。

設(shè)對象的指標(biāo)為Δ(客)，認(rèn)識手段的誤差范圍是Δ(識)，

        Δ(客) << Δ(識)--------基礎(chǔ)測量

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3.2 計(jì)量都是統(tǒng)計(jì)測量

細(xì)想一想我們的計(jì)量，所用手段的指標(biāo)必須比對象的指標(biāo)高，即Δ(識)必須遠(yuǎn)小于Δ(客)，因此，計(jì)量都是統(tǒng)計(jì)測量。

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3.3 計(jì)量不能進(jìn)行兩項(xiàng)操作

測量計(jì)量學(xué)中，有兩項(xiàng)重要操作，第一是西格瑪除以根號N，稱第一操作。第一操作的本質(zhì)是測量手段造成數(shù)據(jù)分散，除以根號N，以減小手段的影響。剔除離群數(shù)據(jù)稱第二操作。第二操作的本質(zhì)是手段（測量操作及所用工具）有錯誤，有錯該糾正，即把離群數(shù)舍棄。

計(jì)量時，同測量相比，手段與對象大不相同。通常我們稱的測量儀器，既可能是手段，也可能是對象。而計(jì)量所用的計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)，既可能是手段，也可能是對象。

    判斷   統(tǒng)計(jì)測量不能進(jìn)行兩項(xiàng)操作。計(jì)量是統(tǒng)計(jì)測量，計(jì)量不能進(jìn)行兩項(xiàng)操作。

    這句話，語出驚人。初看，似乎是違反常規(guī)的怪論；細(xì)想，頗有道理。試看：

1 一臺原子頻標(biāo)，其量值的分散性表征量是1σ。如果允許除以根號N的話，制作方總可以測量10000次，而使其分散性的表征量降低至σ的1/100。這樣做既不必要，也不對。表明分散性的西格瑪是其本質(zhì)特征，不得除以根號N。

2分散性特定的一臺標(biāo)準(zhǔn)，倘允許除以根號N，甲測10次，乙測100次，丙測1000次，丁測10000次，各除以根號N，則表征量各異，且差距特大。這就亂了。而單值的西格瑪是其穩(wěn)定的單一的表達(dá)，表明其固有特性。

3 據(jù)我所知，已有的國家基準(zhǔn)，都按σ表達(dá)。

4 測量儀器的分散性只能是σ，允許除以根號N，N無法取數(shù)。

5 測量儀器可能有數(shù)據(jù)跳動的毛病，倘允許舍棄異常數(shù)據(jù)，則掩蓋了毛病。

6 各項(xiàng)計(jì)量類別中，時間頻率的特點(diǎn)是準(zhǔn)確性最高、自動化程度最高、國際共用性最高。頻率計(jì)量的方向代表了整個計(jì)量事業(yè)的發(fā)展方向。而頻率計(jì)量不進(jìn)行這兩項(xiàng)操作。

3.3 不確定度理論不能用于計(jì)量

計(jì)量不能對西格瑪除以根號N，而不確定度的定義點(diǎn)是西格瑪除以根號N,由是，不確定度理論不能用于計(jì)量。

4 測量分類法則與測量理論

在經(jīng)典測量學(xué)中，盡管還沒有測量分類的概念與提法，但經(jīng)典測量學(xué)，不違規(guī)、不越界，因?yàn)閳?jiān)持以真值概念為核心，因此也就堅(jiān)守了常量測量的范疇和立場。阿侖方差講穩(wěn)定度測量，就把自己定位在變量測量的范疇內(nèi)。阿侖方差得到西格瑪，不除以根號N，已深刻地認(rèn)識到，自己表達(dá)的是變量的統(tǒng)計(jì)問題，因此阿侖方差對自己類別的定位是正確的，表達(dá)方法（單值西格瑪）也是正確的。只是錯了個因子（見《新概念測量計(jì)量學(xué)》第4章）。新概念測量計(jì)量學(xué)已明確分類是測量計(jì)量一大法則，明確提出兩類測量的新概念，使一些重要的測量計(jì)量問題的處理，有了明確的規(guī)則（最重要的是該不該進(jìn)行除以根號N操作和能否舍棄離群數(shù)據(jù)）。

不確定度理論沒有找到自己是屬于那類測量的定位。在不確定度的理論體系中，以西格瑪除以根號N為定義點(diǎn)，這強(qiáng)調(diào)了常量測量，而又硬往變量測量上用，形成兩類測量的混淆，使得不確定度的表達(dá)結(jié)果是一筆混沌帳。（如GUM溫度測量與樣板評定的溫度測量。）

         區(qū)分量值法則 測量方程的新概念-測量計(jì)量學(xué)綱要（3）

                                                       史錦順  

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測量計(jì)量學(xué)的基本理論是誤差理論。測量計(jì)量人員的基本功夫是誤差分析。計(jì)量基準(zhǔn)的建立，計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的研制，測量儀器的發(fā)明、研制，測量結(jié)果的準(zhǔn)確度確定，都要靠誤差理論與誤差分析技巧。筆者認(rèn)為，誤差分析是測量計(jì)量行業(yè)的真本事。測量儀器與計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的改進(jìn)，乃至重大發(fā)明，都源于誤差分析。誤差分析是經(jīng)典測量學(xué)的主要內(nèi)容，積累了大量可借鑒的資料，是座寶庫。看看前人是怎樣做的，大量的發(fā)明、革新是怎樣產(chǎn)生的，對肯學(xué)者有潛移默化的功效。筆者對誤差理論的貢獻(xiàn)，是改進(jìn)誤差分析出發(fā)點(diǎn)的邏輯思路(本節(jié))和改進(jìn)誤差范圍評定的歸宿處理，即誤差范圍實(shí)驗(yàn)值到真誤差范圍值的計(jì)算（下節(jié)）。

測量學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，應(yīng)用十分廣泛。許多項(xiàng)目，成績卓著，如原子頻標(biāo)，已有數(shù)人獲得諾貝爾獎。然而，作為測量學(xué)基礎(chǔ)的、又是最常用的測量方程，卻一直處于混淆狀態(tài)。現(xiàn)行分析方法的主要問題是：照搬物理公式，未反映出測量與計(jì)量的特點(diǎn)；變量與常量混淆；分析結(jié)果常出現(xiàn)正負(fù)號問題。

節(jié)依據(jù)測量與計(jì)量的特點(diǎn)，提出區(qū)分量值法則。貫徹這個法則，給出測量方程的一般表達(dá)形式。以新測量方程為基礎(chǔ)，形成兩套分析誤差的規(guī)范化程序：

  （1）微分法：比較計(jì)值公式與物理公式，建立測量方程；在測得值函數(shù)中，分辨變量、常量；對變量求微分；進(jìn)而求偏差、相對差。

  （2）小量法：比較計(jì)值公式與物理公式，建立測量方程，寫出測得值函數(shù)的相對值形式；分辨變量、常量，將變量展成常量加小量；近似計(jì)算，求得相對差。

1 區(qū)分量值法則

   測量是人們定量認(rèn)識事物的一種手段。測量的具體操作是將待測量與已知量相比較，以確定待測量與選定單位的比值。這個比值與所選單位結(jié)合起來，構(gòu)成測得值。

理學(xué)研究物理量的規(guī)律，物理公式表達(dá)物理量間的關(guān)系。物理公式超脫測量誤差。測量學(xué)的任務(wù)在于研究測得值。研究如何取得測得值（測量方法），如何使測得值接近實(shí)際值（精度設(shè)計(jì)），給出測得值與實(shí)際值偏差程度（誤差分析）。要研究測得值的規(guī)律，就必須將測得值同實(shí)際值區(qū)分開。還要使測量中所用量的標(biāo)稱值同實(shí)際值相區(qū)分；使認(rèn)定值同實(shí)際值相區(qū)分。

  區(qū)分量值是本人提出的關(guān)于測量理論的一條基本法則。貫徹這一法則，各種測量公式便從物理公式的原形中脫胎、獨(dú)立出來，成為測量的專用公式，稱為計(jì)值公式。物理公式是客觀規(guī)律，計(jì)值公式是人們對物理公式的運(yùn)用，二者結(jié)合起來，便包容了人們的認(rèn)識（測量）同客觀的關(guān)系。誤差分析，就是分析這種關(guān)系。

  測量理論研究的核心內(nèi)容是測得值與被測量的關(guān)系。聯(lián)立計(jì)值公式與物理公式，就可建立測量方程，可得出測得值函數(shù)。分辨常量、變量，求微分、差分，于是便順理成章地形成誤差分析的程序。這樣做，理順了誤差分析的邏輯關(guān)系，使測量理論立足于明晰的物理概念與嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)之上。

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2 建立測量方程的思路

經(jīng)典測量學(xué)中的誤差分析，直接對物理公式作微分。我1963年開始接觸誤差理論，對把物理公式直接進(jìn)行微分這種作法，總覺得怪怪的，不順當(dāng)；后來接觸的多了，國內(nèi)、國際，許多名人都這樣作，久而久之，也就習(xí)以為常了。

在計(jì)量院時頻處有個說法叫做“頻率與時間成反比”，時間量綱是秒，而頻率的量綱是秒分之一，似乎說時頻反比有道理。細(xì)一想，恰恰相反，時頻是正比關(guān)系。我73年后在電子27所參加小銫鐘的研制工作。時而講些時頻正比的話。想不到一位P先生暗記在心，一個組里工作，也不和我理論，尋機(jī)找茬。1977年北大搞教改調(diào)研，我所在的二室全體人員與幾位北大教師座談。座談的中心話題是征求對教改的意見。P先生可算找到了丑化我的機(jī)會，邊譏笑、邊挖苦地指摘我的時頻正比觀,主要意思是說北大畢業(yè)生就是怪。我站起來，看看幾位北大教師。有人低者頭，有人在想，而王義遒先生慢慢地?fù)u著頭，似乎在說：違反常理，竟惹麻煩。我自信能表達(dá)清楚、能說服母校的教師們。便慢條斯理地講起來。

我說：講兩個量是什么關(guān)系，總是有前提條件的。一般來說，時間和頻率是沒有關(guān)系的，時間和各種原子能級躍遷的頻率，都是客觀存在，它們間沒有關(guān)系。我們搞銫鐘，就是利用銫躍遷頻率不變這一點(diǎn)。這是時頻關(guān)系的第一種：時頻沒關(guān)系。

時頻關(guān)系的第二種是反比關(guān)系。振蕩信號的頻率定義是單位時間1秒的時段中的振蕩次數(shù)。周期是頻率的倒數(shù)。頻率乘時間等于振蕩次數(shù)。當(dāng)振蕩次數(shù)一定時，振蕩頻率與完成這些次振蕩所需的時間成反比。

時頻關(guān)系的第三種，是計(jì)時量與鐘頻率的關(guān)系。同樣的客觀時間，甲鐘頻率高了，則計(jì)時量大，即鐘快了(超前)；而乙種頻率低，則計(jì)時量小，即鐘慢了（遲后）。因此在考察計(jì)時時，時間的度量結(jié)果即人們認(rèn)識到的時間，與鐘頻率成正比。

時頻關(guān)系的第四種，是測量頻率時測得到頻率值同取樣時間的關(guān)系。頻率測量，最典型的方法是用計(jì)數(shù)式頻率計(jì)（計(jì)數(shù)器）。計(jì)數(shù)器，設(shè)置一標(biāo)準(zhǔn)時間T，稱閘門時間（例如1秒）,在此時段內(nèi)數(shù)出進(jìn)入的脈沖數(shù)。這時頻率計(jì)測得的頻率值同實(shí)際采樣時間是什么關(guān)系呢，是正比關(guān)系。閘門時間大了，則進(jìn)入脈沖多，頻率測得值大。因此頻率測得值同閘門實(shí)際時間成正比。

    由上，在人們最關(guān)心、最常用的計(jì)時與測頻的領(lǐng)域內(nèi)，時頻是正比關(guān)系。

我一邊說一邊觀察，王義遒先生開始是搖頭，過一會兒變成了點(diǎn)頭。我一講完，王先生立刻說：“史錦順的觀點(diǎn)是正確的，下面不再討論學(xué)術(shù)問題。”晚上，我到招待所去看望。王先生說“今天突然有人說你有異說，我開始還以為你不知天高地厚發(fā)怪論。聽你一說，你竟是闡述了一條規(guī)律。我一邊開會一邊想，你的理論可以推廣。比如一根鋼棍用尺量，尺大則量出的長度小，尺小則量出的長度大，這里面有測量的普遍規(guī)律”。

王先生的話，并沒引起我的特別注意，我搞我的頻率計(jì)量，不懂其他行業(yè)的事。一放就是二十年。到我退休前夕，寫點(diǎn)總結(jié)，總想理順誤差分析的邏輯順序，這才逐漸形成區(qū)分量值規(guī)則與建立測量方程的概念。第一次作學(xué)術(shù)報告，是在我退休之后了。而我三十年間對時頻關(guān)系的探求，則是對區(qū)分量法則認(rèn)識的基礎(chǔ)。

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建立測量方程的主要思路如下。

測量的根基是物理公式。物理公式的量都是客觀的、準(zhǔn)確的，都是真值，簡稱實(shí)際值。物理公式是實(shí)際值的公式。測量用的公式是根據(jù)物理公式而寫成的計(jì)值公式，計(jì)值公式雖然有物理公式的形式，但其中的量已不同于物理公式中的量。計(jì)值公式中的量，有些是測得值，有些是標(biāo)稱值。

    建立測量方程最重要的一步是將計(jì)值公式與物理公式結(jié)合起來，形成測量方程。測量方程包含了測得值，實(shí)際值、標(biāo)稱值，于是可以進(jìn)行其間的比較。在測量方程中區(qū)分出常量與變量，對變量進(jìn)行微分，這便使誤差分析的邏輯順暢了。

63年剛接觸誤差分析時感到的不順，到97年才弄明白，當(dāng)初的感覺是正確的。有了測量方程，區(qū)分過常量變量，誤差分析的微分操作，就嚴(yán)格地符合邏輯了。

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3 測量方程的一般形式

   《新概念測量計(jì)量學(xué)》中第二章講測量方程，是具體地、一個一個地舉例，并沒有一個一般的形式。雖然不影響測量方程的應(yīng)用，但總覺得不夠完整，現(xiàn)將測量方程的一般形式敘述如下。

測量方程就是把物理公式與計(jì)值公式聯(lián)立起來，組成一個整體。

建立測量方程的核心思想是區(qū)分量值的概念。物理公式中的量都是客觀的量，準(zhǔn)確的量，物理公式本身是超脫測量誤差的，從物理公式本身難尋誤差的蹤跡。測量中用以計(jì)算的根據(jù)是物理公式，但所用的量，與物理公式中的量是有區(qū)別的，把這個區(qū)別標(biāo)示出來，便是計(jì)值公式。常用的區(qū)分標(biāo)志有兩種，一是表示是測量得出的值，可用m標(biāo)示，二是認(rèn)定的的標(biāo)準(zhǔn)值或標(biāo)稱值，用o來表示。把物理公式和計(jì)值公式聯(lián)立起來，就得出測量方程。

被測量Y由諸量X決定，Y是函數(shù)，諸X是構(gòu)成Y的來源量。

在測量方程中，各量成對。被測量的測得值Ym與被測量Y是一對。被測量Y是客觀存在，是常量，而被測量的測得值Ym是變量。決定Y的各來源量X，各有一個Xm或Xo與其對應(yīng)。如Xi與Xim對應(yīng)，則Xi是常量，測得值Xim是變量；若Xj與Xjo對應(yīng)，則Xj是變量，而Xjo是常量。

設(shè)物理公式為：

           Y = f(X1,X2,……XN)                                 (3.1)

    計(jì)值公式為：

式中斜杠“/”表示“或”。m表示測得值,o表示標(biāo)稱值。m/o表示或者是測得值m,或者是標(biāo)稱值o。例如X1m/o表示是X1m或者是X1o.

聯(lián)立（3.1）（3.2），二者相除，得：

           Ym = [f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o)/ f(X1,X2,……XN)]* Y         (3.3)

聯(lián)立（3.1）（3.2），二者相減，得：

(3.3)、(3.4)都是測量方程，依應(yīng)用方便而選取。

4 例 頻率計(jì)的測量方程

計(jì)數(shù)式頻率計(jì)測頻的物理公式為：

f是頻率的實(shí)際值，N是振蕩次數(shù)的準(zhǔn)確值，T是閘門實(shí)際時間。

測頻的計(jì)值公式為

fm是頻率的測得值，Nm是振蕩次數(shù)的測得值，To是閘門的標(biāo)稱時間。

    聯(lián)立物理公式（3.5）和計(jì)值公式（3.6）。

    計(jì)值公式（3.6）被物理公式（3.5）除，得測量方程為：

對測量方程（3.7），進(jìn)行量值分析,測得值fm、記得脈沖數(shù)Nm、閘門實(shí)際時間T是變量；而頻率實(shí)際值f、實(shí)際脈沖數(shù)N、標(biāo)稱閘門時間To是常量。誤差分析第一種方法是對各變量作微分；第二種方法是把變量展成常量加小增量。

這樣的分析，邏輯順暢了。

下面以小量法分析。表fm=f+Δfm;
    Nm=N+ΔNm ; T=To+ΔT, 代入（3.7）式

        (f+Δfm)/f = （N+ΔNm）(To+ΔT)/NTo

         1+δfm =1+δNm +δT

則有

         δfm =δNm +δT

(詳見《新概念測量計(jì)量學(xué)》第2章)

5 區(qū)分量值法則的兩項(xiàng)成果

區(qū)分量值法則的具體應(yīng)用，是筆者方便地建立了計(jì)時界追求多年的計(jì)時方程。（《新概念測量計(jì)量學(xué)》第7章。）另一項(xiàng)是糾正教科書的錯誤，得到宇航測速誤差的正確公式（《新概念測量計(jì)量學(xué)》第9章）

    說明：測量方程是測量計(jì)量這門學(xué)問的大事。不確定度論也注意到了這一點(diǎn)。NIST重點(diǎn)文章“測量不確定度表征精粹”一文，“輸入量”、“輸出量”比劃一陣，由于缺乏區(qū)分量值的觀念，竟沒能給出測量方程。而給出的實(shí)例，是個間接測量的量值關(guān)系式，而不是直接測量的構(gòu)成式。不確定度理論注意到了測量方程，卻沒能得到構(gòu)成直接測量基礎(chǔ)的測量方程。

真值是什么？真值就是客觀存在的值，就是準(zhǔn)確值。真值的“真”是對應(yīng)測得值而說的，真值概念的核心是沒有誤差。在經(jīng)典測量學(xué)范疇中，真值是常量，是唯一值；因?yàn)榻?jīng)典測量學(xué)是常量測量學(xué)，研究的對象是常量。這是經(jīng)典測量學(xué)的局限。在當(dāng)代，再固守經(jīng)典測量學(xué)那“不變”“唯一”的框框，就把自己封死了。我們遇到的大量測量問題，是變量測量問題；有時本是常量測量問題，卻也包含變量的因素在里邊。總之，我們的概念要適應(yīng)現(xiàn)實(shí)。概念畢竟是客觀的反映。存在是第一位的。客觀有什么就要反映什么。固守老概念的某一點(diǎn)，就把自己的認(rèn)識封死，還怎么發(fā)展理論？

   真值可以是常量，真值也可以是變量。變量在變，它的每一個值都是真值。對變量來說，因?yàn)槊總€值都是真值，因此也就沒有再稱真值的必要，一般稱為量值。這個論斷有什么錯？

回到頻率計(jì)上來。物理關(guān)系式f=N/T,三個量都是客觀實(shí)際值，都是真值，這有什么錯？你開始對“物理公式的值是真值”很反感，但沒多久就說物理公式表達(dá)的是真值之間的關(guān)系，如果物理公式中的量不是真值，物理公式又怎樣表達(dá)真值間的關(guān)系？你反對我的觀點(diǎn)，卻又不得不重復(fù)我的論點(diǎn)，你反得什么勁？

我們測頻用這個公式，計(jì)算時T用的是閘門時間標(biāo)稱值To（理想情況T等于To），可惜每個頻率計(jì)的晶振不同，大家都標(biāo)明是1秒,這是標(biāo)稱值；可實(shí)現(xiàn)的實(shí)際的閘門時間T,是接近而不等于1秒。各頻率計(jì)各不相同，對我們研究的問題來說，當(dāng)然是變量，這是講因制造誤差的存在，各頻率計(jì)的閘門時間是不同的，是變量。這是第一層意思；第二層意思任何頻率計(jì)的晶振的頻率都是隨時間變化的，也就是說閘門時間T是隨時間變化的，閘門時間是變量。

A 閘門時間是客觀存在的值，各個是真值；

B 閘門時間是變量。

以上兩個判斷，你能否定哪一個？為什么不能說變量是真值？

4 由于兩類測量的存在，由于量有常量與變量，在測量方程中的常量變量判別中，凡測得值與真值成對的，則真值是標(biāo)準(zhǔn)是常量，測得值是變量；但遇有屬于統(tǒng)計(jì)測量的概念，例如量值與標(biāo)稱值，二者都是真值，標(biāo)稱值是當(dāng)量值等于所標(biāo)定的值的定義值時的量值，它是高于任何其他量值的（它是人們的期望值），而且它是唯一的，因此在分析誤差時，當(dāng)然應(yīng)該把標(biāo)稱值視為標(biāo)準(zhǔn)，視為常量，而把量值視為變量。須知，分辨測量的常量變量，是為誤差分析打基礎(chǔ)，微分必須對變量進(jìn)行。對常量，一微分就等于零，誤差分析無法進(jìn)行下去。過去的作法是對物理公式直接求微分，這相當(dāng)于把物理公式的所有量，都看成變量，其結(jié)果是出現(xiàn)某些量相對差的正負(fù)號問題，也就是測得值與該量的正反比的錯誤認(rèn)識。你反對我的測量公式的思路，是不是認(rèn)為原來的誤差分析方法是符合邏輯的呢？一個新東西出來，要看看它與以往有什么不同，是不是好用。什么都不看，只是一味死套自己心目中那點(diǎn)僵化的邏輯，能做出什么像樣的判別？你一見到我的誤差方程，不僅反對，還說出“現(xiàn)有誤差方程比你的好”這種不著邊的話。我還以為真有比我的誤差方程好的誤差方程吶，原來先生竟拿誤差的定義：“誤差等于測得值減真值”這個基本定義當(dāng)做誤差方程來和用來表達(dá)誤差實(shí)驗(yàn)值與真誤差關(guān)系的史錦順誤差方程來比較，居然還能比較出高低來，不知先生的邏輯哪里去了。用途不同的公式，怎么比？修鐵路總是要用鋼材的，有什么人會說鋼材比鐵路好？這種“鋼材比鐵路好”式的謬論，也居然成了先生的論點(diǎn)，還振振有詞地大喊大叫，奉勸先生收斂點(diǎn)吧，網(wǎng)上的東西是會有很多人看的，莫以強(qiáng)詞奪理為榮。

5 由于先生莫名其妙的反感情緒，耽誤了先生對測量方程的理解。我可以不客氣地說，只要你有個平常的心態(tài)，測量方程這點(diǎn)東西是很容易學(xué)通的。我在書中已經(jīng)舉了不少例子，你該看看，測量方程是否可用，是否用起來方便，空說幾句這也不成立那也不成立，是沒用的。你那幾句叫喊就能阻擋測量方程的應(yīng)用？你低估了廣大讀者的識別水平。我可以告訴你實(shí)底：測量方程早已不是紙上的東西。一個應(yīng)用，勝過一百個似是而非的評論。這種應(yīng)用，影響最大的是兩項(xiàng)，一是計(jì)時方程的得出，二是宇航測速誤差公式的嚴(yán)格化。至于具體設(shè)備，激光測厚儀、異值頻率比對器都是用測量方程分析設(shè)計(jì)的。研制、測量、檢驗(yàn)、計(jì)量，是過了各道關(guān)口的。幾句不著邊的否定言詞，焉能掩蓋“測量方程”的光彩！

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       溯源性法則 誤差方程的新概念-測量計(jì)量學(xué)綱要（4）   

                                                                        史錦順  

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    上節(jié)講誤差分析的出發(fā)點(diǎn)，本節(jié)講誤差范圍評估的歸宿處：從誤差范圍實(shí)驗(yàn)值到真誤差范圍的計(jì)算。

    測量計(jì)量學(xué)的特點(diǎn)是它的高度統(tǒng)一性與通用性。其原因是，一種量本質(zhì)上只有一個最高標(biāo)準(zhǔn)，各國有自己的計(jì)量基準(zhǔn)，但國際計(jì)量公約，使這些基準(zhǔn)保持一致。計(jì)量講究溯源性，就是一切測量儀器、一切標(biāo)準(zhǔn)，在量值上有共同的源。全世界的稱重的秤，數(shù)以千萬計(jì)，但量值都是質(zhì)量國際原器傳下來的；全世界的計(jì)時鐘表，約有數(shù)億，但都按國際原子時對準(zhǔn)。

溯源性是測量計(jì)量的一項(xiàng)基本法則。

誤差是測得值與真值的差距。測得值減真值是誤差元，誤差元構(gòu)成誤差范圍。人們通常所稱的“誤差”，指的是誤差范圍，誤差元只用于出發(fā)點(diǎn)的定義和對誤差概念物理意義的理解，測量計(jì)量中實(shí)用的是誤差范圍。

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1 經(jīng)典計(jì)量學(xué)的作法

    近代三百多年來世界計(jì)量業(yè)的作法，在我國，從秦始皇統(tǒng)一度量衡以來，我國計(jì)量行業(yè)的作法，就是以計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)稱值當(dāng)真值，來測量和確定測量儀器的誤差。

計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的誤差用上一級標(biāo)準(zhǔn)確定，并一級一級上溯至基準(zhǔn)。

這樣做，確定的誤差范圍有誤差。得到的是誤差范圍的實(shí)驗(yàn)值。誤差范圍的實(shí)驗(yàn)值比誤差范圍（稱其為真誤差范圍）略小。總的來說，這樣做，是可行的、實(shí)用的、也是正確的。這樣做的理論基礎(chǔ)是等量代換原理與微小誤差準(zhǔn)則。

誠然，這樣做是有缺欠的。估小了誤差范圍，是有風(fēng)險的。這是經(jīng)典誤差理論不足的地方。

筆者反對不確定度論，理由是它根本錯誤。不過本人認(rèn)為不確定度論能夠誕生、能夠傳播，正是誤差理論的不足為它提供了便利。假定三十年前有“誤差方程”，也許不需要像今天這樣費(fèi)口舌。

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2 誤差方程

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誤差定義為測得值與被測量真值之差，既通俗又確切。這是誤差的物理意義。然而用標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)稱值當(dāng)真值，實(shí)測的誤差值是誤差的實(shí)驗(yàn)值，怎樣從誤差的實(shí)驗(yàn)值算出誤差值（或叫真誤差值），這要靠“誤差方程”。(《新概念測量計(jì)量學(xué)》第3章)

2.1 誤差方程的推導(dǎo)

M表示測得值，Z表示真值。Z(N).表示N級標(biāo)準(zhǔn)的真值，M(N)為N級標(biāo)準(zhǔn)儀器的測得值。B(N)為N級標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)稱值。r表示誤差元，R表誤差范圍。

（1）檢驗(yàn)測量儀器誤差`，要用N級標(biāo)準(zhǔn)測量儀器或N級標(biāo)準(zhǔn)器。

A 用被檢測量儀器和N級標(biāo)準(zhǔn)測量儀器同測一量（其真值為Z），被檢測量儀器測得值為M，N級標(biāo)準(zhǔn)測量儀器測得值為M(N)。

            M – Z = M – M(N) + M(N) – Z

            r = r(實(shí)驗(yàn)) + R(N)

操作時，使差別最大；或綜合估計(jì)最大值，得誤差范圍。（下同。）

           R = R(實(shí)驗(yàn)) + R(N)                                                                                 （1）

B 用被檢測量儀器測量N級標(biāo)準(zhǔn)器，其標(biāo)稱值B(N)、真值Z(N)

           M – Z(N)= M – B(N) + B(N) – Z(N)

           R = R(實(shí)驗(yàn)) + R(N)                                                                                  （1）

（2） 檢驗(yàn)N級標(biāo)準(zhǔn)測量儀器的誤差或檢驗(yàn)N級標(biāo)準(zhǔn)器的誤差，要用N-1級標(biāo)準(zhǔn)測量儀器或N-1級標(biāo)準(zhǔn)器。

A 測同一量，N級標(biāo)準(zhǔn)測量儀器測得值為M(N)，N-1級測量儀器測得值為M(N-1)

           M(N) – Z = M(N) – M(N-1) + M(N-1) – Z

           R = R(N實(shí)驗(yàn)) + R(N-1)                                                                             （2）

B 用N級標(biāo)準(zhǔn)測量儀器測量N-1級標(biāo)準(zhǔn)器，其標(biāo)稱值B(N-1)、真值Z(N-1)

           M(N) – Z(N-1) = M(N) – B(N-1) + B(N-1) – Z(N-1)

           R(N) = R(N實(shí)驗(yàn)) + R(N-1)                                                                        （2）

C 測量N級標(biāo)準(zhǔn)器的誤差，要用N-1級標(biāo)準(zhǔn)測量儀器來測它

           B(N) – Z(N) = B(N) – M(N-1) + M(N-1) – Z(N)

           R(N) = R(N實(shí)驗(yàn)) + R(N-1)                                                                        （2）

（3）同理可知

                 R(N-1) = R(N-1實(shí)驗(yàn)) + R(N-2)                                               （3）

                 R(N-2) = R(N-2實(shí)驗(yàn)) + R(N-3)                                               （4）

         ……

                 R(2) = R(2實(shí)驗(yàn)) + R(1);                                                            （5）

                 R(1) = R(1實(shí)驗(yàn)) + R(0)                                                             （6）

R0是基準(zhǔn)誤差，由基準(zhǔn)給出。

以上各式逐一寫出，并用后式代替前式的最后一項(xiàng)，有

                 R = R(實(shí)驗(yàn)) + R(N)

                 R = R(實(shí)驗(yàn)) + R(N實(shí)驗(yàn)) + R(N-1)

                 R = R(實(shí)驗(yàn)) + R(N實(shí)驗(yàn)) + R(N-1實(shí)驗(yàn)) + R(N-2)

                 R = R(實(shí)驗(yàn)) + R(N實(shí)驗(yàn)) + R(N-1實(shí)驗(yàn)) + R(N-2實(shí)驗(yàn)) + R(N-3)

以下再代換掉R(N-3)……，最后成為

                 R = R(實(shí)驗(yàn)) + R(N實(shí)驗(yàn)) + R(N-1實(shí)驗(yàn)) + R(N-2實(shí)驗(yàn)) + ……

                        + R(2實(shí)驗(yàn)) + R(1實(shí)驗(yàn)) + R(0)

量值傳遞關(guān)系決定的級間誤差范圍之比值（上一級比下一級）為系數(shù)q，將以上各級誤差實(shí)驗(yàn)值表為R(N實(shí)驗(yàn))的倍數(shù)（^表乘方，*表相乘）

                 R = R(實(shí)驗(yàn)) + R(N實(shí)驗(yàn)) + qR(N實(shí)驗(yàn)) +q^2 *R(N實(shí)驗(yàn)) +……

                        + q^(N-2)*R(N實(shí)驗(yàn)) + q^(N-1)*R(N實(shí)驗(yàn)) +q^N *R(N實(shí)驗(yàn))

第2項(xiàng)以后把公因子R(N實(shí)驗(yàn))提出，成為首項(xiàng)為1，比值為q的N+1項(xiàng)的等比級數(shù)，

                 R = R(實(shí)驗(yàn)) + R(N實(shí)驗(yàn)) [ 1+ q + q^2 +……+ q^(N-2) + q^(N-1) +q^N ]

等比級數(shù)求和，略去q的高階項(xiàng)q^(N+1)。

測量儀器誤差應(yīng)納入系列（或優(yōu)于），即有R(N實(shí)驗(yàn))=qR(實(shí)驗(yàn))，代入得

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                R = R(實(shí)驗(yàn)) /(1-q)                                                                        (8)

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(7)(8)就是誤差方程。R(實(shí)驗(yàn))可測量，q為已知量，故可算出誤差范圍。

2.2 誤差方程計(jì)算的例

因子計(jì)算

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                     q                  1/10            1/5            1/4             1/3              1/2   

                 1/(1-q)             1.11            1.25          1.33           1.50            2.00

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值得注意的是誤差范圍實(shí)驗(yàn)值對誤差范圍（真誤差范圍）的相對差

                [R(實(shí)驗(yàn)) – R] / R =R(實(shí)驗(yàn)) / R – 1 = - q   

q為1/10, 用誤差的實(shí)驗(yàn)值代表誤差值，表達(dá)的相對差-10%，大致可以；q為1/3, 誤差的實(shí)驗(yàn)值相對差已達(dá)-33%，該認(rèn)真計(jì)算了。

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3 誤差方程的意義

推導(dǎo)中每步都用真值，但結(jié)果中不包含真值，實(shí)現(xiàn)了用標(biāo)準(zhǔn)值對真值的代換。

誤差方程完成的是上級標(biāo)準(zhǔn)值的功效到真值功效的過渡。

誤差方程實(shí)現(xiàn)了從誤差實(shí)驗(yàn)值到誤差（即真誤差）的計(jì)算。

有了誤差方程，可以解除對誤差理論的疑慮了。誤差方程將在計(jì)量、定標(biāo)各種場合廣泛發(fā)揮作用。

誤差方程出世了，誤差范圍（真誤差的范圍）可以計(jì)算了；不確定度論的“誤差不可計(jì)算”一說，該住嘴了。

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4 誤差方程與溯源性法則

誤差方程解決的是誤差實(shí)驗(yàn)值到真誤差范圍的計(jì)算。但誤差方程的基本參數(shù)是量值傳遞系數(shù)，誤差方程實(shí)際是溯源性的具體計(jì)算公式。量值傳遞系數(shù)該如何選取，1/3夠不夠，這顯眼都是重大問題。誤差方程出世了，該仔細(xì)審視這些問題。筆者的意見是1/3的量傳關(guān)系，要改為1/4。

    不確定度論否定溯源性（主要是英語系國家），這是違反規(guī)律，踐踏法則。

                                                 史錦順

    等量代換，是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是自然科學(xué)的基礎(chǔ)。在測量計(jì)量中，等量代換是一項(xiàng)基本法則。

1 測量本身就是一種等量代換

量是物體、物質(zhì)、現(xiàn)象的可定性區(qū)別和可定量確定的屬性。

量值由兩部分構(gòu)成，數(shù)值和單位。單位是量的標(biāo)準(zhǔn)。測量就是確定量值。測量就是確定特定量對一般等價量的比值。測量就是用等值的一般量代換特定量。

被稱重的是特定量，黃金、白銀、糧食、蔬菜的重量，而稱重的比較標(biāo)準(zhǔn)是砝碼。砝碼是一般等價物，一般量，稱重就是用砝碼的重量代換被測物的重量。當(dāng)我們說被測量是3千克的時候，已被代換掉金銀糧菜的特性，而只剩一般等值的量。由上，測量實(shí)現(xiàn)一般量對特定量的等量代換。

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2 計(jì)量的基礎(chǔ)是等量代換

測量與計(jì)量的區(qū)分要點(diǎn)是測量儀器的作用。相信測量儀器的是測量，檢查測量儀器的是計(jì)量。計(jì)量的基礎(chǔ)是計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)。

計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)是真值的體現(xiàn)，是真值的代表，是真值的等量代換物。這句話如果一時難理解的話，可把真值換成準(zhǔn)確值。真值就是準(zhǔn)確值，計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)就是量的準(zhǔn)確值。最準(zhǔn)確的標(biāo)準(zhǔn)是基準(zhǔn)，各等級的標(biāo)準(zhǔn)，是個檔次的準(zhǔn)確值，也就是各個認(rèn)識層次上的真值。

基準(zhǔn)被一級標(biāo)準(zhǔn)代換，一級標(biāo)準(zhǔn)被二級標(biāo)準(zhǔn)代換，逐級代換到工作標(biāo)準(zhǔn)，用以檢定測量儀器。計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)是計(jì)量測量的判別依據(jù)，計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)有權(quán)威，是因?yàn)樗腔鶞?zhǔn)的等量代換物，它是一般量真值的體現(xiàn)物。

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3 貝塞爾公式的等量代換

貝塞爾公式有兩種情況，結(jié)果形式大體相同，但內(nèi)容有本質(zhì)不同。

一種是測量學(xué)的貝塞爾公式。方差以真值定義。基本單元是測得值減真值，即誤差元。M為測得值，Z為真值，記誤差元為d(i),有

        d(i)=M(i)-Z

測量的方差用誤差元定義。因公式中有未知量即真值Z,不能計(jì)算。貝塞爾先生想出辦法，用平均值代換真值，即定義測得值減平均值為殘差，找殘差與誤差元的關(guān)系，經(jīng)推導(dǎo)得出貝塞爾公式，貝塞爾公式的本質(zhì)是實(shí)現(xiàn)殘差對誤差元的等量代換，以平均值代換掉真值。貝塞爾公式的意義是使方差可計(jì)算。

    統(tǒng)計(jì)中的標(biāo)準(zhǔn)量是數(shù)學(xué)期望。統(tǒng)計(jì)單元是量值（測得值）與數(shù)學(xué)期望之差稱偏差。設(shè)數(shù)學(xué)期望為E,測得值為M,偏差元為d(i),有

        d(i)=M(i)-E

統(tǒng)計(jì)方差用偏差元定義。因公式中有未知量即期望值E,仿照貝塞爾的的辦法，用平均值代換期望值，于是定義量值減平均值為殘差，找殘差與偏差元的關(guān)系，即可推導(dǎo)出貝塞爾公式。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，還可證明，貝塞爾公式給出的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)方差是方差的無偏估計(jì)。這就更證明了貝塞爾公式的正確性。（參見《新概念測量計(jì)量學(xué)》第4章。）

請注意，測量學(xué)中的誤差元與統(tǒng)計(jì)學(xué)中的偏差元是有本質(zhì)上的不同的。測量學(xué)的誤差元是測量這一認(rèn)識中的測量儀器（包括環(huán)境等條件因素）造成的，是手段問題；而統(tǒng)計(jì)學(xué)中的偏差元是客觀量的客觀偏離或客觀變化，是在誤差范圍遠(yuǎn)小于偏差范圍的條件下的得到的客觀值。測量學(xué)的貝塞爾公式算出的西格瑪，可以進(jìn)行除以根號N的操作，以得到平均值的西格瑪，并用它做為平均值的分散性。也就是說，測量的隨機(jī)誤差可以用增加測量次數(shù)的方法使其減小。但統(tǒng)計(jì)學(xué)中用貝塞爾公式算得的西格瑪不得進(jìn)行除以根號N的操作，統(tǒng)計(jì)學(xué)中的西格瑪，是客觀量值的客觀存在的分散性，只能反映它，不可縮小它。手段可以改進(jìn)；客觀屬性，不可人為地縮小。

由于統(tǒng)計(jì)理論是被廣泛應(yīng)用的通用理論，一些人想當(dāng)然地認(rèn)為測量用貝塞爾公式來源自統(tǒng)計(jì)理論，這是違反歷史事實(shí)的。貝塞爾傳記中有明確記載，貝塞爾公式是貝塞爾在天體測量中，為解決測量問題而提出的。它來源于測量，是地道的測量公式。此后不久，統(tǒng)計(jì)理論興起，成功地移植了貝塞爾公式，并成為統(tǒng)計(jì)理論的基礎(chǔ)，但這畢竟是后事。

經(jīng)典測量學(xué)、統(tǒng)計(jì)理論應(yīng)用等量代換原理，得出或引入貝塞爾公式都是成功的。它們的共同特點(diǎn)是各有明確的“標(biāo)”，測量學(xué)方差的“標(biāo)”是真值，統(tǒng)計(jì)理論的“標(biāo)”是數(shù)學(xué)期望。有各自的“元”，測量方差的元是誤差元，統(tǒng)計(jì)方差的元是偏差元。

我們再看一看當(dāng)今的當(dāng)家理論即不確定度論。一出發(fā)，就套用貝塞爾公式。你算那個貝塞爾公式？是測量學(xué)的貝塞爾公式，還是統(tǒng)計(jì)學(xué)的貝塞爾公式？須知，兩個領(lǐng)域的公式都叫貝塞爾公式，但表達(dá)的內(nèi)容不同。

再重復(fù)一遍：測量學(xué)的貝塞爾公式，算出的西格瑪，是測量儀器的隨機(jī)誤差。它是儀器測得值的分散性。這種分散性由測量儀器引起，是認(rèn)識的手段問題。測量N次，取平均值。而平均值的隨機(jī)誤差等于西格瑪除以根號N，即可以進(jìn)行除以根號N的操作。統(tǒng)計(jì)學(xué)的西格瑪是物理量本身的分散性，與測量儀器無關(guān)（測量儀器誤差可略）。統(tǒng)計(jì)學(xué)的西格瑪不許除以根號N。

不確定度論在不定位自己是哪類測量的條件下，直接套用貝塞爾公式，這是沒有分清前提的濫用公式。貝塞爾公式推導(dǎo)中必須有個“標(biāo)”，測量學(xué)的“標(biāo)”是真值，統(tǒng)計(jì)學(xué)的“標(biāo)”是數(shù)學(xué)期望；請問：不確定度論的“標(biāo)”是什么？貝塞爾公式中必須有個“元”，測量學(xué)的“元”是誤差元，統(tǒng)計(jì)學(xué)的“元”是偏差元。請問：不確定度論的“元”是什么？

不確定度論不確定自己是什么“標(biāo)”，不確定度論也不說明自己是什么“元”，竟套用貝塞爾公式，這是濫用公式。

不確定度論濫用貝塞爾公式的結(jié)果，是混淆測量手段與測量對象，結(jié)果表達(dá)在許多情況下是混沌帳（最明顯的是GUM的測溫的例子）。

4 誤差方程的等量代換

誤差方程是筆者在退休12年之后的2009年推導(dǎo)出來的。它彌補(bǔ)了經(jīng)典測量理論的不足，實(shí)現(xiàn)了由誤差范圍實(shí)驗(yàn)值到真誤差范圍的計(jì)算。它的重要性和實(shí)用價值，是顯然的。

誤差方程的基本思想是等量代換。定義中必須用真值，而實(shí)用中的公式又不能有真值，這就要把定義式中的真值代換掉。這個思路是在推導(dǎo)、理解貝塞爾公式的過程中形成的。

在誤差方程的推導(dǎo)中，可以看到，步步都要有真值，但最終表達(dá)結(jié)果中不含有真值。誤差方程有極簡明的形式，從誤差范圍的實(shí)驗(yàn)值（測得值與標(biāo)準(zhǔn)的值的差），到真誤差（測得值與真值之差）的計(jì)算，只需乘一個因子，而此因子只是量傳系數(shù)的簡單函數(shù)。

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5 等量代換的代價

等量代換實(shí)際上是準(zhǔn)等量代換，希望的是等量的代換，實(shí)踐中卻只能是近似等量。近似程度夠就可以了。要求絕對的等量，那是自己束縛自己。

人類希求的最基本點(diǎn)是滿足要求。要求分多種層次，各不相同。買菜，稱準(zhǔn)到百分之一，足夠；買黃金首飾，要測準(zhǔn)到萬分之一，要用天平。

計(jì)量中的等級觀念更明確，本質(zhì)是誤差范圍的允許量。

誤差方程中的代換的相對誤差是q^(N+1)，這是很小的量，可略。

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6 真值的等量代換與測量佯謬

不確定度論出世的突破點(diǎn)是測量佯謬。

不確定度論攻擊誤差理論說：“測量誤差等于測得值減被測量真值，被測量真值未知，誤差無法算”。這話表面上似乎有理，實(shí)際上不對。所指測量學(xué)之錯，并不是錯，這是個佯謬。“佯”者，假也；是假編的錯。

原來，測量計(jì)量界確定測量儀器的誤差，是靠計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)，根本用不著特定被測量的真值。這里邊就是用了等量代換的法則。被測量的量值是多少，要用等量的一般量來體現(xiàn)，來表達(dá)。測量儀器測量一般量的誤差，就是測量等量的特定量的誤差。因此測量儀器的誤差，在生產(chǎn)測量儀器時已由廠家確定，并由計(jì)量部門檢定確認(rèn)。我國計(jì)量法規(guī)定，不經(jīng)計(jì)量部門檢定的測量儀器（教學(xué)示具除外）是不準(zhǔn)使用的。這可換句話說，標(biāo)定并滿足誤差范圍的測量儀器才可使用。

因此，人們使用儀器，按說明書正確使用就可以了。人們必須根據(jù)實(shí)用要求去選定符合誤差要求的測量儀器，而不必去搞什么評定。沒有標(biāo)準(zhǔn)，評定是空話。

人們只要使用合格的測量儀器，在進(jìn)行測量、取得測得值的同時是知道測量誤差的。人們可盡情地想一想，世界上任何一臺合格的測量儀器，都是有誤差范圍指標(biāo)的。而我們說的那個“誤差”，不就是誤差范圍的簡稱嗎？可嘆世界計(jì)量界不少專家，看不到誤差與誤差范圍稱呼的簡并性，不理解在確定測量儀器誤差指標(biāo)時計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)對特定量的真值的等量代換作用，像個小學(xué)生似的死扣測得值減真值的定義，竟至產(chǎn)生流傳甚廣的測量佯謬，這實(shí)在是不該有的計(jì)量人的悲哀。

測量佯謬破解了，不確定度論對誤差理論的指摘，根本就不存在，不過是不確定度論者們因不懂得等量代換這番道理而產(chǎn)生的誤解。

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